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本帖最后由细胞海洋于 2013-5-6 09:11 编辑 2 h' k6 }. D! a# v0 m: X
; G. u" n+ q8 T! o! j$ }( B: }* s
Intermediate Physics for Medicine and Biology
5 V% a8 I; g$ H6 L7 Y
1 Mechanics 1
1.1 Distances and Sizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Forces and Translational Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Rotational Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ?5 W- c  H% i9 ?
1.4 Vector Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Force in the Achilles Tendon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6- W7 a# C& V8 s  i
1.6 Forces on the Hip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 The Use of a Cane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.9 Stress and Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12  ~$ \. g3 a" c, y$ }9 E
1.10 Shear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13' w3 s: Z0 P; X, h- D! s
1.11 Hydrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13( e- h; p1 Y2 C* \
1.12 Buoyancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.13 Compressibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.14 Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 v0 P2 ^% Q7 ~: _# w  G& X
1.15 Viscous Flow in a Tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.16 Pressure–Volume Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18# y: S) L/ a9 l  E0 F2 @5 ]
1.17 The Human Circulatory System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.18 Turbulent Flow and the Reynolds Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  i0 G+ E' `0 t
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 s5 u8 O0 b, `& H- j
2 Exponential Growth and Decay 31
2.1 Exponential Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 B$ a: Y5 Z: {; R9 b; x+ ]
2.2 Exponential Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Semilog Paper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. Y9 `6 U. b% t% S; [
2.4 Variable Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Clearance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 u+ W9 I0 z! U+ H. |8 q
2.6 Multiple Decay Paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37# S2 b# Z" O* ^
2.7 Decay Plus Input at a Constant Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38- n) j  Z1 I/ p. Y
2.8 Decay with Multiple Half-Lives and Fitting Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.9 The Logistic Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.10 Log–log Plots, Power Laws, and Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39' }6 K5 F0 u1 Y! n
2.10.1 Log-log Plots and Power Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.10.2 Food Consumption, Basal Metabolic Rate, and Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40; u2 |" [" t" r/ A' b
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42& E% k9 S4 q+ P; d) w
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 v% `5 L, K+ s1 V+ ]2 }
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 I9 i9 k% l5 {/ L( j
3 Systems of Many Particles 49- w6 P7 r1 S2 V" a" I  G0 Q. g
3.1 Gas Molecules in a Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50$ T) ^- y0 h( u4 _  ?4 V
3.2 Microstates and Macrostates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 The Energy of a System: The First Law of Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Ensembles and the Basic Postulates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54; ~. x3 c+ M. W8 p: ?& T( |
3.5 Thermal Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56( g3 L: Y# z4 n9 r
3.6 Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7 The Boltzmann Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.8 The Nernst Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59; d0 N! H: J0 D1 f3 B
3.9 The Pressure Variation in the Atmosphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 a1 e9 C7 y4 n- [- D! l
3.10 Equipartition of Energy and Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.11 Heat Capacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.12 Equilibrium When Particles Can Be Exchanged: The Chemical Potential . . . . . . . . . . . . . . . 61+ t) L& T! D) a0 O+ V6 J! B7 U5 ^
3.13 Concentration Dependence of the Chemical Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 h+ [) r# _) U. m  `
3.14 Systems That Can Exchange Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.15 Extensive Variables and Generalized Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64% H" o" z* d' w, R. o1 J' v  e
3.16 The General Thermodynamic Relationship . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64; N5 n7 f( _2 r6 Q" @0 g9 z
3.17 The Gibbs Free Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 K1 m- Q3 q3 Q2 o; f) e, Y
3.17.1 Gibbs Free Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65& X: D1 _! d7 [: x4 J  \, Q/ g
3.17.2 An Example: Chemical Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.18 The Chemical Potential of a Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.19 Transformation of Randomness to Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 Z, Z& o1 x( w
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71& B& I+ s7 D: f5 d+ D
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79+ ]% W& a  U( M! R7 O  D, G
4 Transport in an Infinite Medium 81
4.1 Flux, Fluence, and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 V4 C1 d  O( i; H0 @* v
4.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.2 The Continuity Equation in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. r" v/ E4 `0 d- _4 }$ @
4.1.3 The Continuity Equation in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82' ?5 v' [* t3 c& Z, K
4.1.4 The Integral Form of the Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83; T# O+ f; c( a7 G
4.1.5 The Differential Form of the Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84  d9 m- i9 b4 x: s
4.1.6 The Continuity Equation with a Chemical Reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Drift or Solvent Drag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85% O& q" {& ^( Y, k& j+ t( c
4.3 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850 J( o& n, F& S+ `
4.4 Motion in a Gas: Mean Free Path and Collision Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5 Motion in a Liquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6 Diffusion: Fick’s First Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.7 The Einstein Relationship Between Diffusion and Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.8 Fick’s Second Law of Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.9 Time-Independent Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.10 Example: Steady-State Diffusion to a Spherical Cell and End Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946 {& o# c0 K( ]6 {* e3 M. z4 @8 u
4.10.1 Diffusion Through a Collection of Pores, Corrected . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.10.2 Diffusion from a Sphere, Corrected . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.10.3 How Many Pores Are Needed? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.10.4 Other Applications of the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960 [/ n7 `% z8 I: S- ~
4.11 Example: A Spherical Cell Producing a Substance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.12 Drift and Diffusion in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986 q: b: E3 U6 a5 b- A! }1 J: N
4.13 A General Solution for the Particle Concentration as a Function of Time . . . . . . . . . . . . . . . 99& F% J$ D0 g/ l( Z. b
4.14 Diffusion as a Random Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087 j: F# q* G/ a* ~9 M
5 Transport Through Neutral Membranes 111
5.1 Membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Osmotic Pressure in an Ideal Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112( ]5 P( C" c; y; ^3 y! \& n
5.3 Osmotic Pressure in a Liquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114$ K7 j) O- d8 H6 o
5.4 Some Clinical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4.1 Edema Due to Heart Failure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.2 Nephrotic Syndrome, Liver Disease, and Ascites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116  B9 Z2 d7 a: L& z8 [
5.4.3 Edema of Inflammatory Reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116. F8 {. M8 Q9 e* J
5.4.4 Headaches in Renal Dialysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116- j8 U/ t: E+ s3 l5 P5 v
5.4.5 Osmotic Diuresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.6 Osmotic Fragility of Red Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117( D9 B" h- `6 X# b- g( y
5.5 Volume Transport Through aMembrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.6 Solute Transport Through aMembrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.7 Example: The Artificial Kidney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204 ?, K* e% D( ]4 w! |$ \
5.8 Countercurrent Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121) V' p( ^& ~3 g. [( T3 }
5.9 A ContinuumModel for Volume and Solute Transport in a Pore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122! `( q7 G7 R9 N  r+ o) b2 k
5.9.1 Volume Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.9.2 Solute Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.9.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127- S6 U0 o* B# q1 y8 ^& a6 F9 t
5.9.4 Reflection Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.9.5 The Effect of Pore Walls on Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.9.6 Net Force on the Membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129% S9 y3 i( v0 [0 M& S$ _
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133/ C  E2 o6 S! X
6 Impulses in Nerve and Muscle Cells 135
6.1 Physiology of Nerve and Muscle Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2 Coulomb’s Law, Superposition, and the Electric Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137  d$ K8 L5 B1 M# U6 k% b
6.3 Gauss’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138, B8 Y3 y6 m) e
6.4 Potential Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141: z  |& |. f. l' w7 y  p$ ^- \
6.5 Conductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.6 Capacitance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143: F2 j6 P3 m. K+ h, J9 {3 }' I) _4 ~
6.7 Dielectrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.8 Current and Ohm’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145* u% |. c+ s4 Z
6.9 The Application of Ohm’s Law to Simple Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.10 Charge Distribution in the Resting Nerve Cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148. N. I: ]  m$ K! Y; G4 [! T* C
6.11 The Cable Model for an Axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1490 f: d) c7 X% p' G# R% Y0 C7 H
6.12 Electrotonus or Passive Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153  |$ Y; ~5 A- U
6.13 The Hodgkin–Huxley Model for Membrane Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.13.1 Voltage Clamp Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154$ A( S9 d* |/ S- w* c7 i: J9 p& e
6.13.2 Potassium Conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.13.3 Sodium Conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157' l  {5 V0 _% t; h+ |1 F% L
6.13.4 Leakage Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.14 Voltage Changes in a Space-Clamped Axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584 P$ R8 ~# `# I- {$ g5 v
6.15 Propagating Nerve Impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.16 Myelinated Fibers and Saltatory Conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160; `6 v4 R8 n% f3 X; R5 v
6.17 Membrane Capacitance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.18 Rhythmic Electrical Activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164- o; q/ n- r- F
6.19 The Relationship Between Capacitance, Resistance, and Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.19.1 Capacitance and Resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165/ ~9 \% t  @+ ~& X6 D; b
6.19.2 Capacitance and Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165$ R3 w' T. C# v* }% @6 D3 I3 o+ a
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168& p% Q0 U4 U" D+ j- R
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7 The Exterior Potential and the Electrocardiogram 177& ^2 V9 r" ]0 K1 Z
7.1 The Potential Outside a Long Cylindrical Axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778 I6 l* N. D7 P5 d( e% D$ t
7.2 The Exterior Potential is Small . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179" O+ M/ y4 }  c, b5 J
7.3 The Potential Far From the Axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.4 The Exterior Potential for an Arbitrary Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.5 Electrical Properties of the Heart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184. ]' ~) t" j7 M& a& \1 T
7.6 The Current-Dipole Vector of the Heart as a Function of Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.7 The Electrocardiographic Leads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.8 Some Electrocardiograms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.9 Refinements to the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.9.1 The Axon Has a Finite Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.9.2 Nonuniform Exterior Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.9.3 Anisotropic Conductivity: The Bidomain Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191  Z' {3 Y; q& l7 t* I
7.10 Electrical Stimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.11 The Electroencephalogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196  d2 ?- e; v; n; q
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197* ^; W, H2 O. ?+ e  J7 x) U* ]
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017 T/ ~* E+ @/ k' m
8 Biomagnetism 2030 O  g0 t  l' |9 F- C
8.1 TheMagnetic Force on aMoving Charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.2 TheMagnetic Field of aMoving Charge or a Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205! A1 J  R) u- P* t5 F
8.2.1 The Divergence of the Magnetic Field Is Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205" T+ Z' q+ v/ @! V; N7 e
8.2.2 Ampere’s Circuital Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2.3 The Biot-Savart Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206, Y$ d' ~1 z, r3 O- k4 Y& v' r2 `% T
8.2.4 The Displacement Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207) d/ b% {. N/ `% j9 c% z: e
8.3 TheMagnetic Field Around an Axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208" K' k1 X  `' h- ?1 M' {
8.4 The Magnetocardiogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.5 The Magnetoencephalogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211$ Z" r& Z: w1 t- L& `
8.6 Electromagnetic Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213( |' Z/ K8 p8 @& V
8.7 Magnetic Stimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.8 Magnetic Materials and Biological Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214+ `. F6 y# c5 e( X0 O: E1 Z
8.8.1 Magnetic Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215  B* O, I- P; g7 z% B8 P; o
8.8.2 Measuring Magnetic Properties in People . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216! Z- {9 _% B  s0 J) g
8.8.3 Magnetic Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.9 Detection of Weak Magnetic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218# T' g+ K0 _0 h  S) G2 c/ z: H4 r7 X
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197 f3 u7 M) d" r1 C& C
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2241 j7 X! _7 [  ^6 m* p
9 Electricity and Magnetism at the Cellular Level 227
9.1 Donnan Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227/ Y. ~4 G6 |, M' `) G7 C
9.2 Potential Change at an Interface: The Gouy–Chapman Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2292 g8 ?" y; g9 g3 U: D4 T5 E
9.3 Ions in Solution: The Debye–H¨uckelModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231" _- n0 X, f5 z/ ]7 [. K5 T; Q7 q# y# v
9.4 Saturation of the Dielectric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.5 Ion Movement in Solution: The Nernst–Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234' z$ \$ {( H( Q4 `
9.6 Zero Total Current in a Constant-Field Membrane: The Goldman Equations . . . . . . . . . . . . . 236
9.7 Membrane Channels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238% j; [2 Z' `; |6 ~. O: W' P9 V) ]( t
9.8 Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242/ [( j6 K' i% l7 J
9.8.1 Shot Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.8.2 Johnson Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2427 ~  Z1 A9 B! o. L6 p
9.9 Sensory Transducers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.10 Possible Effects of Weak External Electric and Magnetic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244# K; f+ }7 ]( E& M
9.10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.10.2 Effects of Strong Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2448 r0 ?/ }8 Z' j& N4 F7 v. G
9.10.3 Fields in Homes are Weak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.10.4 Epidemiological Studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245( E- S  _, I8 ^# D
9.10.5 Laboratory Studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245: d4 F; e. k& Q+ m4 S( O" C
9.10.6 Reviews and Panel Reports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.10.7 Electric Fields in the Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246& A& M# E2 i. Z4 a8 g/ x+ Z
9.10.8 Electric Fields in a Spherical Cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246+ J* R3 @0 \* o8 y: W0 ]3 G9 ]/ r% R
9.10.9 Electrical Interactions and Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.10.10 Magnetic Interactions and Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2470 {8 V8 E6 `& I3 V
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10 Feedback and Control 2556 Z  h! o6 b- w5 ?2 O
10.1 Steady-State Relationships Among Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256/ L" w/ T4 S0 G/ d0 R* e" {9 E
10.2 Determining the Operating Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
10.3 Regulation of a Variable and Open-Loop Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257' O4 G6 e  _) O) r: H. g9 Z
10.4 Approach to Equilibrium without Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2592 d2 ~) [& |% W" l
10.5 Approach to Equilibrium in a Feedback Loop with One Time Constant . . . . . . . . . . . . . . . . 259( ]! A- ^5 Z2 _* q% H5 u. n9 F4 H
10.6 A Feedback Loop with Two Time Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2623 C6 b) M$ P% Z9 a
10.7 Models Using Nonlinear Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
10.7.1 Describing a Nonlinear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
10.7.2 An Example of Phase Resetting: The Radial Isochron Clock . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
10.7.3 Stopping an Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268( i9 I$ I; }( y8 Y) D, q
10.8 Difference Equations and Chaotic Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
10.8.1 The Logistic Map: Period Doubling and Deterministic Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269) m3 z6 r) \+ m& `" Y( U# I' k
10.8.2 The Bifurcation Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270$ }* B  D# }/ I3 o; i
10.8.3 Quasiperiodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.9 A Feedback Loop with a Time Constant and a Fixed Delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.10 Negative Feedback Loops: A Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273, U- u3 u! I- q6 \  b( ^
10.11 Additional Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.11.1 Cheyne–Stokes Respiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.11.2 Hot Tubs and Heat Stroke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.11.3 Pupil Size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.11.4 Oscillating White-Blood-Cell Counts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
10.11.5 Waves in Excitable Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275$ b3 P- t- i0 K7 B7 F3 z( o5 ?
10.11.6 Period Doubling and Chaos in Heart Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2777 ^& b4 A! m8 r- `) E* v4 m
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2838 I& M# [+ t% n9 H
11 The Method of Least Squares and Signal Analysis 285* Z, D  P" r4 ^, i5 W) Z
11.1 The Method of Least Squares and Polynomial Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285; T- c# R  a  E3 {. B  N. R
11.1.1 The Simplest Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285  V6 H8 U' M9 [2 ^
11.1.2 A Linear Fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286' e' G7 b; l7 x
11.1.3 A Polynomial Fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
11.1.4 Variable Weighting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288: L( X4 ]1 m, ~6 }$ ~
11.2 Nonlinear Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
11.3 The Presence of Many Frequencies in a Periodic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.4 Fourier Series for Discrete Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
11.4.1 Introducing the Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
11.4.2 Equally Spaced Data Points Simplify the Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
11.4.3 The Standard Form for the Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914 D& v( E4 r1 L0 }& E* J
11.4.4 Complex Exponential Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.4.5 Example: The Square Wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292! t* }8 _1 W: v( g+ I; r2 r
11.4.6 Example: When the Sampling Time Is Not a Multiple of the Period of the Signal . . . . . . 292
11.4.7 Example: Spontaneous Births . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293  M1 v8 a; W! |9 [7 u0 S4 T) H! t& y0 x
11.4.8 Example: Photosynthesis in Plants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2942 z& _3 p' h  P! Q$ r& u
11.4.9 Pitfalls of Discrete Sampling: Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294& O6 v) S, z2 {7 l: G
11.4.10 Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295% @7 \+ d0 E+ _4 Y2 Z- E* i
11.5 Fourier Series for a Periodic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
11.6 The Power Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296- e  c6 N8 `" ^) {, s$ Z
11.7 Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
11.7.1 Cross-Correlation of a Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
11.7.2 Cross-Correlation of a Nonpulse Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299" N8 h% D& p7 j. z5 e
11.7.3 Cross-Correlation Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299( ^; `% E: G: q0 G$ i9 s2 i1 a8 p
11.7.4 Autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2992 {3 D0 N5 m$ j1 B8 y& R( G
11.7.5 Autocorrelation Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299, a. Y4 H: N% B* R2 M' U% |
11.8 The Autocorrelation Function and the Power Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3000 b" z: V* e2 K: y% H" S
11.9 Nonperiodic Signals and Fourier Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301* s; p$ O# J' L: _0 s
11.9.1 Introduce Negative Frequencies and Make the Coefficients Half as Large . . . . . . . . . . . 3015 L5 b  P9 c0 }/ H1 X$ x0 ]
11.9.2 Make the Period Infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
11.9.3 Complex Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
11.9.4 Example: The Exponential Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303  R5 m: }9 Z  u
11.10 The Delta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
11.11 The Energy Spectrum of a Pulse and Parseval’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304! H# k: D6 d- }* ^* T- k4 |
11.11.1 Parseval’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.11.2 Example: The Exponential Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.12 The Autocorrelation of a Pulse and Its Relation to the Energy Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . 305+ r( ?7 C5 L6 F0 y: J% P% {
11.13 Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3062 B+ W. l4 i, @: M& B, W5 e9 H  |
11.14 Correlation Functions and Noisy Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
11.14.1 Detecting Signals in Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3088 G. p( F5 J* ^/ D" s
11.14.2 Signal Averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3081 h. E) g8 V3 C# L1 H" u
11.14.3 Power Spectral Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
11.14.4 Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
11.15 Frequency Response of a Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3105 u6 F4 P- I# E  p- d. Y7 H$ w4 ]
11.15.1 Example of Calculating the Frequency Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113 [9 P3 E8 z4 O2 `& }, g
11.15.2 The Decibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
11.15.3 Example: Impulse Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
11.16 The Frequency Spectrum of Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
11.16.1 Johnson Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
11.16.2 Shot Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
11.16.3 1/f Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
11.17 Testing Data for Chaotic Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316- D4 l( S$ C( p
11.17.1 Embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3169 a% w8 H  E5 y6 H9 i
11.17.2 Surrogate Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
11.18 Stochastic Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3179 b+ k7 O0 V5 F7 F
11.18.1 Threshold Detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3171 g* l4 x' T: _5 V5 q
11.18.2 Feynman’s Ratchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318( Q; }, H; n& s3 Q9 n6 ]2 ~& @8 J
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
12 Images 325, J, p: n0 u) L. s9 ]$ W6 q
12.1 The Convolution Integral and its Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
12.1.1 One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3258 B+ Q3 O( F" u; f+ L% N
12.1.2 Two Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
12.2 The Relationship Between the Object and the Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3273 R. W$ J3 `) c$ O9 w5 \" K
12.2.1 Point-Spread Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327& L( Y0 D4 I+ N  G
12.2.2 Optical-, Modulation-, and Phase-Transfer Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
12.2.3 Line- and Edge-Spread Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
12.3 Spatial Frequencies in an Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3298 p. ~% U' @  E  z
12.3.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331* ^! B" {; \* w. F$ }& P
12.4 Two-Dimensional Image Reconstruction from Projections by Fourier Transform . . . . . . . . . . . 331( y, N! d  x8 I
12.5 Reconstruction from Projections by Filtered Back Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
12.6 An Example of Filtered Back Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335  H! U( P2 t6 ?4 ?) A, \
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337$ q) }$ U7 x) @- `  i& Q
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
13 Sound and Ultrasound 3434 J, `3 ]% c+ p* q( r' d
13.1 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
13.1.1 Plane Waves in an Elastic Rod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343* B+ P3 R2 i. h9 e+ c
13.1.2 Plane Waves in a Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3448 m% `' l! y+ ~. y' c' [0 D3 `
13.2 Properties of the Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345: C0 D  O  I, J' C" y0 [( V: q
13.3 Acoustic Impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
13.3.1 Relationships Between Pressure, Displacement and Velocity in a Plane Wave . . . . . . . . . 346
13.3.2 Reflection and Transmission of Sound at a Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
13.4 Comparing Intensities: Decibels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3478 _9 ?3 D. V  y% V
13.4.1 The Decibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
13.4.2 Hearing Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
13.5 The Ear and Hearing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
13.6 Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349+ i- t" w4 _) ]. d7 R# v
13.7 Medical Uses of Ultrasound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
13.7.1 Ultrasound Transducers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350/ Z, J4 w% k# M
13.7.2 Pulse Echo Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
13.8 The Doppler Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354' J/ c5 ~; j# [& i- J' t) c5 e
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3573 P2 g5 n' N4 M) F, V6 ]
14 Atoms and Light 359
14.1 The Nature of Light: Waves versus Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3598 i5 {  e2 ]3 V
14.2 Atomic Energy Levels and Atomic Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
14.3 Molecular Energy Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
14.4 Scattering and Absorption of Radiation; Cross Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364+ U; f0 N) t. y4 ]; a* ?
14.5 The Diffusion Approximation to Photon Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
14.5.1 General Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
14.5.2 Continuous Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
14.5.3 Pulsed Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
14.5.4 Refinements to the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
14.6 Biological Applications of Infrared Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
14.6.1 Near Infrared (NIR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
14.6.2 Optical Coherence Tomography (OCT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3707 M& \# T& `9 M, t
14.6.3 Raman Spectroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3710 Q* g6 ?7 |0 c9 K
14.6.4 Far Infrared or Terahertz Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
14.7 Thermal Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372& k$ q. B: B3 I+ }8 T& r
14.8 Infrared Radiation from the Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
14.8.1 Atherosclerotic Coronary Heart Disease . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
14.9 Blue and Ultraviolet Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377% U0 r& }7 n% q6 h7 o* T
14.9.1 Treatment of Neonatal Jaundice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377" o3 X  B9 d# x8 |+ n. y' u
14.9.2 The Ultraviolet Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
14.9.3 Response of the Skin to Ultraviolet Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378- v; `8 W5 v& t  ^! K
14.9.4 Ultraviolet Light Causes Skin Cancer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
14.9.5 Protection from Ultraviolet Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
14.9.6 Ultraviolet Light Damages the Eye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381+ k, S' h/ }$ ^0 X
14.9.7 Ultraviolet Light Synthesizes Vitamin D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
14.9.8 Ultraviolet Light Therapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
14.10 Heating Tissue with Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381" {$ `  e! j' S7 {+ S6 F  W! n& s
14.11 Radiometry and Photometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383/ E7 s& l' x- J# o$ x- G1 }* v9 H
14.11.1 Radiometric Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383& Q. y5 g7 _, I: M7 }
14.11.2 Photometric Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
14.11.3 Actinometric Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
14.12 The Eye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388: W1 ]  E+ v/ V$ o9 F
14.13 Quantum Effects in Dark-Adapted Vision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3975 T$ x$ j1 D4 z
15 Interaction of Photons and Charged Particles with Matter 401, ]! U4 a) i0 B! K( F8 K" b% `
15.1 Atomic Energy Levels and X-ray Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
15.2 Photon Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403" t( t& Z4 C' C$ z) w; S, _
15.2.1 Photoelectric Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403* G" Z& Z, k  L& O6 o% ?* L
15.2.2 Compton and Incoherent Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
15.2.3 Coherent Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403% V) |* `* s* `4 ]
15.2.4 Inelastic Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
15.2.5 Pair Production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
15.2.6 Energy Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
15.3 The Photoelectric Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4040 X1 S  ^- p/ Z( W% A
15.4 Compton Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
15.4.1 Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4053 j+ B9 j  _( y/ F" a3 U
15.4.2 Cross Section: Klein–Nishina Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
15.4.3 Incoherent Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
15.4.4 Energy Transferred to the Electron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
15.5 Coherent Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
15.6 Pair Production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
15.7 The Photon Attenuation Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
15.8 Compounds and Mixtures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410) N' G& P& ~8 {; t9 X0 W% f, \+ c
15.9 Deexcitation of Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
15.10 Energy Transfer from Photons to Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
15.11 Charged-Particle Stopping Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4148 e* r% q8 v6 L$ y
15.11.1 Interaction with Target Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
15.11.2 Scattering from the Nucleus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421. x2 ?+ p% Y" [6 X
15.11.3 Stopping of Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422! \1 }/ I+ N* J9 ?
15.11.4 Compounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422) F- s3 S4 D) h$ Q
15.12 Linear Energy Transfer and Restricted Collision Stopping Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422) ?" D/ X- _: M, ^
15.13 Range, Straggling, and Radiation Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423) q( v, \* `' [. c; \
15.14 Track Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4245 m; c5 c' r  b. t. t2 ?6 Z* o
15.15 Energy Transferred and Energy Imparted; Kerma and Absorbed Dose . . . . . . . . . . . . . . . . 4257 m7 b% V3 y) @/ D& n! _) b- }6 w
15.15.1 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425- D" o& I; Q; {) b* S8 F
15.15.2 Energy Transferred and Kerma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
15.15.3 Energy Imparted and Absorbed Dose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4279 _8 o+ T) p, h+ {
15.15.4 Net Energy Transferred, Collision Kerma, and Radiative Kerma . . . . . . . . . . . . . . . . 4287 a# J, z- v2 y$ z4 }
15.16 Charged-Particle Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428& F9 t9 L+ f8 b3 x# D& z
15.16.1 Radiation Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
15.16.2 Charged-particle Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
15.17 Buildup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429% `  y7 M2 y! g3 w9 H
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4308 D+ I2 s& X8 H
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
16 Medical Use of X Rays 437; y) k6 Q- q+ v+ I
16.1 Production of X Rays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
16.1.1 Characteristic X Rays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437- D& W3 y& N. c
16.1.2 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4381 h( o1 N% u$ w+ @, w. S
16.2 Quantities to Describe Radiation Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4393 z% R! }; ?/ x7 g/ p
16.2.1 Radiation Chemical Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4396 [7 ~) Y8 _: M7 Z6 B
16.2.2 Mean Energy per Ion Pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439; N: }4 i5 i; w- k- N; N
16.2.3 Exposure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
16.3 Detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
16.3.1 Film and Screens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
16.3.2 Scintillation Detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442" E( |: H8 J4 {3 j+ R
16.3.3 Gas Detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
16.3.4 Semiconductor Detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
16.3.5 Thermoluminescent Dosimeters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
16.3.6 Chemical Dosimetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445- I  D: I! ^' H5 V5 j" @; @0 x
16.3.7 Digital Detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
16.4 The Diagnostic Radiograph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
16.4.1 X-ray Tube and Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
16.4.2 Collimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
16.4.3 Attenuation in the Patient: Contrast Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
16.4.4 Antiscatter Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
16.4.5 Film–Screen Combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
16.4.6 Computed and Direct Radiography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
16.5 Image Quality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
16.6 Angiography and Digital Subtraction Angiography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4530 H. }2 S+ E8 w" d
16.7 Mammography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453, G) [3 Q8 p5 q1 w* n5 C1 J7 }
16.8 Fluoroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
16.9 Computed Tomography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
16.10 Biological Effects of Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4576 h/ x1 u( u6 d* R+ l
16.10.1 Cell-Culture Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
16.10.2 Chromosome Damage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
16.10.3 The Linear-quadratic Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460% C' u1 n  r; o+ N5 [* W' Y" x
16.10.4 The Bystander Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4604 O% M* B# R0 X7 L2 `2 }( g+ p/ _
16.10.5 Tissue Irradiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4613 n$ ^$ {; X, v/ V% @
16.10.6 A Model for Tumor Eradication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
16.11 Radiation Therapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
16.11.1 Classical Radiation Therapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464* s1 r. q0 w  `, F0 d
16.11.2 Modern X-ray Therapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465/ r. U* I2 h8 q) Z& \
16.11.3 Charged Particles and Neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4653 {' n  R" J# d$ Y
16.12 Dose Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
16.13 The Risk of Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
16.13.1 Equivalent and Effective Dose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4684 w4 M( w% m0 {! H: q' K
16.13.2 Comparison with Natural Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
16.13.3 Calculating Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
16.13.4 Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474  z0 ~5 _6 p: Z& X. b0 c5 @4 a
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477, a- a. F  j6 h& C9 U+ z% Z- ?* S) ?3 ^
17 Nuclear Physics and Nuclear Medicine 481
17.1 Nuclear Systematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
17.2 Nuclear Decay: Decay Rate and Half-Life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4849 N1 E0 l- E% G4 M& E. G+ M- t
17.3 Gamma Decay and Internal Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
17.4 Beta Decay and Electron Capture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
17.5 Calculating the Absorbed Dose from Radioactive Nuclei within the Body . . . . . . . . . . . . . . . 4888 G# X2 o  v9 n
17.6 Activity and Cumulated Activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
17.6.1 The General Distribution Problem: Residence Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490. e0 E3 g0 e3 U# R2 w
17.6.2 Immediate Uptake with No Biological Excretion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
17.6.3 Immediate Uptake with Exponential Biological Excretion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4901 Z% P, W' G3 \; u# _9 u) w2 B( {
17.6.4 Immediate Uptake Moving through Two Compartments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
17.6.5 More Complicated Situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
17.6.6 Activity per Unit Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492, `4 v' |- I8 ?0 W5 f  a& K
17.7 Mean Energy Emitted per Unit of Cumulated Activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
17.8 Calculation of the Absorbed Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
17.8.1 Nonpenetrating Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
17.8.2 Infinite Source in an Infinite Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
17.8.3 Point Source of Monoenergetic Photons in Empty Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
17.8.4 Point Source of Monoenergetic Photons in an Infinite Isotropic Absorber . . . . . . . . . . . 494
17.8.5 More Complicated Cases—the MIRD Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
17.9 Radiopharmaceuticals and Tracers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
17.9.1 Physical Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4952 G. `* a, n, S9 }4 C$ t
17.9.2 Biological Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4978 O) |+ {0 E% c2 y, a
17.10 Sample Dose Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4986 }: S# x" v) [) \) }
17.11 Auger Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500) U2 J. W* I6 s* i' i
17.12 Detectors; The Gamma Camera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500% H3 ~3 M: N4 f$ X
17.13 Single-Photon Emission Computed Tomography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
17.14 Positron Emission Tomography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
17.15 Brachytherapy and Internal Radiotherapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
17.16 Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505; y/ z5 X. p5 d' G0 B( @
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5079 s+ a& Y" R  n, k1 {! Y
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
18 Magnetic Resonance Imaging 515
18.1 Magnetic Moments in an External Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5156 D* P8 e1 i7 U* j* g; [
18.2 The Source of the Magnetic Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5166 t. r8 H. V$ K5 ?; Z3 O1 q  ?
18.3 The Magnetization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
18.4 Behavior of the Magnetization Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518; U3 |3 B( L" g0 w! q, _& i
18.5 A Rotating Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
18.5.1 Transforming to the Rotating Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519$ `# o+ l: h: O" k! c
18.5.2 An Additional Oscillating Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
18.5.3 Nutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5218 V$ J/ U; A" w3 H, s) w+ u- ~
18.5.4 π and π/2 Pulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
18.6 Relaxation Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522! n+ l6 b! L/ F/ A  ~( W$ ^
18.7 Detecting the Magnetic Resonance Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
18.8 Some Useful Pulse Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
18.8.1 Free-Induction-Decay (FID) Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5257 w  g; ?6 k3 {/ X
18.8.2 Inversion-Recovery (IR) Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
18.8.3 Spin–Echo (SE) Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5263 e7 N: k; o( F/ e( Y9 ]$ j
18.8.4 Carr–Purcell (CP) Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526, |; A7 l. Z- _+ \6 }
18.8.5 Carr–Purcell–Meiboom–Gill (CPMG) Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5273 X' S; S1 \/ `& @6 r9 Z  ]/ B. w
18.9 Imaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
18.9.1 Slice Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
18.9.2 Readout in the x Direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
18.9.3 Projection Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
18.9.4 Phase Encoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
18.9.5 Other Pulse Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531* [5 G* W( H4 Y6 z6 A1 I+ w
18.9.6 Image Contrast and the Pulse Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533, ^3 t  L) h+ O6 i) b% c
18.9.7 Safety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534% C" X% b% m; V0 T+ S
18.10 Chemical Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534, x2 e+ A0 e" m, l- X
18.11 Flow Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535$ I4 ~/ M3 @6 {1 m. Q8 r9 w$ w: t
18.12 Functional MRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536& h4 [1 E, @1 W* @( m/ R9 z
18.13 Diffusion and Diffusion Tensor MRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5365 X$ e7 u4 z) c/ }
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538$ R4 u9 J# E- P; Q1 a
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
A Plane and Solid Angles 543' Z  W3 \/ E* x& x$ g5 }% L3 F
A.1 Plane Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5432 d- y5 s8 s; P
A.2 Solid Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
B Vectors; Displacement, Velocity, and Acceleration 545
B.1 Vectors and Vector Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
B.2 Components of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
B.3 Position, Velocity, and Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
C Properties of Exponents and Logarithms 549
D Taylor’s Series 551
E Some Integrals of Sines and Cosines 5559 f2 s% x5 |) @! N8 O4 P4 |
F Linear Differential Equations with Constant Coefficients 557
F.1 First-order Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
F.2 Second-order Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
G The Mean and Standard Deviation 561
H The Binomial Probability Distribution 563
I The Gaussian Probability Distribution 567
J The Poisson Distribution 5719 X2 b7 p$ I  \* _5 n' v2 ?
K Integrals Involving e−ax2 575, E0 q0 ]) n. t& _
L Spherical and Cylindrical Coordinates 577; n0 a7 w! y5 u" |3 o
M Joint Probability Distributions 579. i, m. G9 X8 T$ Q5 I7 T& R' y
M.1 Discrete Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5797 s# X" q  y* R6 Y- l# Z7 W
M.2 Continuous Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5806 Z% R" F4 G# b$ d/ E
N Partial Derivatives 581
O Some Fundamental Constants and Conversion Factors 583
Index 585# O; i5 ~" C4 t* Z, V. n, Y

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