美哉：欲拥科学，必抱数学！——不完备性定理和不确定性原理

sunsong7

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第三章 神奇的阿列夫

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3.1 无穷大的秘密7 f  x$ Q  c6 }) N" a

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( i1 |  O4 _  Y　　曾经，一个叫康托尔的神经病，到处兜售他的谬论，他胡说八道说什么无穷大是分阶的，存在很多种类的无穷大，有∞1、∞2、∞3 ........，多无止境。1 O$ ]$ f  |2 U" x) P

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　　康托尔还为这些不同的无穷大起了名字，分别叫阿列夫0、阿列夫1、阿列夫2 ...........5 c; j6 w' w8 _6 W- J! ^+ z
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　　而且疯子康托尔说这些个无穷大之间还能够比较大小。
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  s. A) h' c9 @: Q; v% B" k& Z5 N9 ~   比如，‘阿列夫0’比‘阿列夫1’小，而且小很多很多很多
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. w- s: j4 I8 e8 \' G* p( y　　但是，但是，正常的地球人都知道的，无穷大∞的意思是最大最大、最最最最大，无比的大。大到无比% k( K2 ]# b3 K7 [1 G" w: C
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　　这个大到无比的‘无穷大’，当然是独一无二的了，怎么可能出现不同的无穷大呢？
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0 k5 J" [, v& H. o/ s5 A6 }4 ^   (笑死人了)
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, F* E0 B' y: y/ Z! O' b　　自古以来，从没听说过无穷大会有两个，可能会出现有∞1和∞2吗？
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; J1 t' V' P* D5 }' W   (荒谬)
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　　甚至，更不可思议的是，这个∞1还比那个∞2更小！
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　　(满口胡言嘛)
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+ H- w) t7 g* C3 o- [% ~; l　　把无穷看做恶魔是可以理解的，每一个正常人都会想不通无穷大到底是什么玩意儿？6 r# b8 C$ `( k7 t; F8 q9 b6 N1 W
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   曾经就有很多权威大神站出来主持公道，大声疾呼咱们严谨的科学界应该彻底放弃诡异的无穷大的概念。这个该死的无穷大既不是具体的数据，也不是其它什么可知的东东，从来没有人在实际工作中真正会遇到，它完全是人在自己头脑中臆断的怪物。 更气人的是，由于无穷大的问题必然引出无限的困惑，进而拉出无穷大的阶，让人发疯。
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　　而且，那个疯子康托尔居然还证明了无穷大必须分级，证明了不同阶的无穷大之间还可以比大小，证明了存在这个无穷大比那个无穷大更大。关键是疯子的证明竟然无人能够反驳，这更让大师们难堪。1 V7 K6 _% q& j4 B1 E2 d0 B$ Z2 j$ P

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　　当年康托尔提出无穷大的阶的概念时，遭到了普遍的嘲笑，从此康托尔精神分裂，最终在精神病院告别人世。
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: ?' j# D/ z1 f) h8 r6 S　　直到有一天，一个叫哥德尔的小混混，仅仅用了一招，就击败了武林大盟主希尔伯特。而哥德尔手中一剑封喉的那把独孤九剑（有理数和无理数），正是康托尔的无穷大‘阿列夫0’和‘阿列夫1’9 J3 v: h8 h3 ?$ R0 H
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　　关于无穷大的分级，请大家再花几分钟再看看下面这个视频：% a3 V  A! N) S* N
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1 t( q2 ~$ Q( C& w6 H　　http://v.youku.com/v_show/id_XNDkxMDkyMzQ0.html
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$ i& b7 c( h+ e( k　　【注：这个视频不是脑筋急转弯，视频的内容每一个数学系的学生都熟悉。因为这是数学系《实变函数》中的关于可数和不可数的势（即阿列夫0和阿列夫）的标准证明，而《实变函数》是全球的每一个大学数学系的标配教材。】
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  c! b/ \3 A  c1 t0 C- J
, C6 ~4 p& ^" I( `   真的天外有天，而且还有天外天外天............逆天，震撼！
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; s2 G  U+ T" p   我看到了它，却不敢相信它。
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   ——格奥尔格·康托尔
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   （泪奔了。 请记住这个名字，他超越了整个时代！）
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3.2 积分∫和 西格玛∑" |9 l; E. ~9 v! N4 \7 V$ O

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虽然让人困惑，但是关于无穷大的问题是无法避免的。1 B% ]! L3 Q' ~
　　曾经那些放弃无穷大概念的呼声，早已被抛到九霄云外，而且永远不可能翻身。' y- ~' d# @8 w8 ^8 n& r) _+ T, X! s& C; G
   因为如今很时髦的傅里叶变换理论已经证明，任何有限定义域的函数，其傅里叶变换后一定是无限的。物理上的波粒二象性就是这个理论的一个例子。也就是说，任何（请注意是任何）有限的东东一定伴随着一个无限的影子。
; Q! X4 @4 b- \& h3 G　　咦，真的吗？（后面会引用这个证明，其实就一句话，嘻嘻。不过要看懂这一句话，需要大量的基础知识）
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3 ]- `: ]/ S( A7 k4 t1 [/ p  I　　可见、可触摸、可实验验证，有限的物理量是我们的支点，没错。, c# T, _% P" F4 A2 Y9 r
   但如果永远停留在支点故步不前，那不是井底之蛙吗，天空的广阔需要勇气，需要大胆跳出来欣赏。如果放弃无穷的观念，最起码地，微积分何去何从？4 e8 }2 c! |$ Q* J' J3 f6 j
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7 u- }) P: A) m0 u0 u5 |7 b  n   背着无穷大的微积分无处不在，无论是理科生还是文科生、无论是高中生或是大学生，都会碰到。虽然这个去了一横的f，向蚯蚓一样让人讨厌黏人。但不可否认，作为一个现代人，你无法抛弃它。因为它是现代文明的标志之一。9 |' `/ P* F9 L# K6 W

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5 V5 j. Q/ p! C, ?4 p/ N$ ?! i1 ]   另一个符号西格玛，也是数学的常见符号。使用之频繁，相信每一个人都麻木漠漠、见惯不怪了。
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   可能数学恐惧症的你不曾留意，积分∫和西格玛∑本质上是一回事，都是连加符号，都表示求和，而且都可以加到无穷。2 t/ l+ x6 A% d+ f3 [

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/ R0 i7 ]0 N' e: C) A   但是，但是，但是，各位，既然都是连加求和运算，干嘛要搞出积分∫和西格玛∑两个不同的符号呢？8 k8 X7 w" e2 ]
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   熟悉而陌生，曾经好奇的你也刨根问底想过这个问题吗？( L$ v8 e3 ]7 W! f5 ^- Y9 S* K
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* l, {3 F9 C$ T   一般老师会告诉学生，积分∫用于连续函数，西格玛∑用于离散函数。
9 `8 v. m1 }7 y1 ?" r0 F* T   那么连续函数和离散函数的区别又是什么呢？
2 N6 e0 R" R7 S   区别在于：连续函数的变量是不可列的，对应的∞是‘阿列夫1’ ；而离散函数的变量是可列的，对应的∞是‘阿列夫0’
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" \& |! C' J6 k( G& r: X   其实积分∫和西格玛∑的本质区别也在于此，在于其中的∞无穷大。
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% Y) G7 i* U6 w$ Q! ^8 e   积分∫的那个∞无穷大是‘不可列的’，不可列的无穷大是‘阿列夫1’，所以积分符号的无穷是‘阿列夫1’
: k' z/ k- [$ Y4 W6 _   西格玛∑的那个∞无穷大是‘可列的’，可列的无穷大是‘阿列夫0’，所以西格玛∑符号的无穷是‘阿列夫0’2 P$ ~' B' d. X6 i# p: h# b$ z

! @4 [  w: ^6 L. Y* [$ h+ ~   原来如此，难怪！难怪！* j8 C& X, u6 ?
   无穷大真的不只一个，真的有好些种呢？2 I% Z$ x1 S, b( @6 h, Q

  E( t. o2 i& k  f+ v$ w   醍醐灌顶、豁然开朗# q, g) y$ i- X# ?

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# {; S% q3 m! N2 R   《庄子.天下篇》有句名言：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”
% Y/ n' [" y* P/ x3 ?) A8 C   意思是：一尺长的捶子，今天取其中一半，明天再取其一半的一半，后天再取其一半的一半的一半，总有一半留下，所以万世不竭。这是中国古人对无限的理解。
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   小得意，自豪。两千多年的庄子，就已经有了数字无穷大的概念，毫不含糊，俺们中国人也算扬眉吐气了一把。
: n3 d, E7 s7 U+ r; c5 G( |   现代知识武装过的我们知道，以这种一刀一刀砍出来小段棍子，其实就是一个有理数的数列，是一列有理数，因而有理数是可列可数的，有理数的全体构成了一种无穷大，即‘阿列夫0’$ v; Y% G9 \! d6 e: u$ }  x/ I

- O/ {# O& i5 q6 \/ R1 T2 N   文艺复兴之后，古希腊的思想在欧洲如雨后春笋生根发芽。有幸一览古希腊内功心法秘籍《几何原本》的牛顿同学，终成一代大侠，创立了微积分。微积分把无穷大的级别由阿列夫0版升级到阿列夫1版。人类的视野从此也到了一个崭新高度，达到前所未有的广阔空间。! L) R% U$ j0 C  u: X# F( R* x5 U6 ]& ^

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   我们已经知道，阿列夫0是无穷大家族中最小的一个。虽然同是无穷大，但阿列夫0比阿列夫1小得多，到底小到什么程度呢？* Q# {9 M9 E8 J4 X  r) E8 `
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   康托尔老师告诉我们，‘离散’的阿列夫0和‘稠密’的阿列夫1比较，不过是沧海一粟、微不足道。
2 u8 Z, J$ d/ f( L& Q/ B& d1 |1 x& f' i   哪怕取很小很小的一小段连续实数中的无理数（即阿列夫1）8 B: b) u' b" k, @" m2 O
【比如从0到0.0000000000000000000000000000000...........1中那么一丁点儿小段】,也比所有的有理数全体(即阿列夫0)大得多得多！！！
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7 V1 V1 t2 p$ G) V& [) E0 b   啊，啊，啊！; l1 ?6 W6 z1 }4 [5 H& S

. M  z% K6 T1 M- J1 B   一句话惊醒我梦中人9 z1 `% a3 J6 T4 p, F. V

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3.3 来自外空的无理数
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& s5 Z' i/ Y% b+ M$ s, X   在实数理论中，常常把实数对应于直线上的点。- l$ g4 y6 T) c+ \

1 C3 e3 Z: i" Z   但是，严格来看这个对应是有漏洞的，因为在直线上无论如何稠密的布满数据点，也不可能出现无理数。
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   实践中，直线上的数据点只可能出现有理数。5 |0 e+ M2 g! [; I. Q. e
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   要么是有限的小数（对某段直线任意精度的测量只可能是有限小数）；
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   要么某段直线出现“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的现象，这是一个无限循环小数，也是有理数。8 ], _; R% z( f& u
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   既然直观经验判断直线上的数全部都是有理数，那么无理数是如何出现的呢？
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   无理数最早出现于古希腊人研究勾股定理的时候，一个数学学生发现如果等边直角三角形的直角边长为1，其斜边不可能是有理数。于是，古希腊人把这个毫无道理的数取名无理数，这就是无理数‘√2’（根号2） 。现在我们很熟悉√2了，但在古代这是标榜以理服人的数学女神的巨大危机。因为历史以来所有的数都和直线上点一一对应，而直观经验判断直线上的点一定、肯定、必然是有理数。所以，面对√2这个阴颤颤的外空幽灵，可以想见古希腊的数学家是如何的惊恐不安（以至于他们把发现√2的人淹死了）。7 t, l- i: Z# p3 x) s/ X
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% m; ]8 D% r/ @8 [   现代人们司空见惯√2，见惯不怪了。大家也早忘记了√2曾经是无理的恶魔。也不记得无理数√2隐藏了一个容易被人忽视的出生的秘密。
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: L4 O* ~0 c7 G9 P5 }5 E   特请注意：追根溯源，√2  并不是一维直线上天然而来的数据，而是由二维图形导致的数。
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   也就是说，对一维直线上的土著居民有理数而言，√2  这个二维空间里度量诞生的无理数，象是来自外空的外星人，是外空另类的怪物。
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   再请注意，无理数中不仅仅√2 是来自直线外的外空，还有更多的无理数的出处，也可以看出是直线外的外空图形的根源。3 C- V/ E& x. l- Z$ p$ F1 F6 U# k
   比如，著名的无理数圆周率π，也是典型的二维图形（圆）引出来的数。
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! A, V1 w; o" l/ k) D+ Z6 }, S   再比如，和圆周率π一样享受超越数待遇的、鼎鼎大名的、充满神奇的、自然数e，源头来自于n维度空间。
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0 ], A' U1 T1 T# X6 c/ M   事实上，如果稍加留心，会发现这个惊天秘密———所有的无理数都来自于是多维空间图形，均来源于直线外的外空，它们是多维空间通过“空间折叠”映射到一维直线上的。
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    对不对呢？
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    似乎、可能、也许..........
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" S% _# u5 d# _# D+ S" m   好吧，就算这种提法有点道理，不过这种提法有什么意义吗？+ M4 z8 H% n3 g4 x; l3 }" W5 Z

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3.4 空间折叠
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   上一节可以形象的看出，无理数都是多维空间图形，它们是多维空间通过“空间折叠”映射到一维直线上的。7 o- `9 u8 q  X0 d/ d
   关于空间折叠的观念，在现实生活中，是一个普遍的现象，日常生活司空见惯。0 P8 S0 e6 V8 ]1 e% Q. ]( Q, ~' K
   比如，为了便于携带，常常把三维空间的立体的凳子折叠成二维空间的一片木板的样子。
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   对三维立体物体空间折叠的好处是显而易见的：1、折叠后节省空间；2、折叠后简洁规范
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   不仅仅子桌子椅子需要折叠，我们日常表达一个事物也常常用到维度折叠的方法。
# O6 w% \; G  L, {  f7 l2 H   比如：! p& k# t% q& x2 @+ o. \

$ U/ J) L. z* l/ N$ P+ t   【新石器工具】     尖石头 ＋ 木棍 ＋ 绳子 => 矛
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  ‘尖石头’、‘木棍’、‘绳子’等组成了一个新石器的线性空间，如果以“尖石头 ＋ 木棍 ＋ 绳子”来描述石器武器，当然是可以的。不过在不需要特别考虑部件细节的时候，用部件的组合来描述也显得太麻烦太累赘不必要。现实中，我们更多地是简单化笼统表示，常常只需一个词语‘矛’来表达。所以，当‘矛’这个整体概念囊括‘尖石头’、‘木棍’、‘绳子’等部件组合时，其实就是在进行“维度折叠”（空间折叠）的表达。
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   又比如，一体条鱼可以看作其眼、耳、口、鼻、心、肝、脾、肺等各个器官的组合。用线性空间观点来看，眼、耳、口、鼻、心、肝、脾、肺等组成了一个多维度空间，如果以这个多维度动物器官空间来描述鱼，当然是可以的。不过在不需要特别考虑部件细节的时候，用器官的组合系统化来描述也显得太麻烦太累赘不必要。现实中，我们更多地是简单化笼统表示，常常只需把鱼眼、鱼耳、鱼口、鱼鼻、鱼心、鱼肝、鱼脾、鱼肺等多个器官的有机组合体用一个词语‘鱼’来表达。所以，当‘鱼’这个整体概念囊括鱼眼、鱼耳、鱼口、鱼鼻、鱼心、鱼肝、鱼脾、鱼肺肺等器官部件时，其实就是在进行“维度折叠”的表达。
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6 a; @5 D8 D. s3 U3 |- K1 o0 h" u0 M5 K! i) D) {* M8 b
   道理都是通用的，由于空间折叠的优点，在理论科学中类似空间折叠的现象也非常普遍。
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   比如，骰子的数学期望（概率词汇）类似于空间折叠
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: V& e# M8 |; h. }, l2 l4 S, d( T  可以看出，如果在点数的1、2、3、4、5、6六个面的每一面的概率相同（概率都是1/6），则空间折叠（维度折叠、或者称为空间塌陷等等）将得到一个一维空间的数学期望值2 M! ^7 F" g% r3 a1 y5 j/ T
    骰子的‘数学期望’=Σ（1+2+3+4+5+6）*(1/6) = 3.5. h8 V% E9 b- ~2 V! s
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2 w1 d! c- S- M* a, R( L) k% Q+ z5 z2 E! f  g
   再比如，常见的n×1维和1×n维矩阵的乘积，是西格玛类∑的合计，计算后成为一个具体的数。3 e- I8 ?4 f; J* R6 x$ n
   这是n维度的矩阵空间变成一维的数量的过程，这也类似于空间折叠：4 X) T7 T$ U$ a, f: m+ I: E5 X

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   还比如，普通的积分运算是不可数的微分dt的连加，最终得到的收敛积分值是一个具体的数。3 T9 A2 ]; {+ {$ H
   这可以看作是连续无穷维空间（微分分量）压缩到一维空间，这也类似于空间折叠：5 q) X6 n& T9 U: k8 E& r

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4 r+ ]5 p  C" J* f0 [   不得不提的另一个容易忽视，却意义重大的秘密：
# A' r# X+ \0 ]8 V$ ^   空间图形经过维度折叠以后，原有的多维空间线性关系，很可能变成非线性的关系！！！% O: z. z8 ?! b! E: t6 y
4 ^" B5 {* d% N3 ^% _
   比如：直角三角形斜边和两个直角边，在二维平面上构成了线性关系。记斜边为cZ、直角边分别为aX、bY，则满足线性关系：
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# y/ E+ Y0 z$ b- s    aX ＋ bY => cZ- ~8 f. r+ j8 O% v4 r, {) ^" B
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    但是，三角图形经过维度折叠以后在一维空间上，三角形三条边的长度不再具有线性关系。这时直线上，体现的是三角形三条边的模（标量长度）的关系，满足：
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' ~) z! k7 T) R2 [/ b: p' A     注意，带平方的这个等式肯定不是线性关系的。7 q; w) d. O' R* L( D5 R( U: F
     注意，也是这个时候无理数才大驾光临的。
1 z( ?' v  ~2 R) ?# D  m     也就是说，原来在二维空间的具备线性关系的斜边（本来‘有理’的数），是因为维度折叠到一维直线上时变成模平方关系，所以才体现出平方根‘无理’数的非线性关系的。9 w- s/ ~( [: e* S3 k; e0 ^1 V
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   “空间折叠”可以漂亮的解释无理数的现象：
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   第一，为什么无理数远远多于有理数呢？
9 J9 h$ }8 a# S7 a   答：因为有理数源自于一维直线，而无理数源自于多维空间。构成了多维空间的无理数，显而易见比组成一维直线的有理数多得多啦。
4 [( X0 t( }" x2 f. s" g+ M8 A% ~4 e* a) C6 u, B6 d9 U2 d1 u
   第二，为什么诡论无理数对形式逻辑而言是不可判定的？
+ E- q5 K- d3 L3 U$ K2 J   答：因为诡论无理数是通过多维度空间折叠到一维直线的。多维度空间原有的线性关系因为空间折叠，“结构变形”了，不再具有原本的线性关系。所以线性关系下的形式逻辑系统，无从判断变形后的非线性关系的诡论无理数。
% T) |' z; q0 l( {   类似的现象是：我们无法从折叠后的物体扁平形状，认出它本来的立体的模样。! v) h5 s) z" A" ~) U
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, K1 T0 Y" e) n8 R. J; A5 e% M1 t. o5 D

2 d  N" e# k, O' ^- u' A   再多扯一句，先打个伏笔（后面再详细探讨），“空间折叠”现象是非常值得研究的。因为虽然折叠后的物体已经变形，但某些结构关系却仍然有痕迹。我们有可能通过某种手段（比如张量积），部分的恢复出折叠之前的空间结构。, u7 G+ I7 q9 a* O/ J; s
   比如，如果在直线上某组数据存在平方根关系可以推知这是个空间三角形、如果在直线上某组数据之间有个π可以推知与空间圆形（曲率）有关，等等。
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3.5 外空黑洞阿列夫
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   兜了一大圈，下面我们再来捋一捋哥德尔“不完备性定理”关键点：/ m. y' m; V( A( b& D

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% w& T. l" q9 G# Y* ?% f) {   首先，靠一条一条公理补充列举的方法，建立和添加出来的公理体系必然是可列的。再次提醒童鞋们，可列集的无穷大只能达到‘阿列夫0’
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   另一方面，包容万象的命题体系却包含有‘诡论命题'，‘诡论命题'对应于无理数，而包含无理数的实数却有‘阿列夫1’之多，远远大于‘阿列夫0’所能阐述的范围。
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, q+ ^' x2 h4 E   所以，当哥德尔找到一个【说谎者诡论】例子，证明‘阿列夫0’维度的形式逻辑公理系统无法判定时，希尔伯特立即意识到康托尔连续统理论，立即意识到连续统理论中多不可数的无理数，立即意识到和无理数一样，多得‘多不可数’的不可判定命题。$ v7 E  |3 N3 S* k% r3 b, b

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   平明拂剑朝天去，薄暮垂鞭醉酒归
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5 m7 a) V! F5 _0 f+ C6 |' |   恨苍天0 U1 S' f! ?6 O# p
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. d) T5 a2 z  B& [* R3 Q4 ]# B: a   2014年6月8日，英国《每日电讯报》报道，一台由俄罗斯人开发的超级计算机通过了标志性的图灵测试。这台卓越的超级计算机模拟人类的思维，让33%的考官认为他们是在与一个13岁的男孩儿对话，计算机通过自己的智慧成功蒙骗了人类。这一划时代事件，正逢计算机之父图灵先生去世60周年纪念，被认为是人工智能领域里程碑式的突破。# D9 e' R# B0 K" _

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& \$ ?9 `6 G% a1 X/ Q. x8 Y: |0 N( T   一台冰冷的机器，超越人类的智慧？？4 U' @' @/ u) @( n9 h% Q5 T: ~
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   骇人听闻，如果这是真的，可能有一天，科幻电影将成真------机器人将替代人类成为世界的主人。
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# Q2 R% Q. E# O: K! b. Z   这可能么？数不清的一串串大问号。+ E6 N5 A" c9 M( L

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   之所以学术派对当代计算机的智能严重怀疑，是因为如今所有的计算机在逻辑上是完全一样的，都叫做“图灵机”，而图灵机是基于形式逻辑的‘阿列夫0’维度空间的。
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   这里，不得不提，那个把数理逻辑推向世界之巅的人———阿兰·图灵，英国著名数学家、计算机科学之父、人工智能之父。
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% h9 F( R- A, L5 S" O- \6 i   1936年，图灵向伦敦权威的数学杂志投了一篇论文《论可计算数及其在判定问题上的应用》。在这篇论文中，图灵给“可计算性”下了一个严格的数学定义，提出著名的“图灵机”的设想。图灵机不是一种具体的机器，而是一种数理逻辑的思想模型，可制造一种十分简单但运算能力极强的计算装置，用来计算所有能想象得到的可计算函数。 基本思想是用机器来模拟人们用纸笔进行数学自动机械化运算的过程。设计解决某一问题所需要的固有套路，按这个步骤走下去，就可以解决某一特定的问题，这种观念是具有革命性意义的。
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$ v5 p6 @6 n$ v   图灵是伟大的，之所以主流媒体对图灵的宣传较少，因为他在世俗羞辱下最终选择咬食剧毒苹果自杀（基督教认为自杀不光彩），数年以来他都被视为罪恶的人。直到2013年12月24日英国司法部长克里斯才宣布：英国女王伊莉莎白二世赦免上世纪50年代因同性恋行为被定罪的阿兰·图灵。
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2 ^' L8 {" ^- l1 r   当我们每天用电脑、平板、手机，或办公或娱乐或聊天或游荡的时候，应该感谢图灵先生，向这个伟大的灵魂致敬！
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   1966年，美国计算机协会设立图灵奖，被喻为计算机界的诺贝尔奖。它是以图灵先生的名字命名的，是对图灵伟大贡献的肯定。有人说iphone的那个被咬了一口的烂苹果商标，就是为了纪念他。
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7 g* t, d" y2 ~( r/ M$ O: X   今天，超级计算机、小型计算机、服务器、PC机、平板、智能手机等等“图灵机”已经遍布我们身边，影响了我们日常生活的方方面面。但是，尽管“图灵机”攻城掠地战绩显赫，却并不能掩盖“图灵机”的严重局限性。
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3 L* w( L8 \% r0 k' w  现在大家都知道，哥德尔不完备性定理证明了“图灵机”的这种逻辑局限性。但是，一个世纪以前，‘阿列夫0’维度的局限性却鲜有人知。除了独孤求败的康托尔、一剑封喉的哥德尔，第三个意识到这种局限性的人应该就是希尔伯特了。4 o( y. w. O* T. _# T+ C
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   因为，对于无穷大的诡异，希尔伯特很早就注意到了。天苍苍、野茫茫，风吹草低见牛羊
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   曾经，一个23岁年轻人，就是以一篇关于不变量理论的论文跻身数学界。他的证明方法在当时相当具有争议性。
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0 y+ |: I) M* H7 p- o   在这篇论文中，他使用了‘非构造性’的证明，也就是说他只能证明某个数学对象的存在性，却无法将它具体指出。比如说，一个报告厅有100个座位，有99位听众进去了，我可以断定一定有一个空座位，这就是一种非构造性证明。但我没办法将具体的空座位指出来。写这个论文的年轻人就是日后统领江湖的希尔伯特大侠。# M2 j4 d+ A$ y
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/ X  J4 n# R% }. V- v1 I   利用这一独特的非构造性的证明，大侠构建了一个关于无穷大的独特的“希尔伯特旅馆”：7 z" _( q4 r' z0 A* x: i7 B; t

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, z( Y) G* Y  S: ~, b1 l& @7 T- w   【一天夜里，已经很晚了，一对年老的夫妻走进一家旅馆，他们想要一个房间。前台侍者回答说："对不起，我们旅馆已经客满了，一间空房也没有剩下。"看着这对老人疲惫的神情，侍者又说："但是，让我来想想办法……" 这个好心的侍者开始动手为这对老人解决房间问题：他叫醒旅馆里已经睡下的房客，请他们换一换地方：1号房的客人换到2号房间，2号房的客人换到3号房间……以此类推，直至每一位房客都从自己的房间搬到下一个房间。这时奇迹出现了：1号房间竟然空了出来。侍者高兴地将这对老年夫妇安排了进去。没有增加房间，没有减少客人，两位老人来到时所有的房间都住满了客人--但是仅仅通过让每一位客人挪到下一个房间，结果第一个房间就空了出来，这是为什么呢？
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8 X: m/ H3 E0 |, L   原来，两位老人进的是数学上著名的希尔伯特旅馆———它被认为是一个有着无穷多房间的旅馆。
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) }. `1 f5 Z; T! x   这个故事是伟大的数学家大卫·希尔伯特所讲述，他借此引出了数学上神奇诡异的"可列无穷大"的概念。】" V' F+ q9 D# t, j, Z* D* V9 m

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0 N' G% A* p! r2 w/ K+ b   很显然，希尔伯特旅馆的可列无穷大即是‘阿列夫0’
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% o8 r/ Y; M% ^3 z5 C% y   亲手创建‘可列’无穷大军团的希尔伯特，突然看到哥德尔论文中的把说谎者诡论和‘不可列’的无理数，从而联系到一起时，可以想见他是多么的震惊，惶恐不安！6 ^& ]1 B% g3 Y. T) R3 Z9 m
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# ?! v& a' X" ?  }* h! y$ K   希尔伯特当然不是害怕一个小崽提出的一个小小诡论，他恐惧，是见到了那妖物背后的‘不可列’。
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" Z3 w9 [8 C$ Y7 O) z7 C   所以，希尔伯特一招之后就放下武器背道投敌了。可以想见，这个曾经叱咤风云的老人，当时是多么地惶恐无奈，老泪纵横。伙计们，不是老夫不努力，只怪敌人太强大太强大。
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   所以，以希尔伯特的伟大，仅仅遇到一个不可判定命题，就彻底放弃了反抗，因为这一个例外后面跟着‘多不可数’。假如我们把人类普通语言逻辑看作一个空间，那么诡论则是来自外空的异形。而且这类我们地球人眼中的必有歧义的诡论，甚至是‘多不可数’的，它们的军团远远大于‘可列的’阿列夫0 ，如巨大的黑洞超越了人类的正常思维、远远超越了人类习以为常的形式语言逻辑。
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" S# f7 A6 |& W7 d  K# O, i   也就是说，形式数理逻辑公理体系之所以不完备，本质上是因为其维度最多是‘可列的’，而宇宙逻辑的维度是‘不可列’的。宇宙逻辑的空间维度远远大于‘可列的’语义系统，所以人类惯常的语义系统无从解答广阔空间的哈如繁星的‘不可列’问题。
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9 I& J/ m: Q$ k$ F6 m9 ?   阿列夫0比阿列夫1小，阿列夫0对于阿列夫1不足，所以阿列夫0维度对于阿列夫1维度空间不完备。
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# K1 U' ^# u& k2 ~. _   这，就是“不完备性定理”的真谛。8 t4 T' [, N! c2 g1 _! W! l: ^0 Q

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1 _/ `0 b" U) {  }   不完备定理的‘不完备’本质是维度的不完备！！！8 e8 t, T' T3 d
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7 W: v; d. D3 M( d/ G. M! J3 F   大道至简！* j0 L( W; _. O  S) b$ D

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2 q; L6 Y! a5 j# ~/ r" r; O4 }   终于攻下一个阿列夫山头，烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。
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   不过战斗还将继续，如果人类的思维永远局限于阿列夫0维，那么我们可能真的要完蛋了。幸而，借助先进的思维工具，人类的思维模式能突破‘阿列夫0’，进而远达‘阿列夫1'、'阿列夫2' ............
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* I; Z9 L& x8 }6 S) L" V1 O   可能很多朋友以前没听过康托尔连续统理论，对关于无穷大的阶，对阿列夫0、阿列夫1、阿列夫2不熟悉。也难免，对于不熟悉的很容易把人绕晕，何况是连大师都看不清的无穷大。- v+ |; z; u4 N. i+ i  a
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   康托尔连续统理论至今也没有被完全彻底的证明，比如我们不知道‘阿列夫0’和'阿列夫1'之间是不是有‘阿列夫0.5’、是不是有‘阿列夫0.1415926......’，所以康托尔连续统理论更多地被提为康托尔连续统假设。  f# G: ?! w8 J5 O' _$ E
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   尽管还有这样那样的不足，康托尔连续统理论还不完善。但是，它的意义却是非同寻常的。并且，康托尔连续统理论中核心部分应该是可信的、是确定无疑的，比如通过可列和不可列的严格证明，明确了‘阿列夫0’和'阿列夫1'的本质差别。
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! B* [! J& }, k) G4 @, w0 N   后面章节，通过不确定性原理的故事，将为大家隆重介绍‘阿列夫2’是何方神圣。并且，通过认识‘阿列夫2’，我们将能明白量子力学不确定性原理的本源。更重要的是，通过“不确定性原理”的探讨，能对“不完备性定理”有更加深入透彻的认识。
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第四章  不确定性原理

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7 B( P4 X0 d5 I5 K7 r7 Y, o$ T' s, `0 m- A4 }, Y' y; Y. R/ k" G- j
4.1 百川归海0 g9 B/ S8 F8 y! \
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   自从1918年普朗克获得诺贝尔物理学大奖以来，诺贝尔殿堂劲歌争霸赛中，勇拔头筹的大多数是量子力学的弟子。瑞典皇家科学院似乎也特别青睐量子力学的眩目魔术，每每亮出最高分。一个世纪以来，量子力学大有一统江湖的气势。傲视群雄、风光无限。
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$ t* [" K; t3 h9 S+ }2 H+ e   但是，遗憾的是，量子力学门派从一开始就不团结，诸子百家、派系林立，气宗剑宗、军阀混战。
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   总体而言，量子力学中最大的宗派有两个，一个是名门正宗的哥本哈根学院派（玻尔、玻恩、海森伯、泡利、狄拉克等等），一个是闲云野鹤的波粒二象派（爱因斯坦、德布罗意、薛定谔等等）。
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6 A0 H2 A& h3 T2 p   哥本哈根学院对量子力学的探索，一直是沿着正宗名门公理体系的的线性空间大道行驶。
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3 `& d7 {' P2 b   而波粒二象派却另辟蹊径，总是出人意料的在经典力学和量子力学中间的夹缝羊肠小道中寻求到捷径。
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! Y9 W& {6 d: w   1905年，爱因斯坦提出光量子学说解释光电效应问题（这个理论使他荣获1921年诺贝尔奖）。在论文中，爱神大胆提出光波是粒子组成的，叫光子。
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2 C) e& B$ J! D, s2 Q" k   这个理论是非常不合常理的。如果不是爱因斯坦提出来的，而是出自于其他人之口，一定会被笑掉大牙。一般而言，这样的怪论一出世必然将被唾沫淹没、乱棍打死。
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   什么乱七八糟的，波是粒子吗？3 Y3 w" n9 O  f7 D, A

8 A& A! X$ \( f* i   波可能是粒子吗？) Q  a+ F& c) s( C
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   我们太阳光下沐浴着的广布海滩的柔和温软的光线，莫非是一个个鸡蛋石头一样砸过来的嗦？. O+ F7 T% P% ^

: K. e4 g( g' E' L   日光浴那不就等于挨枪子嗦？* e* B0 T+ G/ `3 C# M
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   光居然是粒子，真TM让人想不通。
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   不过既然是超凡智商的大神说的，想来应该有道理吧。爱因斯坦说质量和能量是同一回事、说空间弯曲、说光速不可超越，不都被证明是对的么？所以尽管光波是粒子的说法很搞笑，但众人均表示认可。没办法不懂也得装懂啊，管他呢，认了吧，谁叫它是爱因斯坦正儿八经说的呢。
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   大家刚刚好不容易象吃苍蝇似的，含泪咽下了匪夷所思的光粒子学说。居然又有个富二代公子哥，冒出来进一步恶心大伙。1924年，一个叫德布罗意的公爵提交了一份博士论文，这个土豪提出了一个更加耸人听闻的观念：. g& h, k3 C( i: t6 \* v! g
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   既然波可以是粒子，那么反过来粒子也可以是波。0 P- w2 X% X, C5 t# N& a0 w
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   什么，没听错吧，粒子是波？？？+ d# [- R" j: P2 G" w4 S  x+ R0 t

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( L4 q8 d. ^: T  D) @/ o6 t   电子是波吗？
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   质子是波吗？
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4 C1 v; c/ y( |; x1 o0 K( `- H   原子是波吗？
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   坚硬的沙子是波吗？2 b  p$ O4 S6 Q6 {, U8 Z# {, y) ~' U
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   硬邦邦的砖头是波吗？
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# R( {& B& J% t   实沉沉的木头也是波吗？
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, a+ w+ _: M- f2 |0 w/ M% E7 ^   坚不可摧的钻石也是波吗？
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   难不成，我们的皮囊肉身也是空洞的、软趴趴的、虚无缥缈的、游荡着的“波” ？8 m* K1 t4 V" j7 }  I, h4 k

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   歪得老火. o3 e5 w% ]1 \$ n' Q' V3 N: `
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   见过胡说八道的，没见过如此胡说八道的。
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/ M9 f) d9 l# d' N   粒子怎么可能是波呢？？？& X5 u/ z2 d& J! w/ A5 ~# o# `  f; g
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   这不TMD瞎扯蛋么？
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   德布罗意的观点让当时许多学者都直摇头，而他的老师朗之万其实也很难相信这个论点。但论文的内容实在是太过让人惊叹，朗之万也不敢确定是否有意义，所以寄给爱因斯坦一份。爱因斯坦那时候很忙，抽不出时间仔细阅读，只能稍微翻了一下。发现了波的粒子性的爱大神自然很乐意为波粒二象性背书，兴奋地回信：“他已经掀起了面纱的一角”。并且将论文送去柏林科学院，因而使得这理论广知于物理学界。
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   Secret Garden，一切皆有可能。! D& D# G1 b. m- k
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   1927年，让子弹飞了三个年头。终于，有物理学家将电子射向镍晶体时，发现其衍射图谱和布拉格定律预测的一模一样。这，证实了德布罗意的电子波理论的正确无误。因为这牛哄哄的发现，瑞典皇家科学院1929年颁授德布罗意诺贝尔物理学奖。
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7 _! l0 e6 h- G$ F  g   波粒二象性，至此修成正果，名垂史册！0 w7 F- y, u5 p0 ^& h0 w7 ^
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　1926年维也纳大学收到了德布罗意的论文。一位已经年届中年的讲师接到任务，两周后的学术例会上将该博士论文讲一下。这位“老”讲师大约早已适应了他现在这种不知算是平庸还是算是平静的生活，可以想象，一个已到不惑之年而仍然只在讲师的位置上晃荡的人，其学术前途自然是朦胧而晦暗。0 u! [, q! D, K7 u" N6 T& q: [/ P& a
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　　这位讲师的名字叫做——薛定谔。9 P3 \& R: @4 k9 u

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   既然德布罗意论文提出电子是波，是波动的，那么电子的波动方程是什么呢？' b, j4 M* H+ E# P! u8 X7 L
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　　薛定谔为德布罗意的“波”凑出了一个波动方程。这个方程就是日后印刷在量子力学教科书里、成为物理学独立章卷的、人类最伟大公式中排名第六位的、大名鼎鼎的“薛定谔方程”。因为此，1933年诺贝尔物理学奖降落到薛定谔的头上。
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% u5 X' z6 Q& D! Q. R   有趣的是，薛定谔方程刚刚出世的那段日子，并不引人注意。
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# h( @* h" G* M2 f( L' R　  薛定谔讲解他的波动方程之后的两个星期里，他正浸在温柔乡中——带着他的情妇在维也纳的某个滑雪场滑雪。不知道是宜人的风景还是身边的温香软玉，总之是冥冥之中有某种东西，给了薛定谔一个灵感，而就是这一个灵感，改变了物理学发展的轨迹。
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　　薛定谔从他的方程中得出了玻尔的氢原子理论！
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   这个发现的巨大震动，波及了整个地球。理论物理的光辉，传奇，从此普照大地。这无疑是宇宙最灿烂的Secret Garden，看到的人无不为之动容、心旷神怡。7 w8 G+ O1 i7 [$ B

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   此前，玻尔由普朗克和爱因斯坦的理论的启发提出了著名的三部曲，他用量子力学理论清楚地解释了氢原子的光谱现象。
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　　其后，由玻尔掌门的哥本哈根学派一统江湖、征服世界、独霸天下，已然是量子理论的名门正宗。 1925年，玻尔的得意弟子海森堡提出了著名的矩阵力学，进一步抛弃经典概念，揭示量子图像，精确的解释了许多现象，矩阵已经成为哥本哈根学派的镇门之宝——量子的“屠龙宝刀”。不过在当时懂矩阵的物理学家没有几个，所以矩阵力学的影响力仍然有限。事实上就是海森堡本人也并不懂“矩阵”，而只是在他的理论出炉之后哥本哈根学派的另一位弟子玻恩告诉海森堡他用的东西在数学中就是矩阵。哥本哈根学派在当时完全主宰了量子力学的发展，从此以后矩阵力学如日中天。8 ?' x( A8 D) N0 J% K1 E
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" g7 ~1 W2 V0 R　　所以，当薛定谔从他的方程中同样推导出了玻尔的氢原子理论时，天下大惊。  + z7 ?. j; D+ w# t; P

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. h7 U" Z# F9 E- [8 {   其后不久，薛定谔证明了矩阵力学和他的波动方程表述的量子论其实是一致的，只是描述方式不同而已。百川归海，殊途同归，天海苍茫，相互辉映。, }0 o5 w0 I' J- H1 V; \
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   完全不同的道路，却汇合到同一个地点。学术界不再挖苦嘲笑，学术界不再神魂颠倒，学术界不再匪夷所思，学术界不再丝毫怀疑。它终于光芒万丈、普照大地。显而易见，这里，就是宇宙之神的圣殿，万法归宗的合体。; ]9 X) Z' U% O# J  ^( S3 ^. }3 h
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　　从此“倚天”“屠龙”合而为一。" F: N" w) R2 A- `7 ~8 N* g  f

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( b9 ]; M: u/ h* q6 H* `   Secret Garden ,天籁之音，让人着迷、让人窒息0 |1 Z1 ^0 M. u5 D
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1 E1 Z8 i7 G! {( r) h   万象归宗同一理，道理都是相通的。大道至简！！！

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4.2 又死又活的猫
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   当年薛定谔证明了矩阵力学和他的波动方程是一回事的时候，按道理量子力学两大宗派（哥本哈根学院派和波粒二象派）就应该握手言欢、皆大欢喜了。2 t2 {5 W- B- @) l2 Y& P* s
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   但是，量子力学的神秘故事还远未结束。
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' ?# e, ^, l3 C7 O5 {   哥本哈根学派听说薛定谔方程推导出了一模一样的波尔氢原子结构，激动万分，兴奋中立即特邀薛定谔到哥本哈根大学，与之详细切磋量子之精妙。然而在长达十天“哥本哈根论剑”的漫长切磋中，尽管双方都非常投入努力，滔滔不绝，疲惫不堪，颇为有意思的是，双方竟然完全不懂对方在说些什么。+ |6 d; \' v6 ]! U1 V" C

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   名门正宗的哥本哈根学院派，闲云野鹤的波粒二象派，虽然双方都倾慕于量子的魅力、虽然都极力完善量子力学大厦、虽然都是一等一的绝世高手，虽然都拥有人类最高的智商、虽然都拥有量子力学最高的学识、虽然都拥有科学领域最非凡的洞察力，但却并不能让他们双方形成共识，反而相互攻击更加严重，甚至到了双方血刃拼刺刀你死我活的地步。
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   双方激烈吵架的焦点集中于一个话题：“不确定性原理”
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4 Y% M$ s6 x% }9 w   不确定性原理，是哥本哈根学派发家发达的法宝。& m- k+ [1 H9 q% ~6 K; \

) q! F/ {5 R9 Z   不确定性原理最初由在量子力学大师海森堡提出，他发现粒子的位置与动量不可同时被确定。一开始他以为是测量工具的影响造成的，所以刚开始也称‘测不准原理’。后来才发现‘不确定性’和测量与否毫无关系，它是量子系统最核心的基础性质。
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+ J  e- c/ u. I# X　　“不完备性定理”告诉我们，可怜的严谨确定的数学逻辑，并不完备万能。
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( U3 ~- w4 b  w5 c! K& l   而“不确定性原理”对逻辑的打击更甚，量子态居然遮遮掩掩（不确定），要靠概率来解读。
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$ o( c4 j% U& U# _5 _   “不确定性原理”还有一个软肋，它叫做原理，而不是定理。也就是说，“不确定性原理”的正确与否是无法严格证明的。所以它更容易遭到攻击。! @9 A" J$ p( D! P

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   波尔、海森堡发现通过矩阵方式演算量子力学，不可避免会遇到随机性、概率性、不确定性。
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5 G* ?% e+ [, F7 X  {   但是，爱因斯坦、薛定谔的理论中，其量子力学与经典力学一脉相承，推导的过程和结果都是确定、肯定、必须的。
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% e/ {/ `9 a! @* X4 B  `) i   伟大的爱因斯坦致死也不认可不确定性。
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   爱因斯坦曾经无比愤慨说过，上帝怎么可能会掷骰子呢？
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* s7 q3 W* j" K$ ?' n2 J　　荒谬、荒唐
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# e1 o2 P# g$ C) T& x' x5 H　　薛定谔对不确定性的攻击更加激烈，最荒唐的最著名的例子是一个叫“薛定谔猫”的。+ n0 z9 P" c6 N' y, T, L
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) b3 d5 E, B- n. P' W- D$ R　　这只由薛定谔先生创造出来的的猫，闻名遐迩，因为它同时又黑又白、又公又母、又胖又瘦，什么都有可能。在凡事皆有可能中，最奇怪的是它居然同时既死又活、又死又活、不知是死是活。
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0 i0 m8 j/ l/ O6 e, [5 m* ~8 |- k7 ^   并且，它可不是星外的异形怪物，在薛定谔的实验里这完全是一只普通不过的小猫咪。% d, b# e1 d2 D. D% @3 @$ V" p

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$ b) j: f) _$ V/ G7 V0 A( N* P　　这个理想实验的巧妙之处，在于通过“检测器－锤子－毒药瓶”这条因果链，似乎将铀原子的“衰变－未衰变叠加态”与猫的“死－活叠加态”联系在一起，使量子力学的微观不确定性变为宏观不确定性；微观的混沌变为宏观的荒谬。按照这个实验，这只猫将处于一种活与不活的叠加态。
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; z9 r' ]: _0 r( J8 d　　按照哥本哈根的解释，如果没有揭开盖子观察，我们永远也不知道此猫是死是活，它将永远到处于半死不活的叠加态。我们只有在揭开盖子的一瞬间，才能确切地知道此猫是死是活。此时，猫的波函数由叠加态立即收缩到某一个本征态。$ O  J+ q! s) S. g3 i. Q4 W
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   这与我们的日常经验严重相违。所以薛定谔挖苦说，要么死，要么活，怎么可能不死不活，半死半活？
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2 E7 d3 l  G# d& V) Q; C% _" C+ H   薛定谔这只猫咪引起了全世界的广泛争议，争议的结果是大家更加糊涂。只留下一大堆怪异的词汇、一大堆荒谬的怪论。+ _% t( _* o" S1 t1 T
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　　薛定谔猫吊诡实验是薛定谔专门设计来批驳打击哥本哈根学派量子态理论的诠释，他试图借此显露出描述量子态所需倚赖的矩阵理论存在瑕疵。; w, ~) b& l; k5 N& P

. F; E  J5 s+ w0 n0 v   因为薛定谔方程是确定的，而矩阵力学则会出现不确定性。
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   每每说到此处，脑海中就想起屌丝典范周星星同学那招牌式的坏笑，嘿嘿嘿，当年薛定谔先生翘着二郎腿那得意笑声大概和周星星先生亦有一拼吧1 E, S9 k- C1 t' w
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' N$ D2 O# W. A! M- n5 \- R2 O   壹就是壹、贰就是贰，科学来不得半点含糊，否则不就和故弄玄虚的封建迷信活动不二了吗？
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   如果不确定性的哥本哈根矩阵从此被打趴下也就罢了，偏偏非但如此，哥本哈根的弟子们仍然还是一个接一个地登上诺贝尔神殿，一个又一个头顶五彩光环，一个赛一个套得大名照汗青。
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, B3 |0 u% s; Q/ r   越来越多的诺贝尔物理大奖告诉了我们这样的事实，哥本哈根矩阵经久不衰、不确定性原理永垂不朽！
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   看来，要想推翻量子力学的不确定性并不容易。
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$ _: _6 M) [" l4 j0 _0 h   但是，见鬼了" ?, Y* n2 P7 ]$ Q- a' {, ~) w
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   醒醒，慢点，既然薛定谔方程和哥本哈根学派矩阵都是表达同样的理论，为什么薛定谔可以自我标榜‘确定性’，哥本哈根学派理论却‘不确定’呢？？？
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   量子理论到底是确定的呢，或是不确定的呢？% a5 p) [: F/ H0 H4 \8 m; D9 S
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   头大了，晕

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4.3 百分百中大奖
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% Y* b1 j, c% ]% h   经常在媒体上看到某某买彩票中大奖，一夜暴富。羡慕之余，偶尔也会忍不住买一张彩票，揣把希望。3 B8 Z* V( X/ [. p( @4 H
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   不过跟几乎所有彩民一样，俺从没见过大奖啥样。
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, [6 D- r" r+ `) p   一天，一伙熟人吃饭东拉西扯侃大山，有朋友说他有一个办法可以保证百分百中大奖，问大伙想不想听听？! e$ c5 D* ~# d2 L: }. G: A9 O
0 a8 x$ J) Q$ I# p
   什么，百分百中大奖？？？; M' ]; |" P9 e0 ^+ H. |
( q* l; _" u* q6 c9 k
   还有这样的办法% Q- }: Y; i/ d) U9 q
0 M3 K2 @4 t" n$ f/ e# n
   无稽之谈吧& o5 Z3 m, w2 }2 G' F4 O
& c, K# q& r0 t. J, P) [: \' F
   凑过头一听，得，居然是真的。: {6 N: Q- X, n! P) @+ K5 X1 |
7 Z4 X2 Q1 _9 ^

, [9 p) z& q6 E6 N1 a5 l4 y; i( H9 }  q5 L7 W  X- V+ I# Z
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& E& n- w' g0 z3 ~; z) l; y   方法就是把本期所有彩票全部买下，保证百分之百中大奖。哈哈哈0 {0 q9 M& `$ ]. T/ w

# X) o5 P( Q6 _$ g, n7 c- c( E8 {/ m( s
" F4 Q4 M5 `# M4 G4 A
   仅仅买几张彩票，谁都明白几率很低，非常非常的不确定，只有撞大运碰巧了才可能中奖。
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1 r. d! E" Z6 ?   但如果所有彩票全部买下，实现完备性，那就不需要“运气”，必然中奖。9 d  O: ^; ]0 F8 l
, ]7 w$ I8 l$ S5 Q, p
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   一般而言，空间维度的完备性和随机性现象有深刻的内在关系。如果空间维度不完备，那么将出现随机性现象。显然，越不完备，则不确定性越大。另一方面，如果空间维度完备（基的数量等于秩），则一切皆确定，不会出现随机性现象。1 {3 m5 g- H" b# p
$ }9 }& y" a8 I3 A0 s6 H( h" r

& ?& I2 k6 }/ |8 z6 x! V
  D7 }/ i% F" t3 r1 r. ~# ~' W0 [6 B1 [
5 A9 y0 L) c* u- H9 D5 m  Z
   再比如，我们熟知的‘守株待兔’的成语。因为兔子可以四面八方到处跑，固守一个方向抓兔子的成功概率当然很小。但如果我们能天罗地网到处布网，兔子将无处遁形、无处藏身、无路可走，必然等着被捉。
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   这里，守株待兔是“随机性”，天罗地网即“完备性”。+ q' J( r- {$ C. W: M  ?
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# [9 N9 q" p. o( E1 U0 Q

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7 y  e3 x7 ?  E) t. q9 N. T! R' g* W/ ]) R. a
   又比如，骰子有六个面，如果我们能在骰子六面各放一台摄像机，那么六台摄像机可以形成一个完备空间。当六台摄像机看作一个整体，则无论骰子如何抛落，摄像机总能对着它的每一面，也就是说骰子的每一面都必然会在这个完备的摄像机体系中出现，这意味着必然性。; |- {3 x0 q: f& N) \
" C6 p  ~. C2 a4 |2 |& ?+ @

% J; P- g' q  q. V1 t  |) k# @; l- w: h
   事实上，我们通常说骰子的随机性，是针对仅从一个面来看骰子出现的点数的概率而言。仅仅从一个面看骰子，对六面骰子空间而言肯定是不完备的，所以出现随机性。
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" ~; r3 R( ]4 ]! e" Z$ p: b2 a# q* X& Z

* U7 @8 B3 k& R+ T: O6 r$ h! c   更加值得一提的是，6维空间需要6个视角才完备。但如果6维空间通过维度折叠（空间折叠）到一维，则一维空间下一个视角就已足够。
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4 b2 N1 C& j* ?2 k% y# }4 n0 s. ~9 G   所以，当我们审视一个单维空间时，它总是完备的。
' J. G% \3 N# {
4 b: ?; p% f$ u
3 \) H; J2 G. F7 X5 W$ J& G" t( N( D$ n) m% G# _
   比如，骰子的数学期望（概率术语）就是空间六维度折叠到一维的现象。8 Z/ {' s5 E2 P4 y4 Q% j, h' g2 `# j! I  K

5 g: }4 C  r8 v: Y/ c: `( {$ |: X   骰子的数学期望  = Σ（1+2+3+4+5+6）*(1/6) = 3.5
1 F7 L9 F* R! m. y' t7 l3 v" Z
   可以看出，通过计算1、2、3、4、5、6在六维度的系统整体概率，通过空间折叠我们将得到一个一维空间的骰子数学期望值3.5
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) `$ U4 Q; l! u  I
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& Q! r* J9 J" @, ]6 d4 m* K0 j
( |) q0 W" K" v   请注意，虽然每一次抛骰子出现的点数是不确定的，但因为数学期望值是随机系统的固有属性，所以骰子的数学期望值是一定、肯定、确定的（总是等于3.5）4 F  k- S+ T" {

sunsong7

4.4 矩阵的折叠
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1 |0 ?" S  E4 D( p3 R3 p8 K( f
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: ?0 \2 N. {4 V; @   上一节，我们大概了解了“不确定性”和“不完备性”的内在脉络。继续深入探讨这个伟大发现之前，先回过头看看薛定谔方程为什么是确定性的。
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   下面，我们再进一步聊聊哥本哈根学院派和波粒二象派的斗争问题。还是那句话，既然薛定谔方程和哥本哈根学派矩阵都是表达同样的理论，为什么薛定谔可以自我标榜确定性，哥本哈根学派理论却不确定呢？？？' B, ]( b% ?- Y- e& |6 f

: T+ j& ~) Q7 B　　为了进一步说明这个问题，需要说说薛定谔方程的量子论和哥本哈根学派矩阵的量子论的异同。8 t1 W; u9 }4 j6 f* g
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7 t4 C( [- l% n( ]% r' z* }- h　　这要从二者的表达方式说起：
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8 I* ^: X6 I' n0 h   薛定谔方程是一个笼统的表达（表现为单一波的形式），而矩阵力学则是细化分量的组合（是一群波的组合形式）。
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   薛定谔方程类似于骰子数学期望值，矩阵力学则是各维度分项的概率分布系统。* H7 e- r5 z8 g: x, Z' `4 R

0 Z4 I. X/ M: P   薛定谔表象在矩阵表示中是对角矩阵，而哥本哈根的量子态空间的矩阵表述并不仅限于是对角矩阵。（个人认为，薛定谔对角矩阵意味着薛定谔方程是普通矩阵力学不含纠缠态的特例；一般性的哥本哈根矩阵并不仅仅限于对角矩阵，如果某个矩阵的非对角元素有非零值，这就意味着此矩阵中包含了纠缠信息。）
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7 {- l, C0 D8 E4 O$ L% M　　从微积分符号来看，薛定谔方程是积分的一个单一数值F(t)（等式左边），而矩阵力学则是由各个微分分量f(t)dt组成的一整个线性空间系统（等式右边）。- ?7 x6 m+ L+ T/ g3 S

. X- p, v" Q3 Q3 C* v
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( C) T$ I% E  R- u
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& H5 x! i( v# T% x0 k
) `  h- F2 [+ {" c$ _   打一个更容易理解的比方，下面这张某学校学生成绩的统计表中，合计的“总分”类似于薛定谔方程，而分项“语文”、“数学”、“英语”、“历史”、“政治”、“地理”等的各学科成绩则类似矩阵力学。' c/ @, Y2 i7 |) s  b
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, a4 Z. m9 Q: w4 J  U
0 W  X7 c" \8 R
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$ s3 E- R$ `: i: x: ~1 ?. ]: Q   再比如，如果老师布置一道作业，要薛定谔同学和海森堡同学分别用自己的方式来描述人走路。
) ~; H# ^* v9 B- a* ~8 N3 m, I. j5 @
   那么薛定谔会把整个人看做一个点，再描述这个点前进的轨迹；
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# _0 ]3 c7 C+ \- K. Z+ U( w   但海森堡则不得不分别刻画人的眼、耳、口、鼻、手、脚、头、躯干等等人体的分量的情况、再把这些分量的状态组合起来才能描述整个人。
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% W# @8 C0 D8 P" }" Y; ^1 q+ c1 \# q5 X8 H  o
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, C6 Z; r0 X; |2 U  @" K2 t1 r

, Z6 y1 R. d( Q- N; h  h   又比如，一体条鱼可以看作其眼、耳、口、鼻、心、肝、脾、肺等各个器官的组合。
! P$ A* Y! m8 `9 a9 X) ]5 D" F: h! C4 }. y. c- M
   如果是简单化笼统以一个词“鱼”表示，是薛定谔的方法。
" W/ c5 _+ ]* B% U; L! w
" x  b) C6 a6 c, w2 w. i+ h$ k7 Y   如果把鱼眼、鱼耳、鱼口、鱼鼻、鱼心、鱼肝、鱼脾、鱼肺等多个器官的有机组合表达，则是矩阵力学的方式。
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# ^/ x7 d2 U. t$ m, n' `( H　　
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9 C( h/ M; G& W+ p. u0 Y0 G5 j2 b) G+ `& a9 _! [; Q0 L
' w  T' ?$ j/ m2 [) }+ E8 n# e& u

6 N" R0 q6 q+ u
( R" U: S* \9 \: G- t　　形象比喻，薛定谔方程一维空间，是通过多维度矩阵态的“维度折叠”（空间折叠）而来。2 W0 s/ J9 S/ A" b1 ?7 j) P- _
9 ^& f2 q( T2 L5 t3 L4 E5 x. L. {
   这也就是单维度总量的薛定谔方程是确定的，而多维度分量（维度不完备）的矩阵量子力学有不确定性原理的根源。
& J! _- f. Q! I5 L& j) o- b6 R. |5 l  f+ L7 u* h) a- r) ?- E
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+ o- L. v# t. S- n  U' v% s
　　也正因为态空间是更加高级的表达方式（其维度是无穷大阿列夫2，这个后面证明），所以逻辑上会产生不确定性的形式，所以它不得不借助概率随机性来表达，所以它会面临空间维度不完备的窘迫。而初级一维方式的薛定谔方程则遇不到维度问题。8 r' [+ u% R1 H4 n
& S4 U0 H  N# @) ^0 _$ ^

+ X4 c' a+ a, Q; l6 F
4 I: y6 N! W) e. R
4 W  V- M+ Y0 z5 F! n
. i6 @" b9 R- h0 J   另一方面，尽管矩阵力学遭到闲云野鹤派的猛烈攻击和嘲笑。不过，客观来说，矩阵力学显然比薛定谔方程更加精细，由于其信息量巨大，显然也更为复杂，同时也更为先进。
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   薛定谔方程相对初级简单化，而哥本哈根的态空间的系统理论更高级复杂化。
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   所以，量子力学教科书总是开篇先阐述较容易理解的薛定谔方程，学生入门后，再一步步引领解读较为深奥的矩阵力学。
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$ \% N+ }$ w! s2 i" z1 |9 i: U
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    显然，利用矩阵来分析、剖析多维度分量，能够揭示更加有意义的细节。  T- l6 O. ]# R/ q/ f4 C& B
8 r! _, ]4 g. M, ~6 Z
    事实上，由于矩阵力学的深邃厚重，对它的开发潜力还远未到头。6 s  Y! C6 [2 k  X
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    所以，即使在现在，以不确定性原理为基础的矩阵力学仍然后劲十足生命顽强，风雨摧残越战越勇，大有横扫千军一统江湖的王者风范。0 E& ~# k1 G8 v. M: @% {5 n2 J. q
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  M' }5 d5 u5 x& q0 d( W

  Z6 T( m1 h+ \; |4 ]# P" P# |+ Y' Y    需要特别指出的是，不确定性（概率随机性）是一种更加先进的表达方式，正是因为通过它，量子力学中人类的视野才能从阿列夫1级无穷大拓展到更为广阔的阿列夫2级无穷大的维度空间。
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1 _' E: `, T9 S* W2 h& ]4 u    那是微积分点到更加广泛的张量空间的飞跃， 那是经典粒子到更加广阔的波动科学的荣耀。6 \( X) h* g2 _- Q4 H

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4.5 包利矩阵; d; K/ Z  K6 r3 \7 Z& z
( M/ ^+ B6 @0 j5 y: h; L1 Z0 E

' o. Q  ^2 F/ @/ S6 @- R+ U! ]* d! a2 t& j
   上一节提出来，维度不完备是不确定性现象产生的根源，是这样吗？
! R: o# x) m; p& h; \2 @" _/ a0 g* T' |' \% A( u1 _6 G
   下面，来看一个具体直观的例子。8 x# w- V2 E3 s/ {/ m
+ N0 V( Q9 i* ^& ]. r. r
5 ]8 z  v5 A# P
/ x# e  J% ?$ [  Q, h
　　进入量子空间需要一张特别入场卷，就像小学生必须背乘法口诀、下围棋必须牢记定式一样，欣赏这个大殿的美景必须滚瓜烂熟包利矩阵。* ]+ s0 J7 `$ e! w2 w7 q
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) M; q% z6 D& \/ i8 [　　包利矩阵是个很有意思的话题，如果深入探讨，会发现量子力学里的空间维度完备性的特殊意义。
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2 {8 Y) h5 v4 J8 M+ V& O
1 A3 t. y6 P2 ^/ x) [/ Z

) m+ S* g  D- Q+ b- B! B
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) C3 {1 K3 z5 M; T2 ~/ x
- t8 }' `" g2 C& `　　首先看，σx和σy相乘，表面上应该表达x和y轴组成的一个二维平面，似乎是二维的。但是，包利矩阵的二维并不是一个维度取自于x轴，另一个维度取自于y轴，而是取自某个正、负的方向，而这方向同时和x、y、z三维相关。所以自旋空间有且只有三个包利矩阵，而不会是两个或四个包利矩阵。所以σx乘以σy不是二维空间，而是个三维空间，所以众所周知的包利矩阵，σx、σy、σz互相不对易。而不对易的根源在于彼此没有共同的完备的基矢量。
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- V. o: t3 ]. n- r! Z　　因为，σx、σy、σz都是二维矩阵，而σx、σy、σz处于一个三维空间中！
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8 y8 C" e; L( I" D　　也就是说，σx、σy、σz的共同基矢量只有二维，但是却需要表达一个三维空间。. q' w- K+ f1 u0 }+ ]7 Y
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: R0 b" a4 ]: m3 v, r7 u' O3 j

% Y8 v6 _4 t: F. e　　切！这不正是“不完备性定理”引深的问题么？（因为基矢量对维度不足够，所以表达不完备）
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* x1 j& [3 [* V  o8 k6 n9 h1 Z+ S
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   菩提、般若，透彻、敞亮！
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8 q3 o+ Z; Q9 c  T6 z. E  i" z5 y' n, U- y' ]
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3 Y# I4 e  M  K( r) v2 j' _# v& f5 Z
) s; x8 f! B+ z" H5 n  x. ?　　似乎是那么回事，但好像又有一点不放心，还有别的例子吗？
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) g4 v! U/ M, u& R6 ^   另外，有限维度的矩阵不完备好理解。不过我们知道量子态空间的矩阵是连续无限维度的，莫非连续无限维度空间也不完备么？6 u9 b, {& l1 E; ]. [" A% S. r