美哉：欲拥科学，必抱数学！——不完备性定理和不确定性原理

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关于不完备性定理和不确定性原理的探讨

（本文经原作者陈正茂先生授权转发干细胞之家）

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源自：科学网

作者：陈正茂  
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第一章 公理体系

8 j% k. W' Z  v6 u1.1 几何原本
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  当年我们高考通关上大学，惊奇于大学和中学的巨大区别：中学是点到点的逻辑，而大学是体系到体系的思维。
0 X/ P2 o  M; @& Y% v  X' E1 ?   系统思维，是更高级的智慧。
2 d) U$ H3 o/ u6 ^   历史以来，中国文化的系统思维始终停留在阴阳五行、中庸和谐类模糊笼统的层次上。与此形成鲜明对比的是，西方两千多年前就已经严密论证发明公理化系统思维了。
: I5 ?; K4 f, H   关键的区别是，东方的系统思维是语文的，而西方的系统思维是数学化的。如果语言文字描述是系统分析的1.0版，那么数学度量则是系统分析的2.0版本。
5 U' d$ F# J1 X+ B0 }# N   大学里，文科生不可能不知道《圣经》；理科生也不可能不知道《几何原本》。$ E9 c; u5 y% {" @
   因为《几何原本》是西方量化体系思维的鼻祖。
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   公元前300年，古希腊有个叫欧几里得的超人，写了一本叫《几何原本》的超级牛逼著作。从欧几里得发表《几何原本》到如今，尽管已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，这本书所倡导的思想内涵依然万丈光芒，其思维方式仍然是所有自然科学的理论基础。它在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍，深深影响了整个人类文明的发展。
* ~) v  o3 C, P" Y   牛顿小时候在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，仅对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，被深深刺激的牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复钻研，终于入门，被《几何原本》万丈光芒的思想所折服，为其以后的科学理念打下了坚实的思维基础，后来牛顿按照公理化模式发表跨时代的《自然哲学的数学原理》，终成一代宗师。! f( v1 w* I& E4 t
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   两千多年前，欧几里德天才地注意到几何体系中已经发现的465条定理都可以由基本的10条公理推导出来，而且他天才洞察力断定几何体系中所有的定理都可以由此10条基本公理推导出来。也就是说，公理是比定理更基本的‘零件’，并且所有的几何学定理都可以由10条公理‘拼凑’而成。) J1 S' n3 D/ F1 P: F

! }- n! i! y! j9 U+ p# C    几何学的所有问题都可以由10条基本公理来解答，意味着，这10条基本公理不仅是几何体系中标准零件、还是几何体系中“全部的”标准零件。也就是说，几何学仅需这区区10个的基本零件就足够了。因为这10个的‘零件’可以完完整整‘拼凑’出来整个的欧式几何学。
, w& E1 d) T' B. y( J+ b2 h    这个发现太匪夷所思了，因为欧式几何学是非常纷繁复杂的系统，涉及了全等形、平行线和直线形、圆、弦、割线、切线、圆心角、圆周角、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥以至球体的体积、圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题、整除性、质数、最大公约数、最小公倍数、正多面体等等，等等，其中定理多不胜数，探讨的问题更多如牛毛。1 w6 G5 H3 ]4 ?: t7 ]

! _9 Z! u1 \6 c    看过《几何原本》，而不被雷倒的人，绝对是没有看懂的人。
; x4 N7 K0 A6 \. {$ Q8 A4 `    如此复杂的整个欧式几何体系，居然仅仅只要10个基本‘零件’，就能完全解答了。可以毫不夸张的说，这是人类一万年一回的最伟大的科学发现 ！！！
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    今天，如果我们严格苛刻审视，《几何原本》的公理系统并不完善，当中的证明亦有不少缺陷，但它踏出了科学体系化的重大突破、代表了人类抽象思维的巨大升华。0 C. y/ [& n0 E
    大道至简，公理体系表达式如此简洁，它是体系化思维的关键核心。: ]( @- x# {% z/ B
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1.2 形式化数理逻辑

   能够拿到毕业证的理科大学生，多少都明白数理化等自然学科应该差不多可以用公理化体系审视。

   但是，文科学科呢？

   文科的各学科，语文、政治、经济、历史、地理等等学科，和公理体系有关系吗？

   有！

   甚幸，公理体系是广布宇宙的秘密武器，放之四海而皆准。欲谈体系思维，必谈公理体系。

   当理科学霸天天解题的时候，文艺青年在忙着写文章表达情怀。一篇文章落成，如果老师评卷能给个及格的话，相信老师应该从文章中看到了思想。一个字一个字码起来的的文章，似流水一样千变万化的辞藻只是表象，铁打不变的中心思想内涵才是关键。铁打的营盘、流水的兵，语言即是形式逻辑，思想脉络就是逻辑。思想明晰的文章，必然有紧凑的结构性。把文章分解进行符号化以后的形式系统，可以看做一种数理逻辑的命题结构。站在数理逻辑的角度，有统一中心思想的命题结构是一个收敛的系统，可以用公理体系表达。

   【一篇文章】     论据1 ＋ 论据2 => 中心思想

   把一篇文章象计算题一样看待，是形式化数理逻辑的专长。人类的思维一般都是以自然语言进行的，形式逻辑就是研究自然语言的逻辑，判断借助于自然语言所表述的思维结构的正确性，是形式逻辑的任务。而数理逻辑的两个演算（命题演算和一阶谓词演算）是典型的形式系统，所以说，数理逻辑的核心是形式语言和公理学方法。

   把一篇文章形式化以数理逻辑表达的过程大致是这样的：首先，把文章一步步细化划分为各章节、各段落、各语句；然后，把每一条语句看作一条命题；最后，把每一个命题公式化为标准的范式，再把范式展开为逻辑门。

   这里，逻辑门相当于数理逻辑的基本‘零件’。范式化过程也就是把机器拆成零件的过程（关键是记录拆的过程中零件和零件是如何衔接的）。反过来，用零件重新组装这部机器时，可以通过机械化方式按部就班的‘拼凑’完成。即：

    逻辑门1 ＋ 逻辑门2  => 范式  => 命题  => 语句  => 文章

   我们今天的所有计算机，都是依据形式化数理逻辑的理论，通过机械化方式“计算”标准的逻辑门范式从而解答问题的。

   【数理逻辑】   逻辑门1 ＋ 逻辑门2  => 命题

   形式化逻辑的意义在于，它既可以把自然科学体系化（公理化），又可以把文科学科体系化（公理化）。似乎，它能够把人类的所有知识体系化（公理化）。而这，是多么令人激动、让人发狂的啊！！！

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1.3 希尔伯特之梦
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) @  s# d' ~  J3 U' z8 x: m- D  以有限几条公理解答全部的问题，一劳永逸，如此诱人。千年以来，当越来越多的人明白了公理体系的内涵，有越来越多的人蠢蠢欲动，希望一步一步挖掘出全部的公理，希望以零星几个公理零件去打造整个宇宙。. L. [6 ?# x% K* N

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: ?6 j) ?6 E; l  “Wir müssen wissen, wir werden wissen.”（我们必须知道，我们必将知道。）
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9 ?5 G& X# N$ f; g' b' \  这是一个世纪前，伟大的希尔伯特先生在他退休时演讲的最后六个单词。当年希伯特的演讲所灌制的唱片，现在仍然保存着，我们若仔细听，仍依悉可听到希伯特讲完这句话时，得意的笑声 。希尔伯特是一位名副其实的数学大师，他看待数学的眼光相当深邃前瞻，有人将他称为数学界最后一位全才，著名的希尔伯特空间（量子力学的数学基础）就是以他的名字命名的，他是当之无愧的武林大盟主。
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$ Z5 d, E- R4 p4 P* I' Q! i  “Wir müssen wissen, wir werden wissen.”（我们必须知道，我们必将知道。）
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  何等的豪言！何等的气魄！何等的梦想！何等的伟大！( Y3 s9 G9 o1 s9 `8 _1 [$ ]

- Q# V1 L, w) Q6 H7 {  这句话代表了当时几乎所有数学家的心声，他们坚信，只要通过一代又一代人的不断努力，通过用形式化数理逻辑推理将其公理化整合到数学体系，通过机械化地判定演算，任何难题，任何真理，都必然能够得以完美地解决，文明智慧的康庄大道就在眼前！
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( v) F! ^& d+ O5 }: ^" m  对着数学抱着如此的信心，相信是那个时代极大部份的数学家所共有的，他们的大盟主希伯特清楚且有力的表达了出来：“我们必须知道，我们必将知道”8 ~4 `* M0 r: ~6 u9 G9 b2 i. s
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  那是战无不胜攻无不克的数学的时代，数学无往不胜，数理逻辑无所不能，形式逻辑包含一切，人类文明的飞跃即将来临、智慧爆炸的新时代即将来临。7 w, }" Q, p: x/ C2 C: k
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  形式化数理逻辑是个雄心勃勃的计划，希尔伯特认为这是可能的，信心满满。他提出，先在基础的数学系统进行这样的形式化，然后再将其推广到更广阔的数学系统中，最后实现整个计划。于是，整个计划便归结于在算术系统中进行这样的形式化，并且在它的内部证明它的完备性、一致性和可判定性。2 f  x+ z! g& J% R# `& J1 v8 h* {
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  在通常眼中，算术系统不过是小学生级别的小儿科系统。小学生做算术，对自然数做加法、乘法和数学归纳法，就都用到了这个系统。相对而言，算术系统是比较基础的，它早在1889年就被皮亚诺归结成一个有5条公理的、比较简单的系统。2 |* G+ L9 i' b0 R8 i  `
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  站在世界科学之巅的伟大的希尔伯特，俯身看了看这个如此简单算术系统，想来梦里也会笑醒吧。so easy ,彻底公理化（即实现完备性、一致性、可判定性），绝对没问题。- [- Q: P9 \. n

) y1 K5 N! M. W- c: c9 ~  “Wir müssen wissen, wir werden wissen.”（我们必须知道，我们必将知道。）
6 f. x/ V! [$ Y5 x8 P& Y+ H
, i+ h) Y) V, g) [/ h$ a0 R, a  他快乐的将算术公理系统问题列入了他那闻名遐迩的23条希尔伯特问题中，位列第二，希望引领新一代的数学家完美地证明。这是前无古人后无来者的伟大创举。人类最伟大的智者之一，希尔伯特先生，很有希望摘下头上‘之一’那个小环环，成为万中无一的绝世英雄，成为独一无二的“最伟大”！
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  1931年，仅仅在他退休一年之后，算术公理系统问题完美地证明即告解决。只是，遗憾的是，这个完美的答案却使得高傲的希尔伯特先生摔了个大跟头，哇哇吐血......

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第二章 不完备性定理

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8 C# C8 }7 J4 g* q8 o2.1 一剑封喉
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　　1931年，希尔伯特先生刚刚退休，清闲了没几天。有一个叫哥德尔的小混混找上门来，仅仅用了一招，仅此一招，一剑封喉，就击败了武林大盟主希尔伯特。
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8 m0 |9 T: B3 K# T* f8 L　　当年哥德尔粉碎希尔伯特梦想的，是一个简洁漂亮的小证明。当这个小小的证明一横空出世，就电闪雷鸣万道金光，对雄心勃勃的数学界来说更彷如晴天霹雳。这宣判了希尔伯特纲领的彻底破产。真是令人沮丧，哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。古今中外多少平凡的人和伟大的人都赞不绝口地歌颂着数学的完美、严谨与和谐。但是，哥德尔深刻直接揭露了数学不完备性的短板、抖出了数学的家丑、动摇了数学的基础、宣告了代数公理确定性丧失的史无前例的危机。' S- {$ t" m) z6 x2 E, T

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9 [! g. z7 ?# K, a7 ]　　“不完备性定理” 摧毁了经典数学，直接把数学从天上打趴到地下，星光闪耀的希尔伯特之梦昙花一现地破灭了！
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& }7 `- X$ o( N   伟人们曾经乐观认为找到了数学的基础、科学的基础、自然的基础，却突然发现这个基础只是海市蜃楼。而且，不完备定理似乎告诉人们，我们将永远无法找到这个基础，连数学这号称最精确的一切科学的基石尚且如此，其它所有的科学知识又如何立足呢?
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   另一方面，哥德尔一个小小的证明，却在震撼中使数学基础研究发生了划时代的变化，不期然间，成为现代逻辑史上重要的里程碑。它的影响如此之广泛，以至于哥德尔会被看作当代最有影响力的智慧巨人之一，受到人们的永恒怀念。
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　　库尔特·哥德尔一生发表论著不多，著名的仅仅是1931年发表的那篇惊世骇俗的论文《论数学原理和有关系统的形式不可判定命题》（即哥德尔不完备性定理）。但是，就凭借这个不完备性定理，哈佛大学于1952年授与哥德尔荣誉科学博士学位，称他为“本世纪最重要数学真理的发现者”；仅凭借这个不完备性定理，1951年哥德尔获得爱因斯坦勋章，冯.诺依曼在授勋仪式上高度评价道“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的——它的不朽甚至超过纪念碑。”；仅凭借这个不完备性定理，美国《时代》杂志曾评选出20世纪100个最伟大的人物，在数学家中排在第一的是：库尔特·哥德尔
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/ N2 T. G3 q, X: w. D8 B   那么，到底是如何神奇的独孤九剑，一剑封喉、一招毙敌，打到了伟大的希尔伯特、推倒了经世不朽的数学大厦的呢？
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2.2 不可判定性
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   哥德尔的证明最核心的概念，是古典希腊哲学中一个有名的诡论：【说谎者诡论】- w9 t  S, H- `7 s  z
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2 W+ N! N3 K) B   【公元前6世纪希腊时代的一个诗人哲学家说了一句很有名的话：“所有的克里特岛人都是说谎的。”这句话有名非常有名，倒不是因为它是真理，而是因为这句话是诡论。因为说这句话的人自己就是克里特岛人。
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2 p# `1 `2 @8 V1 x   若这句话是真的，则哲学家没有说谎，和这句话矛盾；反之，也是矛盾的。】
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   再举一个例子来说明类似的诡论：
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) Q. s4 n( L  d7 z- i. z% d   【 甲说：“乙从来不说谎的。”
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      乙说：“甲总是说假话。”- H. T* t* o. x% v

8 _( B' I  k& f4 b  x+ m   假设甲这句话是真的，即表示乙说的这句话是真的，故「甲总是说假话」是对的，所以得出甲这家伙是谎话连篇的，和假设甲的话是‘真’的矛盾。
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' m& @0 I9 a/ o( x/ y* a   我们现在假设甲说的这句话是假的，则「乙从来不说谎的」是假的，故乙这句话是假的，所以「甲总是说假话」是不对的，所以推出甲这家伙是说真话的，这又和我们的假设矛盾。
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   结论是，甲的话不论是真是假都必然矛盾。】' e$ a6 p- a& d# t; p. q
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; n7 N+ w- o$ O   说谎者诡论的数学模型：【如果A，则非A。】并且【如果非A，则A。】* y3 x% m2 n5 u; X

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   显然，说谎者诡论必然引出矛盾，这个模型无法在人类逻辑中建立，这种逻辑不被人类语义逻辑所允许。也就是说：这句话在本质上就不存在于人类形式语言模型中。并且任何一个自洽的语言系统都无法推断这句话的真伪。这对应于算术公理系统中存在「不可判定性命题」。$ Y5 v$ w, x/ y0 f1 \1 ~$ t
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   所以，哥德尔判断说谎者诡论永远不能被‘任何’形式逻辑证明真或者假，亦即证明了该公理系统一定是不完备性的。！1 q; d# }2 W  g4 G' v' [  p

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' l  P% }8 G( v3 u% f0 j+ y/ L* V! ?   但是，哥德尔仅仅利用一个不可判定命题，就可以证明‘无论’形式逻辑的公理体系如何强大，都‘必然’存在既不能证其真、也不能证其伪的命题吗？
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   仅此一个例证，就有如此摧古拉朽的威力么？/ {2 |+ `) l+ F: O& I
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   仅此一个例证，就能把不可一世的数理逻辑打趴下了吗？
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& L, C  ~8 J# N0 X   仅此一个例证，就能推翻严密的算术公理体系么？2 k0 ?7 k6 W" H

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8 y6 ?7 a/ S$ @# g; `* \9 x   一个小小的诡论命题，居然打倒了整个数学体系、整个科学体系、整个哲学体系，这个小命题有那么大的能量吗？3 a4 R& C7 q4 x, p5 t6 c! K9 ?2 y

& \' l7 p) F+ P" R. J( _3 a9 k   为什么会这样的怪异呢？？？) H5 _7 D3 p3 B* f

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  呜呜，偶们不服啊。
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/ ^% @& j5 T# T: r  回过神来，疑心不死。弱弱问问，‘诡论’一剑封喉，到底是真？或是假呢？
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2.3 线性空间
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7 b6 v1 S" q: H3 e  前面提过牛顿修仙之路的小故事。一开始，小牛同学偶遇武功秘籍《几何原本》，不料有眼无珠擦肩而过。后来，小牛侠武林大会惨遭淘汰，幸逢前辈点拨：“练武不练功、到老一场空。”于是阿顿死磕公理，苦修神功，内力大增，终打通任督二脉，成一代牛人宗师。
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" V( B* C: Q: |5 T9 x( F) [% S4 h  “练武不练功、到老一场空。”欲拥科学，必抱数学。否则花拳绣腿虚把式，到老一场空。欲上华山论剑，唯有闭关内功。4 F7 O9 V4 {+ ]1 u
  同理，要解释上面哥德尔的诡论命题的巨大冲击力，也不得不先谈谈一个关于科学理论的内功的武功秘籍－－－“线性空间”（数学上喜欢把系统叫做空间）
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  由于中国功利化的教育，数学之美极少有人能欣赏，倒是数学题的恶毒厌恶深深烙印心头。数学恐惧症的阴影，是大多数国人的共鸣。其实大可不必，因为数学原本并不恐怖。
, ^$ l, j9 i! ~" r* K1 A+ M2 \  对于线性空间的内容，其实我们早就习以为常了，只是有部分朋友也许并不熟悉这个名称。
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   远古，丛林里搏命的老祖宗发现了‘尖石头’的用处，然后创造性把‘木棍’绑住其中，发明了“矛”。 尖石头绑木棍的“矛”，简陋粗鄙，现代的我们可能不以为然，但远古丛林却是笑傲江湖的独门绝技、是柔弱人类征服丛林的超级武器。拥有了神器工具的人类，虽然四肢不发达、肌肉不强劲、奔跑不敏捷，但是能打跑野狼、射穿公牛、猎食大象。 把不同的零件拼凑而成工具，具有划时代的意义。凭借一代又一代升级的工具，人类一代又一代更叠着智慧，终于鹤立鸡群，人类从畜生的行列中升天，成为万物之神。其后，人类的能力一发不可收拾，创造了越来越复杂的工具，征服了越来越广阔的天地。工具，与人类文明相生相伴。 可以毫不夸张的说，工具即智慧。工具象征智慧，工具凝聚智慧，工具体现智慧。 所有的工具，无论多么复杂，原理都是一样的：先找一堆有用的零件，再把零件拼凑到一起。
% l7 F: B: P+ J& g7 B   说白了，关键就两点：零件、拼凑# n' s6 R& \7 l$ V: C, w
   比如新石器工具----“矛”，由零件 ‘尖石头’和 零件 ‘木棍’，捆绑拼凑而成：
; _/ k- ?/ h  H" F+ P   【新石器】     尖石头 ＋ 木棍 => 矛( e% W( F% Y* L4 |) ]8 j
   好象有点道理，又似是而非，还是有点懵。‘零件’和‘拼凑’，代表智慧？？？' V1 u; v% `3 L( a) b
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4 j; |# o# z) J, w' T* b' P. Y   其实道理都是相通的，举个更加入门级的例子。比如，堆积木。幼儿园小朋友要想堆砌出一个漂亮的大城堡，该怎么做呢？ 第一，他必须有一大堆造城堡的‘零件’，积木块； 第二，聪明的孩子会把积木块，长方体、 圆锥体，等等，按照一定组合方式‘拼凑’一起，造出城堡。如：
: `+ w6 h3 f3 {1 K- n9 ?   【堆积木】     长方体 ＋ 圆锥体 => 城堡 5 {  o. y+ D8 L; }- A+ Z* T
   如果你是善于思考的天才神童，你会好奇地发现其实远古石器造工具、幼儿园堆积木的过程都一样，并无二致。形式如下：
: \# V7 g0 V' A$ o3 _   【新石器】     尖石头 ＋ 木棍   => 矛3 h$ {4 Q+ k  P4 e- H( j! }
   【堆积木】     长方体 ＋ 圆锥体 => 城堡
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   无容置疑，工具当然意味着智慧。简单工具初级智慧、复杂工具高级智慧。 简单的工具，看得见摸得着，好理解。 复杂的工具（比如包藏于芯片内部的集成电路），看不见摸不着，又如何理解呢？  其实，有形的工具后面必然是无形的逻辑。 每一个成功的工具后面，都是一个成功的逻辑，如影相随。 哈，似乎高深莫测啦。能不能莫拿虚飘飘的逻辑说事，还是搞点实实在在的东东吧。 难免，一说到逻辑，就有人喊头疼。抱歉，不是俺想故弄玄虚，因为谈智慧就没发绕得过逻辑。其实各位朋友无需心里障碍，逻辑是个好朋友，永远不会出卖你！逻辑是什么呢？ 真谛一点就透，核心就是一句话：
" X' D. b8 q$ W( g" T; J# E   1 ＋ 2 => 3) X/ O4 W; v: T/ T; f/ b- x( Q
   天！有这么简单？对，这就是逻辑的核心，智慧的核心。 它包含了智慧的基本要素：‘零件’和‘拼凑’  {& E3 a* [) J* [% X5 }& O
   零件‘1’和零件‘2’，拼凑出‘3’。 这是小学一年级的智慧
7 x1 a1 \# Q/ L4 S+ V6 [5 D   而且，如果你是善于思考的三好学生，你会惊奇地发现远古石器造工具、幼儿园堆积木的过程、小学做算术题的过程都一样，并无二致。形式如下：1 a6 |) A0 l5 T4 d! V/ ^# z
   【新石器】     尖石头 ＋ 木棍   => 矛  w9 t' n+ Z: }& V: e: o6 I3 ]
   【堆积木】     长方体 ＋ 圆锥体 => 城堡
2 |7 a8 H# O2 I: ^$ l   【算术题】     1      ＋ 2      => 3
% `/ ?; f$ P: S! b4 ~   当然，小学的智慧（ 1 ＋ 2 => 3），比幼儿园的智慧（堆积木），更高级些。 从幼儿园1个积木块加两个积木块、1个苹果加两个苹果、一碗饭加两碗饭、一个手指加两个手指，到小学的算术抽象1 ＋ 2 => 3，是一次质的飞跃。 这是有形的工具，到无形的逻辑的飞跃。
" T5 d3 ^8 x- s0 a1 j2 n7 O. F6 [. Y
' P: N; I9 Z) t9 S$ B* u
   当我们从小学升到中学，会发现讨厌的数理化老师总是喜欢布置烤脑壳的应用题，而该死的应用题一般都比较难搞，比简单算术 1 ＋ 2 => 3 ，解应用题显然复杂得多。9 O/ j5 k( }: z* ?: u
   饱受数理化作业摧残的我们，早早晚晚会发现做应用题的窍门，只要把课本往前翻几页，找到最近学到的几个定理，再把定理拿出来套作业，基本上就可以轻松搞定解题了。因为所有的解题过程都一定、必须、绝对是由某某定理推出的。即：; \- t6 Z; ~& |# V* E
   定理1 + 定理2 => 习题
# T5 q3 m# j1 L$ d3 u/ x0 v) A   而且，如果你是勤于思考的天才学霸，你会惊诧于其实远古石器造工具、幼儿园堆积木的过程、小学做算术题的过程、解复杂应用题的过程都一样，并无二致。形式如下：
" ~  T" w2 }7 h5 `" d" Q7 F+ I& @   【新石器】     尖石头 ＋ 木棍   => 矛
1 \) g8 n' T; m2 A" @9 i/ |   【堆积木】     长方体 ＋ 圆锥体 => 城堡0 M  G6 y7 |- R8 [
   【算术题】     1      ＋ 2      => 37 A& r9 `' X0 a# r5 k
   【应用题】     定理1  ＋ 定理2  => 习题
% u5 z) U) F: @   能解题就是智慧，解难题是高智慧，用最简单的方法解题是大智慧。  一般而言，一个应用题会有多种解法，有的解法简单，有的解法复杂。往往所谓天才就是那些能找到最简单方法解题的人。那么，天才是如何找到最简单解题方法的呢？ 所谓天才,就是找到最简单的‘零件’，用最简洁的方法‘拼凑’答案的人。 那么，简单的方法如何寻找呢？有没有什么规律性呢？
" p6 O. N4 G& t- A6 b/ F' X6 d5 q- @0 x7 X" h! A
1 B# X, ?7 j( E  Y% t" w
# K! n; C$ ?% g6 N" `5 w8 f
   我们写一篇文章，无论多么长篇大论华丽素材，总围绕一个中心思想；无管论据源于何方，引入它们都是作为中心思想的要素基石。这和普通的代数演算并无二致，其实和远古石器造工具、幼儿园堆积木的过程、小学做算术题的过程、解复杂应用题的过程都一样。形式如下：
1 t) Z3 A, E) d- U. y6 ?  R9 d& p& {  【新石器】     尖石头 ＋ 木棍   => 矛
& }- p& S3 [# j. p) v  【堆积木】     长方体 ＋ 圆锥体 => 城堡
1 v$ T  J+ g1 C8 a9 b( d# z& L+ E  【算术题】     1      ＋ 2      => 37 x/ Q  }# _, f( z! u
  【应用题】     定理1  ＋ 定理2  => 习题
9 [# b( P% Y9 k% h0 |  【一篇文章】     论据1 ＋ 论据2 => 中心思想
2 n6 X* a7 P6 a' s2 W; i: l7 A( g4 y/ I) ?* @8 O) Z
   我们今天的所有计算机，都是依据形式化数理逻辑的理论，通过机械化方式“计算”标准的逻辑门范式从而解答形式逻辑问题的。这和普通的代数演算并无二致，其实和远古石器造工具、幼儿园堆积木的过程、小学做算术题的过程、解复杂应用题的过程、写文章的过程都一样。形式如下：% J6 Z6 o! e8 H. p6 P! B, o# U
   【新石器】     尖石头 ＋ 木棍   => 矛& U7 P. u  {) }2 n0 ~
   【堆积木】     长方体 ＋ 圆锥体 => 城堡2 o- i) y4 e! f. q! A
   【算术题】     1      ＋ 2      => 3
+ |- j, e1 [/ M( @2 u0 y' W2 Q   【应用题】     定理1  ＋ 定理2  => 习题
9 _5 J1 s3 o5 [. c* \8 J   【一篇文章】     论据1 ＋ 论据2 => 中心思想1 S' n$ R9 M6 Q7 e, ]; o7 Q
   【数理逻辑】   逻辑门1 ＋ 逻辑门2  => 命题4 O% _1 A, P3 b! U) |% a6 q
   我们惊奇地发现，上面的式子隐含了某种共通的规律。万象归宗同一理，道理都是相通的。大道至简！！！5 N# }/ H0 @6 M
, }% W6 d- f. g2 H
  Y- c! K' }7 S1 c- `6 f  o+ }
   进一步看，《几何原本》之所以数千年不朽，是因为“公理体系”它抓住了关于‘零件’和‘拼凑’的最深刻、深邃、深远的本质，这也是智慧的最深刻、深邃、深远的本质。
: W# l6 a) |. X0 r/ V% N& e    上面说过，一般我们解题方法是用定理来套习题，即：     : D4 Y# g+ ^# B) f
    定理i  ＋ 定理j  => 习题z4 h. D  Q" u$ [! G4 c+ [
    但是，欧几里德天才地注意到几何体系中已经发现的465条定理都可以由基本的10条公理推导出来，而且他天才洞察力断定几何体系中所有的定理都可以由此10条基本公理推导出来。也就是说，公理是比定理更基本的‘零件’，并且所有的几何学定理都可以由10条公理‘拼凑’而成。0 d0 T! g/ @) G$ N. X/ C" P4 q
    我们知道，几何体系中任意习题可由相关定理解答，即：$ l8 {. V. e4 i
    定理1＋定理2＋定理3＋定理4＋定理5＋定理6＋定理7＋定理8＋定理9＋定理10＋定理11＋定理12＋........ ＋ 定理n  => 任意习题
- j2 w3 ~3 U4 |, u0 J    所以上面的定理表达式可以简单转换为公理表达的形式，即：8 ?) U5 ^6 m" J0 d% z* K) i5 l
    公理i＋公理j  => 任意习题# y" R: e* ~! L4 n" W9 i
    【注意上面两个表达式的区别，定理有n条，公理却仅只有10条。另请注意，公理仅10条，但习题是‘任意’的】8 m% N$ D$ u3 z
   而且，融会贯通，你肯定会注意到其实远古石器造工具、幼儿园堆积木的过程、小学做算术题的过程、解复杂应用题的过程、公理体系理论过程都一样，并无二致。形式如下：
+ E0 s/ e4 A6 V8 S   【新石器】     尖石头 ＋ 木棍   => 矛. R4 E# {' r9 F9 {9 f4 s4 z
   【堆积木】     长方体 ＋ 圆锥体 => 城堡# x! T/ X# ]1 X, W" e3 u
   【算术题】     1      ＋ 2      => 3% s1 {. ^, g" J. f
   【应用题】     定理1  ＋ 定理2  => 习题; t9 t! \1 N6 [7 M. |! h7 z, j; d
   【一篇文章】     论据1 ＋ 论据2 => 中心思想& j* k+ K* [# l1 @
   【数理逻辑】   逻辑门1 ＋ 逻辑门2  => 命题% k3 J6 C; n! p$ d, |) H5 F: I
   【公理化】     公理i＋公理j  => 任意习题
8 n$ U0 D: w9 Q( o8 ^
2 ?3 q: K% i0 U/ P   上面所有的一切，抽象出来，都叫做“线性空间”，线性系统的结构异常简单，只有两个关键词：‘零件’和‘拼凑’【术语叫‘基’和‘投影’】。/ f& m' u& H; ^1 T6 A
  三维空间形式如下：$ m7 \# Y% p1 `. \  C

6 Z- e1 D2 V$ V8 B7 h4 V0 w' g- A0 e9 ?, x) |1 F. o8 h
' C: J4 n6 c; g9 L0 T

, g5 t! ~8 o1 o" H# T0 R. S  【线性系统】   aX + bY + cZ => P  
' v3 h* |: y# g! [( n0 n$ |; ~  其中，坐标轴X、Y、Z叫做‘基’，a、b、c叫做对象P在基上的‘投影’
; S1 ~# ^0 C! n% |) B  x( ^
2 r8 U8 r: Y* n+ ]  j' M
: c5 t6 G7 O7 G5 M" b
+ c7 i$ C2 O0 ^8 c1 s3 I' J3 R* B; J7 h, j" @' D6 x
   古人云：读书破万卷、下笔如有神。这里的“书”就是文章的‘基’零件。
# F2 C2 O7 h  w* P; k   比如：熟读唐诗三百首、不会作诗也会吟。这里的“唐诗”就是诗词的‘基’零件。
; C+ _/ M! `' }, o( D   再比如：读万卷书、行万里路，知行合一。这里的“书”和“路”是‘基’零件，通过知行合一有机‘投影’拼凑形成真知灼见。
9 o+ X: R! h; ]9 q5 U+ z& r: {   还比如：量子力学算子可以通过本征向量分解，本征向量是‘基’，本征值是‘投影’。5 q7 f1 c% W0 j- T" E, L( p  g
   又比如，如果一个资金雄厚的大型房开商修建一个小区，规模化生产要求他在小区内同时起50栋电梯楼、30栋步梯洋房、100独栋别墅，还要同时建设两所学校、一所幼儿园、一个医院、一个健身中心、一座区域公园、一片区域广场。为保证工期，他必须确定需要哪些材料，比如砖、钢筋、水泥、砂石、门窗、水电线路，这些材料就是‘基’；另外他还要知道每一栋房子对每一种材料需要多少数量，这就叫‘投影’。4 L% n" B% {9 K% m

' h  i% D1 i7 e
3 z2 k, u9 X! G; |3 v8 ~& b- G8 V$ @$ Y6 ]
  在现代‘系统’理论中，最主要最重要的是线性系统。
7 m" B/ J+ T: u; B2 h  `' Y  无论是形式逻辑公理系统、还是量子理论的态叠加空间都是线性空间，+ t% c8 W* o5 t4 @" z2 Z& ?
  无论是我们熟知的坐标系、或是矢量系统都是线性空间，
8 {8 a8 z% s2 N- f5 h. ]  经典力学线性系统的、相对论是多线性系统的，5 d3 @( U5 a7 r, p
  西格玛是线性系统符号、矩阵也是线性系统的符号，# t1 C& ^: J2 X- ?+ q
  微分是线性系统、积分也是线性系统，
! t6 g: m5 s  Y/ \! z  无穷级数是线性系统、傅立叶变换也是线性系统。$ W$ O5 i' j) Q4 r; V

3 ^$ F3 \5 a' m0 B! i  线性系统具有普世的广泛性，几乎所有的自然科学都可以以线性系统来表达。: [; e& h  k/ P$ w$ L" {) p
人们日常生活的思维模式是基于线性思维的；计算机本身也是一个线性系统；甚至经济现象、文学研究都可以用线性系统囊括。
7 I7 B" f4 ?( f8 i  \" a$ [+ o  R0 x9 v/ k9 v
" h' u/ ~' \7 r! T) x5 n' ^3 A
   线性空间之所以遍布广泛，本质是由于人类的语言模式、思维模式，是线性化的。0 Z4 D/ _  V0 t: ]" I0 \0 a0 Y
   【思维模式】   已知1 ＋ 已知2  => 新认知6 d- H4 r) S2 y9 @. {
   大致来说，简单可以这样来看，虽然不同民族的语言千差万别，但是无论哪种语言都符合形式逻辑，从而是可以公理化的。而公理化，是线性空间的。换句话说，线性系统是人类逻辑的习惯、是人类认知的渠道、是人类智慧的基础。  
( D( f; w. K+ M$ Z) {8 e6 p
1 d0 t2 b* D) Y7 E; n* |  d" Q7 _   看来，线性空间确实无处不在。; x8 D, g- Z1 j( `% Z3 @6 Z
   但是，咦，好象扯远了吧，看不出来线性空间和不完备性定理有嘛子关系啊？？

sunsong7

2.4 扩展到n+1维+ }* |# n/ n! g6 w
  1 P. E* W( z: T5 p9 d% Q, i9 q

: `1 b+ u: k$ s& T" v  Z2 a- E   : Y" U# x9 v) j6 U: J& F! t$ o
. V# X8 a9 E& M
   线性空间和不完备性定理，都跟公理体系密切相关。0 o9 m) c) t9 ^9 T: X) E

+ ~6 F9 g8 @3 \2 K* E8 x0 L   形象说，‘公理体系’是‘线性空间’的儿子（子集），同时‘不完备性定理’又是‘公理体系’的老婆（如影相随）。: [. y. i. a5 [5 P$ q

( k% s4 M6 y, K9 P! Y( U) b8 U3 Q3 ~# T: J- @
. g. l  V- S/ c
   我们都知道，描述一个事物，有很多种方法。观察的角度不同，参照系就不同，则选取的‘基’不同，描述的方法也会不同。
. `+ B- {" b0 T( {& ?8 N- W9 F  d, _' Y. O2 l! Y/ l6 R) A$ z
   线性空间还有个重要的概念———维度（又称系统的秩）。一个系统‘基’有不同的选择，但其‘秩’是永远不变的。
& ]; x/ ]3 p& k, _/ c4 C# M
7 o6 Q6 u) y! k$ P   7 v6 v0 a$ j) ^, E# e0 x% G: H# j
- a2 x( g+ G; x/ E/ F% ^$ l
   关于空间维度，有个趣味小故事：
! R1 F* t* B+ A- @6 O5 c  T$ y* d. w
' H+ o9 y- P& B! T! {9 r5 S  【我们先从最基本的图形入手-“点”，点是最小的“零维空间”，它没有任何空间尺度和容量，所以我们可以认为它不是一个空间，但它能够体现从无到有的状态，因此人们通常用点来表示某个位置。. o, b; N* d( W- B
+ q$ y7 d' D0 L3 g% C" a2 s2 p
   点的正反定向移动，便形成一维空间-“直线”。假设有一个一维生物在某个一维空间（直线）上不断运动，无论往正方向还是反方向运动，它永远跑不出它的一维空间世界，因为直线的长度是无限的。
7 e) n: r( Y( H, q
& J, X! V8 q9 N$ `) J   当一维生物发现新的维度，并跨越一维空间时，它会倍感惊讶，这个无限大的“一维空间”，外面竟然有一个更大的世界-“二维空间”。% P* B- ?0 n) f$ u# s( n
8 e- B3 I$ [" X/ i1 R, j! B
   再假设在某个平面内有一群“二维生物”，我称它们是“纸片人”，纸片人被困在一个2维平面世界里，它们是不可能逃出二维平面的。
/ A+ P9 X) ~: q2 @" w" s+ j4 k  x8 j- H
2 y* R( S! g1 H  “纸片人”和我们这样的三维立体人不一样，因为我们有“厚度”，我们快乐生活在三维空间。我们通过直观，建立一个立体直角坐标系，对于我们来说这是完备的坐标系，因为在现实世界当中，我们能感知的任何位置都能用这个三维坐标系体现出来。
+ _/ U4 v0 q: r$ C
& F8 O" _0 C6 H! ^% ]; E6 K
- F& R/ S9 u# r0 D( _+ U7 u  s
, J" y0 R8 y  F; ?0 v. M
& _" Z+ D( k: O% t) l
: P. K- R2 ]+ z9 z3 E3 I   进一步，有个高智商的神人，爱因斯坦，看见了四维空间。这个在相对论中出现的神秘园，普通人难以感知。因为现实的三维空间思维限制，普通人形象化思维放不下四维的图像，就像“纸片人”无法看见三维空间一样。9 \: c# B/ s2 a. w. p

3 P! E4 G' `7 z- a9 G
0 O  H$ x' B* d7 A: M1 o2 M5 u/ p4 X$ h+ k
   ........../ C! l& s% @! ^/ \( N, I! ]- J
  _0 N6 K2 @" H. N
' \+ O, N4 M1 R+ }

3 h5 B' Y( A% A% p6 t   90年代提出的M理论（超弦理论的一种），在前期的超弦理论的十维空间之后,推出了十一维空间的超膜理论。。。。。。 】
) A6 c7 R% B$ b1 q! C
1 z0 j& b$ _9 w# p( c# P* j' @2 x
- ^0 }( n$ o  F# \) E! q4 C/ N& {3 o! S& `4 u' l1 S5 |
   显而易见，每一次维度的扩张，都是认识水平的巨大飞跃。5 y4 r! E7 a8 Y, X9 F8 V2 E& Q5 D
! I4 B+ m; U* H5 U

; f( Z: ~  K, s, R, o, Y1 D; K& `6 B- {: N5 x7 {
# e- _6 B# K  X" q. {. u
) I$ y( M/ f& Z( G2 p  [! X1 r

/ `2 F1 p! g6 t) j; P4 l& m( b) C; x! [% T# }$ V/ T

( t8 w: E( W6 e) V
6 X# T2 x7 N9 K# B; c6 e   并且容易看出，系统的完备性和其维度是息息相关的。只有系统维度等于‘基’的个数时，才称系统是完备的。
  Q4 q  h" ?+ e; a: z/ P
/ V- F% {/ B- M# H2 [
! [! V' ~, F! @' B
0 ~1 |3 s9 u( s, g+ i- y% M   如果‘基’的个数小于系统维度，则不完备。4 d( ?* P# }; j& {
. R/ t: ?, D5 p/ }1 H: i$ r

+ X: B; j, _$ Q* V4 F
" C, R; I7 G( s2 X3 H$ H   比如，我们不能在一维的线上画出二维的平面图纸；也不可能在二维平面里造出三维的房子。
. e4 B6 ^6 B1 M7 ~$ j3 u: N( Z0 _9 l1 j, O0 ], ]6 S
   又比如，如果一个资金雄厚的大型房开商修建一个小区，他必须确定需要哪些材料，比如砖、钢筋、水泥、砂石、门窗、水电线路，这些材料就是‘基’。完备性意味着每一种基本材料都是必须的，一个都不能少。如果某种基础材料买不到，那么房子就建不城，无法完工。: @+ O( U/ P9 {9 @# W4 R

, n6 [; x7 @9 _5 d6 N( I* b8 W( u3 ]2 N, F$ W
& g" R  M9 b4 {3 g
   作为线性系统之一的公理体系，道理也是一样的。在公理体系中，如果公理的个数小于系统的维度，则该系统是不完备的。
& i( b* N. S, k
& f2 i0 f( }# s' D0 c3 ^! B   慢点，让俺捋一捋，既然不完备是因为基础材料不够，那么对于不完备的形式逻辑系统，干嘛不多添加几个公理呢？把n维空间拓展到n＋1维、n＋2维、n＋3维、、、多引入几个逻辑公理，系统不就完备了么？缺什么材料、补足什么材料，只要逐一拓展齐全‘基’材料，系统不就完备了么？
; K8 w5 Y4 E/ x5 Y) N; g& \3 {$ {( J3 ~% Q1 a
4 {* `" q) w# Z

% x3 _0 A( @+ Q: s: V: S: E   睿智的数学大师们难道不知道这个道理么？他们怎么会容忍出现那令人难堪的“不完备性定理”呢？

sunsong7

2.5 逻辑递归 n+1  D. R. N. c7 Y7 N
! i0 Z& o+ h+ |

: H9 o5 S; {; J" ]8 }+ E6 X  J9 G' K1 F. e. E( b
   曾经，名噪一时的“理发师悖论”也深深刺痛大师们的灵魂。但是后来，就是靠扩展公理到n+1维，顺利化解。- ?+ R0 ~: k  H+ ?; m
6 v" T) c2 y5 g7 I" W% }
+ @- z( n) J9 k% n

6 q, M6 f" R/ @. O9 C/ E6 c7 b$ T6 f. W6 ~, z+ P' `- N

0 X/ Q3 r' q/ e# l' E　　理发师悖论：【在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己理发的人理发，我也只给这些人理发。我对各位表示热诚欢迎！”3 A2 z: b( X5 {! W  d, {- e
9 J. D2 D6 j+ I6 [; R
   来找他理发的人络绎不绝，自然都是那些不给自己理发的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的头发长了，他本能地抓起了剃刀。。。。。。1 J6 r) q! E3 Y* n) y) Y" m$ S1 w
4 m/ `# e/ A- @: \& v5 G" y
　　请问，理发师能不能给他自己理发呢？　要是他给自己理的话，那他就自己理了发，根据他的原则，他不应该为自己理发的人理发的；另一方面，如果要是他不给自己理发的话，根据他的原则，他倒是应该给自己理发的。】
6 a9 L! W' R* M- J& [( V* z3 e% X3 Y' V& G
　　糟糕！我们习以为常的逻辑，在这里失效了！. Z* I0 V7 P3 `- R( W: J' X

7 c" m, q+ z1 d% S/ g   当年，理发师悖论出现在公众视野时，引起一片骚动。* S* r5 W$ C" @
6 R) H2 g; P/ L+ i; ]
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4 O+ F6 Q$ z  g0 f7 m& d
3 l* g  t9 Y# O$ v% \
; d9 x; o3 J/ N( \2 h5 R
　  其后，著名的数理逻辑大师罗素提出了形式(逻辑)公理体系，试图甩掉让人心烦的理发师悖论，让伟大数学在完全无悖论的情况下茁壮发展。
3 J# o, _* Z9 t1 s, I2 a5 S1 }' D6 ]( h
   罗素定义了一个所有不包含它们自身为元素的那些集合所组成的集合，称为集合R。理法师悖论就相当于是问，集合R是它自身的元素么？如果集合R是自身的元素，那么因为R的任一元素都不是它自身的元素，所以R不是自身的元素；而如果集合R不是自身的元素，因为R是所有包括它们自身为元素的那些集合所组成，那么R应该是自身的元素。数学描述为：设命题函数P(x)有性质“x∉x”，现假设由性质P确定一个集合R——也就是说“R={x|x ∉ x}”。那么现在的问题是：R∈R是否成立？首先，若R∈R，则R是R的元素，那么R不具有性质P，由命题函数P知R∉R；其次，若R∉R，也就是说R具有性质P，而R是由所有具有性质P的类组成的，所以R∈R 。
9 A) s# t6 d1 E2 i
) Z/ V/ j4 {) ^# s   这个小小的绊脚石当然难不倒聪明的数学家们。通过对集合定义加以限制、通过定义新的原则，天才数学家很快排除了这个悖论，而且用新的更强的公理化集合系统轻而易举弥补了原有逻辑缺陷。0 X& I1 V8 ^0 D# S5 L; x1 [! I3 r
2 C6 \) f! ]0 w0 v
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& t3 J. C, B$ B4 e7 k3 y) t
   1908年，策梅罗提出一个公理化集合论体系，这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过弗兰克尔的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，补充了一条分类公理：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的，因此理发师悖论在该系统中被避免了。: e1 j) n& |8 k- R( ~
1 W- `! ?) ?4 u! f* i1 z1 r+ T
   除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如冯·诺伊曼等人提出的NBG系统等。在该公理系统中，所有包含集合的"collection"都能被称为类(class)，凡是集合也能被称为类，但是某些 collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了理发师悖论。
  ?( A2 d3 C9 e3 C" `4 Z
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   换句话说，如果碰到上面理发师悖论类似问题，原有数理逻辑体系无能为力时，数学家可以把这个悖论问题重新定义，从而消弭歧义。副作用是，多了一条独立的补充公理。此时，原有的n维公理体系变成了n＋1维。这样，既可以和原系统不冲突（一致性），又可以获得完备性。/ ^  M6 w* M4 `; s' }
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   简而言之，当一个形式逻辑体系出现上述悖论时，就用一个更大的逻辑体系去把它包了，让原先那个逻辑体系作为更大的逻辑体系的子集合。当然这样做的结果，新的母体系又可能产生新的矛盾。但这也没关系，只样类似地一层一层地包下去，以致于无穷。有了这样的“递归”工具，不就完全化解所有矛盾了吗？罗素等数学家也坚信，任何数学真理，只要通过一代又一代人的不断努力，都能用逻辑的推理将其整合到数学的大厦中。　　2 Z2 T1 C  d, ]  d/ _/ r

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; o% O( o6 j" s- B   哈哈，魔高一尺，道高一丈；遇水架桥、逢山开路；见魔杀魔、遇佛拜佛；见招拆招，不费吹灰之力，何须忍气吞声。那些尖刻的问题化解了，麻烦的刺头也销声匿迹了。天边不和谐的乌云消散了，数学家又兴高采烈、趾高气昂、扬眉吐气。9 U8 R5 K# O& E* H" D' Q. W
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　　在这样的方法下，能够解决的问题越来越多。数学的基础前所未有的稳固，数学的威力前所未有的强大，扩展的领域前所未有的广阔。8 t1 p0 d+ D9 w/ N4 @
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   那必是迈向人类文明的康庄大道啊。) v2 |& K: `5 e8 |& o9 R

6 t0 U7 [& }1 m% G: Q5 n, z　　于是，数学大师们华山论剑中，一个又一个绝顶高手站了出来，雄心勃勃地宣称，当咱们把公理体系扩展到n+1维、n+2维、n+3维............那么我们就可以建立一个包容万象无所不能的放之四海而皆准的无穷维度的公理体系。尽管无穷维公理体系听起来有些怪怪的，实际上自然数的的通常理论中，称为皮亚诺公理的就是这么样东西。
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   一切逻辑的幽灵、恶鬼、阴魔、怪兽、异形都必将被消灭。必须的，无穷维公理体系终将一统江湖，万世伟业的时代终于来临！！, Q" T) i* ?" G; y; `3 d! `# F
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   “Wir müssen wissen, wir werden wissen.”（我们必须知道，我们必将知道。）
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8 o) n9 H! e4 F! p* \　　不久后武林盟主希尔伯特发表《数学的基础》一文，提出数学史上闻名于世的“希尔伯特纲领”。* m, c5 M. D* o# a7 I- ~
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   信心满满的希尔伯特心中的梦想就是建立一个囊括一切‘大一统’线性系统，然后通过这个系统自动计算出系统内各子系统的内在关联性、自动计算出大千世界的内在规律，那必然是人类认知的极大飞跃。
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   但是，蓦然回首、不堪往事。那一天，少侠哥德尔独孤一剑刺破天穹，让满怀憧憬的先辈们望天长啸黯然神伤..........
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   难道无穷维度的公理体系都解决不了‘说谎者诡论问题’吗？/ m5 |+ `1 J5 |
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   奇怪，欧几里得《几何原本》仅仅用区区10个公理就解决了全部几何学问题。形式逻辑都能扩展到无穷维度了，怎么还是不行呢？  Q; `2 s7 D& F/ p2 E

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   怪！怪！怪！！！; R  ?) P8 M  O/ ^* {6 t

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   这到底是为什么呢？
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; K/ a3 Y6 Q+ V, M( [2 i. M   诡论？？？

sunsong7

2.6 知道在这里画圈才值钱0 o. J/ |4 Y) S6 T; R4 `
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9 ^  C3 b1 r9 Z8 V0 f- e   曾经看过一个小故事，一家大工厂引进的一台高档机床坏了，外聘了一个老师傅来检修。老师傅围着机床转悠了半天，最后在机器左下角画了个小圈，告诉工厂的小技工打开这里，把此处的螺丝换一个。新螺丝拧紧，开机，果然恢复如初。厂长问老师傅维修费用多少钱，老师傅答一万元。厂长诧异，问为什么这么贵，不就是画了个小圈吗？况且换螺丝还是工厂自己的人动手的。老师傅答：“在这里画一个圈不值钱，只要一元钱；知道在这里画圈才值钱，值九千九百九十九元。”
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   在哥德尔论文《论数学原理和有关系统的形式不可判定命题》中，最终画的那个圈，诡论命题，只花了一点点篇幅。虽然大多数人注意的是那个画龙点睛的刺目的圈圈，但是正确发现圈圈的过程也许才更有意义。
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' q: ]) X( \2 R& P9 c   实际上，这个发现过程的意义非常深远。虽然也许由于它过于繁琐，反而极易让人逃避和忽略。
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( ^9 u: m* c0 g4 M8 L3 J* f) X   哥德尔的不完备性定理的复杂证明，其核心思想大致可以分为这样的三个步骤：2 D. L  l% q2 ~8 s9 W! ~
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   【第一步：数字化同构】3 j) w: z5 F7 T: z0 N' m

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" U' u5 z9 s; `3 u2 d' ~  l/ E　　“色不异空、空不异色；色即是空、空即是色。”这是佛教智慧核心经典《心经》的语句。这里“色”指实体物质，“空”指因缘法则 （即缘起性空）。很明显，佛家的因缘法则，实际上就是自然逻辑、宇宙逻辑的含义。万法皆空、因果不空，佛教对实体物质和自然逻辑的关系的理解是智慧的。类似的含义在诸子百家也有，比如道家说阴阳五行、儒家说中庸和谐。但是，无论佛家、道家、儒家，智慧的表达都是非度量的，是模糊笼统的概念。类似的模糊笼统言语，两千年前的先人说出来，是聪慧睿智远见卓识；但是，类似的模糊笼统言语，两千年后的后辈说出来，则无异于空话套话大话废话。
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5 E9 y0 e$ o5 I　　数字化、数据化、量化刻画，无疑才是更加高级的形式。现代社会，无论是学术论文、或是分析报告，没有数值度量、没有详实数据、没有计算公式，则不可能有精确严谨，则无异于nonsense。
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   哥德尔的奇思妙想，是把自然语言数字化。
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  G* p, N9 X$ A; I0 b   因为自然语言可以转换为形式逻辑、而形式逻辑可以演算成命题范式、而命题范式可以展开称为标准的逻辑门、并且逻辑门可视作一种二进制代码。逻辑门“与”可对应为1，逻辑门“或”可对应为10，逻辑门“非”可对应为11。然后二进制数再转换成小数，如0.1，0.01，0.11。因为组合逻辑运算不过是这三种码的组合，所以即使非常复杂的逻辑门组合，也只是小数点后的尾巴更长点而已，仍然还是个小数。( L' L& B! B- N. Y

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   轨迹如下所示：5 g3 O, _! _" T* }, T) }! X

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" @1 D8 x2 ^+ e% \   自然语言—>形式逻辑—>命题范式—>逻辑门—> 二进制数—>小数! c, T/ C) A" T

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& E' f, z0 Q* [3 S   也就是说‘自然语言系统’转换的命题逻辑门，恰巧可以对应于一个‘算术公理系统’的自然数。哥德尔通过一种十分新颖的同构映射形式，把‘自然语言系统’和‘算术公理系统’联系到了一起。
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   然后，对于原本并不严谨的自然语言的语义的证明，也就变成了惯常熟知的相对简单的严格算术证明。( H- t2 U% L  z- V9 m

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   哥德尔天才的洞察力，发现了‘自然语言系统’和‘算术公理系统’的映射同构关系，这是解决自然语言系统语义歧义的关键！
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  u5 u+ |& M: R* `   哥德尔在文中大量篇幅花费在十分繁琐的映射定义上。映射是数学研究中极为重要的一种研究方法，其基本思想就是借助一一对应使得某一领域内的对象之间的某种关系得以在另一领域内的对象之间的关系得到表现。
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   多说一句，自然界广泛的同构关系，不仅是哥德尔不完备性定理证明的关键，也是数理逻辑、是人工智能、是人类智慧的核心。8 ~/ I% B) E- h, f
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   大自然总是这样的神奇，两个乍看起来毫无联系的系统，它们内在的结构却可能存在同构关系。正因为不同的系统存在同构性，才使得数学“抽象”成为可能。
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   【第二步：递归－分数-有理数】4 a* i* D; f0 X5 [) Z/ h

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5 e7 a* O$ H, K   理发师悖论提出后，数学家们纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对基本集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。当一个形式逻辑体系出现上述悖论时，就用一个更大的逻辑体系去把它包了，让原先那个逻辑体系作为更大的逻辑体系的子集合。当然这样做的结果，新的母体系又可能产生新的矛盾。但这也没关系，只样类似地一层一层地包下去，以致于无穷。有了这样的“递归”工具，不就完全化解所有矛盾了吗？依此类推，似乎所有的问题命题总能精确找到问题的因子，从而针对性解决。罗素等数学家也坚信，任何数学真理，只要通过一代又一代人的不断努力，都能用逻辑的推理将其整合到数学的大厦中。* K0 t; R) [3 T9 o+ |

' [' n& V" E9 r% c- D  简单来看，把一个有歧义的命题分而析之各个击破，相当于细化切分问题。类似于“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”我们知道，以这种一刀一刀砍出来小段，其实就是一个分数的数列，而分数即有理数。/ [% I/ X$ }, }
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   按照这样的逻辑，哥德尔证明的脉络如下：首先，把形式逻辑系统同构映射到算术系统；然后第二步，把形式逻辑的“理发师悖论”的公理拓展形式同构为有理数的运算；最后第三步，通过集合论中的实数的“势”的关系来严格证明。, D! {$ g) t# }6 G

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   【第三步：“势”－无穷大的阶 】
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- s" v+ O) F- q! j& w& L% m8 f& l   当一个形式逻辑体系出现悖论时，就用一个更大的逻辑体系去把它包了，让原先那个逻辑体系作为更大的逻辑体系的子集合。当然这样做的结果，新的母体系又可能产生新的矛盾。但这也没关系，只样类似地一层一层地包下去，以致于无穷。有了这样的“递归”工具，不就完全化解所有矛盾了吗？/ x# t4 O2 R3 k9 l; m

3 }. A1 t( [, ~4 b/ I   是吗？
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   非也！
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   请深吸一口气，注意!3 ]. P0 M! _* `  O

* p' O9 z/ @9 @0 M6 [   “说谎者诡论”和“理发师悖论”有深刻的本质的区别。/ n* p* i" G2 M, k' ]
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   “理发师悖论”可以通过打补丁弥补，把公理体系扩展到n+1维解决即可。
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   但是，使用层层外延法扩张的形式逻辑体系并不能清除“说谎者诡论”的矛盾。即便通过增加公理体系扩展到n+1维、n+2维、n+3维，哪怕扩展到无穷大维都是没有用的，形式数理逻辑的公理体系永远解答不了这个诡论命题。 所以“说谎者诡论”是形式数理逻辑公理体系永远也解决不了的“不可判定命题”。
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     说谎者诡论的数学模型：【如果A，则非A。】并且【如果非A，则A。】
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/ E) L; t1 x0 R7 c: J) Z     即：(A  -->  ¬A)   .and  (¬A   -->  A )1 Y7 q" O0 D: ~% v( n; a
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    这个模型说明，说谎者诡论必然引出矛盾，它无法通过拆分命题来化解歧义，这种是非混淆的逻辑根本不可能被人类形式语义逻辑所允许。也就是说：这句话在本质上就不存在于人类正常的语言逻辑模型中。并且任何一个自洽的语言系统都无法推断这句话的真伪。, ~. j* A" K/ T$ M+ b

. R3 l- s: G+ h# H   这种“不可判定性命题”对应于算术公理系统中的“超越数”（超越代数系统解答能力）
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   我们知道，超越数是无理数的主力军。
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. j2 @/ }8 E8 c1 P% Y- k7 ~' `   根据数论的理论，实数可以看作无穷位的小数（有限小数和整数都可以视为后面跟0），无穷位小数包含了两类数：无限循环小数叫有理数，无限不循环小数叫无理数。从前，正常的地球人的形式逻辑惯常思维，认为无限不循环小数（无理数），是无限循环小数（有理数、分数）的无穷次递归逼近得到的。
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% p% L  R/ _$ L' d# W0 K   是这样吗－－－请大家花几分钟看看下面这个视频：
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/ \8 o4 f8 b/ J! F/ Q) ?7 J$ h$ m   http://v.youku.com/v_show/id_XNDkxMDkyMzQ0.html
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   这个视频不是脑筋急转弯，视频的内容每一个数学系的学生都熟悉，这个视频证明了‘不可列’数比‘可列’数要多、无穷小数比无穷分数多、无理数比有理数多。这也是关于无限不循环小数（无理数）不能由分数（有理数）完全表达的标准证明。/ L, c0 M7 ~& I" j6 c5 ], e

2 t9 \0 {; W# I2 ^3 x9 s   鉴于无穷大概念的复杂性，视频中关于的分数的‘可列’和小数的‘不可列’的无穷的证明，简洁让人窒息、冰凉让人清醒，淋漓尽致、难以置信，却又无可辩驳、惶恐不安。
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2 c  k- g3 |* [( ]- h   这个证明告诉我们这样的事实，尽管有理数有无穷多个，但是无理数比有理数“稠密”得多。即使‘可列’的有理数的无穷次递归逼近，也得不到‘不可列’的稠密得多的无理数。所以，有理数公理系统对于包含了无理数的系统，是不完备的！; o: Z$ R& B- ~$ @) l' t. u2 O  i8 N
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   剑芒一瞬断冥曲，砍月劈星削阎罗。恶鬼凶奴何处躲，且看利刃披血污，仗剑怒江湖！
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1 l" f* M8 o, s, k   后世在评论哥德尔不完备性定理时，往往注意“说谎者诡论”那有形的剑锋，却没有留意剑锋后面的醇厚内功。其实，没有深厚的功力，哪有那惊鸿一剑。哥德尔不完备性定理的醇厚内功，修炼心法的要旨正体现于此———无限不循环小数（无理数）。4 }, Z: \! q# p% g  B' ~

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) T" E( W7 i5 H' S. w$ G   “理发师悖论”可以通过打补丁弥补，把公理体系扩展到n+1维解决即可，因此“理发师悖论”的命题逻辑系统相当于以可列的无限循环小数（有理数）为基的系统。% ]$ p( r; ^" r. ^, W! z% x( u( Q
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   但是，“说谎者诡论”对应于不可列的无限不循环小数（无理数），而无理数不可能通过有理数的递归方式而得到。使用层层外延法扩张的形式逻辑体系并不能清除“说谎者诡论”的矛盾。即便通过增加公理体系扩展到n+1维、n+2维、n+3维，哪怕扩展到无穷大维都是没有用的，形式数理逻辑的公理体系永远解答不了这个诡论命题。 所以“说谎者诡论”是形式数理逻辑公理体系永远也解决不了的“不可判定命题”。
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; ~0 P! v9 [# ]   也就是说，可列的‘有理数’维度的公理体系（哪怕扩展到无穷大维），永远解答不了不可列的‘无理数’问题，所以形式逻辑无论如何都做不到完备！！！0 A. c% d$ B/ |4 f  x
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   【注：严格说，“理发师悖论”映射为代数数，“说谎者诡论”对应于超越数。不过为了叙述方便，本文把“理发师悖论”类比为有理数，把“说谎者诡论”对类比于无理数。这种类比欠严谨，但对于大多数非数学系的读者更易理解些。】

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2.7 诡论无理数5 g) I' a7 r; N# N9 L# r3 k

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; f3 b# @; ~9 W+ _/ u$ Z   小李飞刀，寒光一闪, 飞箭出鞘, 一剑封喉, 鲜血飞泉，例无虚发。5 r! m6 J4 I! v' A' \$ G. q  |
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   遗憾、遗憾，绝世神器，却看不清如何出手。
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   同样，（上节诡论和无理数的类比论述似乎过于专业化吧）相信数论背景知识欠缺的网友仍一头雾水、难解疑惑。
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   难免，肯定很多网友仍然忍不住一肚子好奇：一个小小诡论一招制敌、一锤定音、一剑封喉，轻松粉碎无比牛逼的形式逻辑（人类数千年智慧结晶而来的语义逻辑），是真的吗？! E! W0 z" D! k% M0 w8 {1 e; s
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, ]0 B4 r! F; p1 }# t   仅此一个诡论例证，就有如此摧古拉朽的威力么？就能把不可一世的数理逻辑公理体系打趴下了吗？
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) M  z/ L' b- ~1 y5 b   当然不是！
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+ {. O6 j/ u0 |. j   哥德尔不完性定理有个特点：对内功浅的人轻描淡写、无伤分毫；对内力深厚者打击很深、五脏俱损。
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   类比，本是以熟悉的东东去思考陌生的奥妙。但是，如果读者们既不熟悉诡论，又不明白无理数，哥德尔精心设计的类比，也许只是可笑的对牛弹琴的滑稽罢了。0 _* Q" Q4 G' p2 ^, D1 @5 T2 {

3 J; s5 _; j: b% t   很多早年被数学课灭绝师太摧毁了小宇宙的师兄弟，造就了铜墙铁甲般数学免疫力，早已不相信数学美人的爱情，对哥德尔定理的诡秘，只能道听途说人云亦云以讹传讹，当作轻松诙谐幽默笑料而已。
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   幸而，哥德尔遇到的是希尔伯特。内力深厚的科学宗师，看到哥德尔的证明，立即泛起千层巨浪，强烈共鸣。
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$ Z* @" z9 _) H9 R: T2 E   希尔伯特一眼即见它巨大的毁灭性。它对功夫越深的打击越深，当年希尔伯特之所以被打击得背过气，正因为他能够从这一粒老鼠屎诡论看到背后巨大的黑洞。0 T* {5 r! {0 M9 _- W
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: W) `4 A& t9 `: B% i　　很快，正如希尔伯特预感的那样，人们发现，万分糟糕的是，类似上面“说谎者诡论”的不可判定命题并不仅此一例。
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　　越来越多的数学问题被证明是不可判定的，这些不可判定的问题也越来越初等。乍看起来并非不可捉摸，但到头来却不可判定。
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　　比如说，实数染色问题：  Q0 I# M$ q" \  c, y
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   【如果我们用可数种颜色对每一个实数染色，是否必定存在4个互不相等的数a,b,c,d，使得它们的颜色都相同，而又满足a+b=c+d  , }; K+ c" _' l3 h/ r- v

0 s$ r/ Y% F2 x# ]1 D& b# _　　这看起来怎么也不像没有一个确切结论的问题，但可以证明它实际上和连续统假设的否定是等价的，也就是说对形式逻辑公理体系，它是不可判定命题。】
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   又比如，关于“四色定理”：9 U3 h' V- l$ ^$ p# G! p

3 x$ k4 ^1 O& E& p4 V   四色定理是第一个主要由计算机证明的著名数学定理。这一证明并不完全被所有的数学家接受。8 Z5 ?0 P" B9 M* _" p

# B& b* |% R" N1 E   1979年，逻辑哲学和数学哲学家托马斯·蒂莫兹佐在《四色定理及其哲学意义》一文中提出，四色定理与其证明能否称之为“定理”和“证明”，尚有疑问。“证明”的定义也需要进行再次审视。蒂莫兹佐的理由包括两点：一方面，计算机辅助下的证明无法由人力进行核查审阅，因为人无法重复计算机的所有运算步骤；另一方面，计算机辅助的证明无法形成逻辑上正则化的表述，因为其中的机器部分依赖于现实经验的反馈，无法转换为抽象的逻辑过程。
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   对于机器证明的可靠性问题，2004年9月，数学家乔治·龚提尔使用了证明验证程序来对当时交由计算机运算的算法程序进行了形式上的可靠性验证。证明验证程序是一个由法国开发的软件，能够从逻辑上验证一段电脑程序是否正常运行，并且是否达到了它应该达到的逻辑目的。验证表明，四色定理的机器验证程序确实有效地验证了所有构形的可约性，完成了证明中的要求。至此，除了机器硬件、软件可能存在问题外，四色定理的理论部分和计算机证明算法部分都得到了验证。8 `1 p3 S8 H; Z: z2 V3 o

8 U, Q% ~* _+ r6 `   尽管绝大多数数学家对四色定理的证明已经不再有疑问，某些数学家对经由电脑辅助的证明方式仍旧不够满意，希望能找到一个完全“人工”的证明。正如汤米·R·延森和比雅尼·托夫特在《图染色问题》一书中问的：“是否存在四色定理的一个简短证明，……使得一个合格的数学家能在（比如说）两个星期里验证其正确性呢？”
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. }4 E7 w( W9 z8 A( G   再比如，普通语言语义的局限性众所周知，形式逻辑的普通语言词汇，根本无法准确描述越来越多的现代科技概念，如“高阶逻辑”、“多维张量”等等。+ B$ r: W# `" v* L# O

* P3 h6 z& h# i   爱因斯坦在广义相对论完成之前很早就预言了光线在引力场中的弯曲，他仅用了等效原理，这等价于仅仅用了度规的时间份量，这样算出的弯曲角度是正确结果的一半。同样，要算出正确的结果，必须计及空间的弯曲。 决定时空曲率的是物质的能量和动量分布，这就是爱因斯坦著名的引力场方程。在方程的左边是一种特殊的曲率，现在叫做爱因斯坦张量。在方程的右边是能量－动量张量。爱因斯坦经过断断续续八年的努力，在1915年年尾才最终写下正确的场方程。
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$ l+ u0 V: P4 Y3 z  G6 n   以爱因斯坦的智商，艰苦卓越死磕8个年头，才明白了“张量”的内涵，得以顺利完成广义相对论。
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   对于绝大多数人，终其一生也可能不会明白广义相对论的含义，究其根本，是源于普通人很难理解“多维张量”到底是啥子玩意。而广义相对论完全由张量语言表述。
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   ‘四色问题’和‘多维张量’的例子，有一个共同特征，之所以普通人正常思维难以理解，归根结底是因为形式逻辑的普通语言词汇对这类问题无法准确表达，它们属于该死的让人厌恶的普通语义下的不可判定命题。
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　　最让人沮丧的是，不可判定命题不但不是个例，还会象遍布漫延的病毒一样频繁遇到。因为它们的数量远远多于可判定命题，它们的队伍浩如繁星！！！
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   从上一节我们知道，‘形式逻辑系统’和‘算术公理系统’具有同构关系，可以严谨类比。形式逻辑的普通语义，可以同构映射为无限循环小数（有理数）。而形式逻辑语义矛盾的诡论，恰好对应于无限不循环小数（无理数）。
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2 m  t$ J$ B$ m! M( J, j   更加诡异的是，诡论命题的影响力也像有理数和无理数的传奇历史一样。一开始无意间人们发现数字除了有理数，毫无道理，居然还存在无理数‘根号2’；继而发现无理数竟然还有很多，还有圆周率π、自然数e ；再后来又有人证明无理数是远远多于有理数的。9 o$ r; j) F, a% w6 ]
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7 c6 Q$ Z. f3 E; G+ `2 ]   这是刺破天穹、把天捅破的惊天证明。
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% R+ }' W2 S6 U　　证明无理数远远多于有理数的人，是一个疯人院里的疯子，叫做康托尔