|
  
- 积分
- 13286
- 威望
- 13286
- 包包
- 34831
|
8 F( a F4 j: d0 {
3.5 外空黑洞阿列夫
a0 R/ n3 F$ U+ J+ y1 s' u$ B5 s$ H/ }" l# C* K/ L
. F9 }; n+ Q9 b, o
2 B4 ]) i3 |- U. r5 K9 R$ X
1 d" `1 x% p$ U7 R
& X' B, i: L9 q& g+ F
" \: R9 n1 G$ M( Z3 [
, \9 Z; @: l9 X9 K1 I8 C
, A* R; e3 I- j/ L
/ f9 R4 `1 j7 I7 ? D: }$ h+ R* Z4 d% X0 d7 }4 l
兜了一大圈，下面我们再来捋一捋哥德尔“不完备性定理”关键点：' x" C& O3 S* E% |4 b" F
: U9 n2 v/ I( T9 F, Y$ m. X
1 g I5 x! P6 K# E$ D$ x! p/ j1 ` 首先，靠一条一条公理补充列举的方法，建立和添加出来的公理体系必然是可列的。再次提醒童鞋们，可列集的无穷大只能达到‘阿列夫0’
# T0 b. v- t# `- `' T2 x/ J, Z2 s
" y/ R- h, b8 p- ]. B3 x 另一方面，包容万象的命题体系却包含有‘诡论命题'，‘诡论命题'对应于无理数，而包含无理数的实数却有‘阿列夫1’之多，远远大于‘阿列夫0’所能阐述的范围。
4 I+ d4 ]: ?- P/ j1 I7 F% b5 I ~- U$ B `
* B5 F. e& R4 j+ o5 B$ k
' G U& u5 d$ Q: M" i
; Q% h# n! A0 E2 R6 E o" l. Y# W# V, t. U$ t
- F+ m# x: u; v4 p 所以，当哥德尔找到一个【说谎者诡论】例子，证明‘阿列夫0’维度的形式逻辑公理系统无法判定时，希尔伯特立即意识到康托尔连续统理论，立即意识到连续统理论中多不可数的无理数，立即意识到和无理数一样，多得‘多不可数’的不可判定命题。
1 Z" v0 t3 T; [/ u2 H; C3 T: B& W5 m$ U1 h/ H
: A6 I3 S. G/ u1 R/ M) f& d: P9 U- C2 V1 ?
% _1 H* B0 ?& M. b+ X- r. p8 I' g% q2 B6 s6 I
, C* M; d$ Y4 m# |% n
平明拂剑朝天去，薄暮垂鞭醉酒归
; q, Y' F7 Y4 B$ b/ A# ^' L& k* A. [, {. o' T% Q
! d8 a7 a4 Q0 ~2 u
恨苍天2 o6 b( `7 D1 u0 i \' C, Z
2 L- W6 W; i" H2 T* v' s
3 V! v1 q. n3 T1 C u' s2 p; H& i5 u% q1 P0 t3 B }0 t. {
/ }1 @* W7 z! L2 k" f9 h
% B ?+ y' b u" q7 Z H! S/ A9 _$ I2 c' i4 Z' A1 z+ \# p
# W j" @+ n; M5 @- Z" U, Q2 D
" z: {, {* F8 g
& X4 h" D! w$ D3 y D
2014年6月8日，英国《每日电讯报》报道，一台由俄罗斯人开发的超级计算机通过了标志性的图灵测试。这台卓越的超级计算机模拟人类的思维，让33%的考官认为他们是在与一个13岁的男孩儿对话，计算机通过自己的智慧成功蒙骗了人类。这一划时代事件，正逢计算机之父图灵先生去世60周年纪念，被认为是人工智能领域里程碑式的突破。; V! S% k9 d3 J- y0 G' } O
- k( {$ T& l) Z1 K/ e/ [
7 z' K/ x8 p+ v
一台冰冷的机器，超越人类的智慧？？5 H e9 u/ m9 ]- U! C4 u! V1 J
. K3 `8 F& ~0 ~3 b; L" B
I( Q- d) p( D; E8 f0 D 骇人听闻，如果这是真的，可能有一天，科幻电影将成真------机器人将替代人类成为世界的主人。
+ z) x/ \6 t1 |9 X: } [8 W0 p% P
; H' s/ e H- F7 G) F: r9 ]
这可能么？数不清的一串串大问号。
9 Q& ]. u7 M8 b
) ^9 n# e! }: R+ O: @2 E/ ]! d5 r6 y7 I1 ?
之所以学术派对当代计算机的智能严重怀疑，是因为如今所有的计算机在逻辑上是完全一样的，都叫做“图灵机”，而图灵机是基于形式逻辑的‘阿列夫0’维度空间的。2 t- n: M! ?% C2 N* Q
& u& M4 |, ~' G! d% S3 N1 X; I) u* H' H
. N# F7 R. x. I: G+ ~3 Y, ^
% H/ v# k& ]# j. X6 n& S2 V% N0 B- i P3 b
$ a" z# {) k, X2 c2 q 这里，不得不提，那个把数理逻辑推向世界之巅的人———阿兰·图灵，英国著名数学家、计算机科学之父、人工智能之父。1 C! `0 Q" }) U; P, f. m2 @
E) U; Y$ y5 e) I- d( c4 z
. a4 Y/ v; F) l5 L0 ]( P 1936年，图灵向伦敦权威的数学杂志投了一篇论文《论可计算数及其在判定问题上的应用》。在这篇论文中，图灵给“可计算性”下了一个严格的数学定义，提出著名的“图灵机”的设想。图灵机不是一种具体的机器，而是一种数理逻辑的思想模型，可制造一种十分简单但运算能力极强的计算装置，用来计算所有能想象得到的可计算函数。 基本思想是用机器来模拟人们用纸笔进行数学自动机械化运算的过程。设计解决某一问题所需要的固有套路，按这个步骤走下去，就可以解决某一特定的问题，这种观念是具有革命性意义的。
9 b' ~/ i7 |, ?2 u" { K) U' U6 K& N+ M ]" M: S8 _
1 K# ? ~! D* U* W8 s 图灵是伟大的，之所以主流媒体对图灵的宣传较少，因为他在世俗羞辱下最终选择咬食剧毒苹果自杀（基督教认为自杀不光彩），数年以来他都被视为罪恶的人。直到2013年12月24日英国司法部长克里斯才宣布：英国女王伊莉莎白二世赦免上世纪50年代因同性恋行为被定罪的阿兰·图灵。
% e1 q5 U3 M( z
2 a: c+ p& V% o4 B }' j, a1 O9 `( r% \! c8 b2 T: |4 `4 b! }
当我们每天用电脑、平板、手机，或办公或娱乐或聊天或游荡的时候，应该感谢图灵先生，向这个伟大的灵魂致敬！
) m) k# P+ m4 R6 w* W5 G4 J, E
3 e' t; @/ V. }; J1 C" ~: Z4 F1 h: `/ o5 K8 H0 Q, t: Z
1966年，美国计算机协会设立图灵奖，被喻为计算机界的诺贝尔奖。它是以图灵先生的名字命名的，是对图灵伟大贡献的肯定。有人说iphone的那个被咬了一口的烂苹果商标，就是为了纪念他。0 k. l0 z* n" k# N h
o g; d d8 s4 Y9 L! V2 t7 v
. j! ~" X" V, g' q* ~# j9 {
' v: `$ t- V" d% H
1 T' d3 p' Z* x# |! k* x- H* c1 B+ ?) }& o7 N0 O# R8 ?
3 ~5 n' C: k0 ~
今天，超级计算机、小型计算机、服务器、PC机、平板、智能手机等等“图灵机”已经遍布我们身边，影响了我们日常生活的方方面面。但是，尽管“图灵机”攻城掠地战绩显赫，却并不能掩盖“图灵机”的严重局限性。
# n" r5 r1 E" z+ L% d, t- g" ]/ B1 p2 S
s7 z+ V6 i7 w3 Y! \8 s& J 现在大家都知道，哥德尔不完备性定理证明了“图灵机”的这种逻辑局限性。但是，一个世纪以前，‘阿列夫0’维度的局限性却鲜有人知。除了独孤求败的康托尔、一剑封喉的哥德尔，第三个意识到这种局限性的人应该就是希尔伯特了。
: J( r5 {. D. e/ m1 c$ R8 N! _9 h4 @/ W
\5 O0 s/ E) r' \8 m 因为，对于无穷大的诡异，希尔伯特很早就注意到了。天苍苍、野茫茫，风吹草低见牛羊2 k6 f5 v/ a" k6 M$ {$ c
! m: C/ A9 ~5 p
+ x/ B. Z& R* [, Q 曾经，一个23岁年轻人，就是以一篇关于不变量理论的论文跻身数学界。他的证明方法在当时相当具有争议性。- q+ a% q. Z1 V J
* u0 K; F- E1 P; o4 X0 I0 ?2 Z9 m! s) a1 l; L# D$ D/ X z
- N0 z1 G& V2 F1 P0 \+ T9 I2 ^
) z. P( b! w" v* }
3 L* S' i6 I8 n6 W8 y+ Y" F% v! u7 r" r
在这篇论文中，他使用了‘非构造性’的证明，也就是说他只能证明某个数学对象的存在性，却无法将它具体指出。比如说，一个报告厅有100个座位，有99位听众进去了，我可以断定一定有一个空座位，这就是一种非构造性证明。但我没办法将具体的空座位指出来。写这个论文的年轻人就是日后统领江湖的希尔伯特大侠。
, S0 h" i+ b; x: F- R. @
/ N1 C. J( |5 ]# d1 p
o x5 p; ~% Q) R0 ~/ P 利用这一独特的非构造性的证明，大侠构建了一个关于无穷大的独特的“希尔伯特旅馆”：
( K* A# i9 @( j, p) h, \# H2 |; \& ?! n& i1 c
4 J) j, O7 I% T. b7 U6 @- A: B 【一天夜里，已经很晚了，一对年老的夫妻走进一家旅馆，他们想要一个房间。前台侍者回答说："对不起，我们旅馆已经客满了，一间空房也没有剩下。"看着这对老人疲惫的神情，侍者又说："但是，让我来想想办法……" 这个好心的侍者开始动手为这对老人解决房间问题：他叫醒旅馆里已经睡下的房客，请他们换一换地方：1号房的客人换到2号房间，2号房的客人换到3号房间……以此类推，直至每一位房客都从自己的房间搬到下一个房间。这时奇迹出现了：1号房间竟然空了出来。侍者高兴地将这对老年夫妇安排了进去。没有增加房间，没有减少客人，两位老人来到时所有的房间都住满了客人--但是仅仅通过让每一位客人挪到下一个房间，结果第一个房间就空了出来，这是为什么呢？: V. i0 M# H) E* d, Z( P9 k
) F( L" G9 v6 K8 j& g' C2 U1 E( ?/ m; t6 [ q/ A3 l
原来，两位老人进的是数学上著名的希尔伯特旅馆———它被认为是一个有着无穷多房间的旅馆。
! q& p, K, C1 ?6 x8 O- D3 l2 y# c+ P3 z. }* y4 W- I0 s
4 e1 p, f$ ?; O0 d 这个故事是伟大的数学家大卫·希尔伯特所讲述，他借此引出了数学上神奇诡异的"可列无穷大"的概念。】
6 C/ j+ G3 L; U9 d3 w0 a+ y0 h! X# P8 O% j4 s
+ X" X" }% a7 `3 n$ B
$ Y( q) k7 m6 y
0 n3 K4 x# Z, I: i9 b @8 n
5 D8 ` b1 F. y
+ z8 F' ?' F9 x, i, G
9 A: @% d- ?3 R u7 _* g: j7 x
, o. u1 o6 C* R8 @, [2 B4 L/ h2 s" m+ h8 m' P
0 \ ], g7 I# }/ q/ N 很显然，希尔伯特旅馆的可列无穷大即是‘阿列夫0’- s$ T9 u) H) c& n* _7 `8 X
$ |( I' W, Y5 O
$ D3 P8 N' O# s* z! }7 B+ a/ j6 H/ n# K# O) k6 Z, p
: G0 ~ P; Y7 [ Q2 n8 V( b1 R& I# C( T
2 V7 O) _, S. \) V' W0 Q4 K
亲手创建‘可列’无穷大军团的希尔伯特，突然看到哥德尔论文中的把说谎者诡论和‘不可列’的无理数，从而联系到一起时，可以想见他是多么的震惊，惶恐不安！
4 d4 ?6 {5 P- @5 S6 B
) {& {& ]2 L; i# y" Y) x8 ~; n9 D* H5 Q) [! r% n
希尔伯特当然不是害怕一个小崽提出的一个小小诡论，他恐惧，是见到了那妖物背后的‘不可列’。
- V @3 }/ m+ ^0 z- B4 c& y# x
2 U1 M8 L/ b- R* ], L
# v4 M/ e: Y1 @# p- {. ?6 H 所以，希尔伯特一招之后就放下武器背道投敌了。可以想见，这个曾经叱咤风云的老人，当时是多么地惶恐无奈，老泪纵横。伙计们，不是老夫不努力，只怪敌人太强大太强大。
1 e- v3 T4 D, g$ n% R: ~2 ?$ z# w: ? b; @$ `! s% ^2 y) Q
& X o2 L: x p- t: Z( j6 P 所以，以希尔伯特的伟大，仅仅遇到一个不可判定命题，就彻底放弃了反抗，因为这一个例外后面跟着‘多不可数’。假如我们把人类普通语言逻辑看作一个空间，那么诡论则是来自外空的异形。而且这类我们地球人眼中的必有歧义的诡论，甚至是‘多不可数’的，它们的军团远远大于‘可列的’阿列夫0 ，如巨大的黑洞超越了人类的正常思维、远远超越了人类习以为常的形式语言逻辑。
! W7 P& i t" _4 O
@" n2 Q0 i) y* D K. i2 t4 [( y- B4 L
+ Q0 u$ w7 ?: g+ c7 {3 `
0 g3 `0 J; T: L; X4 }) K
1 z U' c0 a$ f* G3 Q
: P+ q; R. Q( E$ x 也就是说，形式数理逻辑公理体系之所以不完备，本质上是因为其维度最多是‘可列的’，而宇宙逻辑的维度是‘不可列’的。宇宙逻辑的空间维度远远大于‘可列的’语义系统，所以人类惯常的语义系统无从解答广阔空间的哈如繁星的‘不可列’问题。% U: x, k" s- I7 t& q
+ Q' z# h- r& e7 s/ |
$ O; _5 n) v- j j0 V9 v a, A+ E
7 X; Y; \# r! r5 @+ _
9 k! a$ b/ h( @. F5 }" r6 u
# g+ B# D( _# c' Q) i! A$ a
0 K+ V9 N5 i3 q7 {$ M' v% b 阿列夫0比阿列夫1小，阿列夫0对于阿列夫1不足，所以阿列夫0维度对于阿列夫1维度空间不完备。8 _1 r% P3 x* @7 W2 b/ p. \
# a8 v5 k) R- H2 e; x% ^( g' R0 L/ X1 S5 x/ _' L7 o/ I
这，就是“不完备性定理”的真谛。
) A1 T$ F2 t0 F" _: G) F
% E% a6 J7 [; w& z. [5 o6 i) M. L$ U+ |: C
不完备定理的‘不完备’本质是维度的不完备！！！1 ]. X0 @/ A+ M
4 |7 D! [" t+ m
$ J! j$ ~0 `2 {5 B. Y
) P& z6 {0 ?" ~7 n$ u' @
* b- C' q) e- t' `. W: w; f2 e' Z
' j* J1 V7 n9 j/ m; f, I7 n/ N+ O7 p$ W8 f9 s; L
大道至简！
$ U- C! {$ E& s2 @% K$ L! |1 \. I5 Z
. V6 h, ?/ V% e% d, v1 d1 |
# d0 d" t1 S' K5 F; |
. D% K% w: | V) z3 X7 g* H/ x! G, t S8 L( t+ n \$ }1 g
. |7 H3 i; z. i( X" }
- d, m# `! u9 C$ y* f
% N |; z/ F {! i! ^* l. P/ d C. J& u' e
' ~4 a/ ~, y) J% r: T$ s
S( M* ]5 J1 f5 B2 r5 x* B; t
& e7 U+ d% ]+ D1 B, y( | H
' ]: f1 i/ n8 O5 I9 A9 ^" \! F# _4 z1 z. b& I0 V
终于攻下一个阿列夫山头，烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。' L! j* N$ [6 N# d! X
: t: E5 i& g! u- O: A
_" y) B+ V& g7 T
不过战斗还将继续，如果人类的思维永远局限于阿列夫0维，那么我们可能真的要完蛋了。幸而，借助先进的思维工具，人类的思维模式能突破‘阿列夫0’，进而远达‘阿列夫1'、'阿列夫2' ............
; E9 l" `* l- U# i- T f6 F+ G `! ^. ]
& d% P) W% H; B& @* j
3 W4 n9 B( J$ a0 ]7 ^ y( t8 E/ x
% s4 V5 U7 A1 J8 P9 C
1 F7 P8 N, x/ U) U6 j( X6 S V2 e, p `
4 I" G3 l' }( q8 s5 |7 P1 r; L
9 w7 s7 `/ l: W4 A; c& R0 b( j
0 A @9 b& D$ g- g6 a' f( s* U8 n1 _# k+ z( C' B
可能很多朋友以前没听过康托尔连续统理论，对关于无穷大的阶，对阿列夫0、阿列夫1、阿列夫2不熟悉。也难免，对于不熟悉的很容易把人绕晕，何况是连大师都看不清的无穷大。' B7 ~0 v5 ~# b6 X7 {5 e; _ e2 ^
2 M- U. R8 E5 N# h1 |+ X, H" N! K/ S
& ~2 n3 C/ ~& W
康托尔连续统理论至今也没有被完全彻底的证明，比如我们不知道‘阿列夫0’和'阿列夫1'之间是不是有‘阿列夫0.5’、是不是有‘阿列夫0.1415926......’，所以康托尔连续统理论更多地被提为康托尔连续统假设。% c& ^! b$ r) c& r6 b. e
% K6 }9 Q3 s8 `0 i0 d/ B
: }3 s5 I, i: `: _% p 尽管还有这样那样的不足，康托尔连续统理论还不完善。但是，它的意义却是非同寻常的。并且，康托尔连续统理论中核心部分应该是可信的、是确定无疑的，比如通过可列和不可列的严格证明，明确了‘阿列夫0’和'阿列夫1'的本质差别。: }5 k, b8 R/ b
2 ^3 Q. `$ C' Q7 s) Q$ y
' R6 E* `% [! h' I
2 ^+ L* [; q" B0 O4 @" a7 M7 r/ a, _. P8 J
# z/ C7 P: S x8 ^+ ^: P8 T: @' O) d5 o8 G/ b) p+ X
& c* U9 h d2 I/ y4 W$ H( z
: Q3 z) c# s: \- X+ K3 e# p: ?; `# L+ i8 E* p
" x' H6 D8 H2 q( Z+ Z 后面章节，通过不确定性原理的故事，将为大家隆重介绍‘阿列夫2’是何方神圣。并且，通过认识‘阿列夫2’，我们将能明白量子力学不确定性原理的本源。更重要的是，通过“不确定性原理”的探讨，能对“不完备性定理”有更加深入透彻的认识。 J# ~7 s7 o: x4 D
# F3 V/ |. T8 y. Z. ~* K9 P
4 k1 W( Z+ \$ o+ P/ u/ p. T
3 |5 N( X2 ~, j) O0 R; u$ o, ?5 b, `# ]/ R3 O- y
1 V% h/ w) o7 O! Z! n" m- P# ^
8 H8 B( U9 |( j+ N+ x
+ h7 r5 P4 X- t |
|
发表于 2015-4-21 15:09
! g; o" P# P% J: \6 f! [
% q& L, N: d& {! a
/ X$ }8 x( O7 E4 n
4 U+ ~. e0 E3 b6 R& x( f
! a2 g/ R2 V* D" Z
- ?$ \6 A0 U, z9 R
# W; g5 U- W! p. y, \6 W: C' N
- ]4 k7 U6 o1 R! t7 M w; k+ R' r
" m6 _: f$ c1 w# N
3 a; L5 M* \' @: ^& v- G, g
# M. I0 L8 J" W) s1 u0 u
) u |! u% V R$ P6 ^, L: O( u
2 U# }8 ]& {# k S$ l0 o/ x
7 l; Y2 m% H9 W3 ^( }! o
$ |# v- O4 k; i: O$ D s d3 r8 g/ v
* _: f5 P/ M( z7 q
1 X7 j1 C1 P5 p+ S: A! U% \+ u