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发表于 2013-5-5 21:49 |只看该作者 |倒序浏览 |打印

本帖最后由细胞海洋于 2013-5-6 09:11 编辑 ' y  F; |! Q+ E0 @
) \5 s4 d& q7 {" g9 s, f7 d
Intermediate Physics for Medicine and Biology6 }, S, Z- h$ u' [1 T$ g
) t/ `! L% C) z  B
1 Mechanics 1
1.1 Distances and Sizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Forces and Translational Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3* h+ H# E) L$ d
1.3 Rotational Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Vector Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Force in the Achilles Tendon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Forces on the Hip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 The Use of a Cane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10: f6 ~( n; y, \
1.9 Stress and Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12! x* ~9 [8 N; [; |5 A1 E
1.10 Shear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.11 Hydrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.12 Buoyancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.13 Compressibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 z- @- M8 M; a, [8 P! _, ]
1.14 Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 G) ~& d% G0 d" w1 ~6 O
1.15 Viscous Flow in a Tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.16 Pressure–Volume Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, `2 H9 z9 u; y1 p' G
1.17 The Human Circulatory System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.18 Turbulent Flow and the Reynolds Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Exponential Growth and Decay 31
2.1 Exponential Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31) |( N7 \& b$ S1 G" {/ v9 X7 i3 {
2.2 Exponential Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Semilog Paper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Variable Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Clearance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. X/ ]- K$ O6 v. E7 f# ?
2.6 Multiple Decay Paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 d) k' I" V0 V  n
2.7 Decay Plus Input at a Constant Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38/ g4 p5 M) i* j
2.8 Decay with Multiple Half-Lives and Fitting Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.9 The Logistic Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39: r$ B3 \9 }1 U, _
2.10 Log–log Plots, Power Laws, and Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.10.1 Log-log Plots and Power Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39' q/ e6 J. V4 _2 {
2.10.2 Food Consumption, Basal Metabolic Rate, and Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. q9 N7 W. ?8 s$ N5 k) l
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Systems of Many Particles 49
3.1 Gas Molecules in a Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50; {- Q# E# J& m, B+ W+ |
3.2 Microstates and Macrostates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 The Energy of a System: The First Law of Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53/ c! `* O4 j0 J; i
3.4 Ensembles and the Basic Postulates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 D3 [; U9 }  F! v7 _$ [
3.5 Thermal Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6 Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 @0 {6 ~' ^8 Q* }: _) W
3.7 The Boltzmann Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.8 The Nernst Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 {$ s. }! F; M& S' K! ]
3.9 The Pressure Variation in the Atmosphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 y; f# ?$ {7 s( X6 N3 J5 \
3.10 Equipartition of Energy and Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.11 Heat Capacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61) u' V8 F# H: u( E' N4 }# p# r1 d
3.12 Equilibrium When Particles Can Be Exchanged: The Chemical Potential . . . . . . . . . . . . . . . 619 ]  z8 }/ @3 k) o; S( E0 v- |/ |
3.13 Concentration Dependence of the Chemical Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62/ L/ N. P! M+ w7 T- `+ R
3.14 Systems That Can Exchange Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63% y# Q4 e  ?7 f* z, ^+ P6 v
3.15 Extensive Variables and Generalized Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64) n2 y6 f7 N" I7 j4 |# z; d
3.16 The General Thermodynamic Relationship . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64! s( l9 ?9 s  s
3.17 The Gibbs Free Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65& ^" b2 m6 h$ \- f5 u
3.17.1 Gibbs Free Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65" _) `5 i6 |3 T0 D) B
3.17.2 An Example: Chemical Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 l6 F: i7 b* G& T/ ^% i% `0 }  u" L
3.18 The Chemical Potential of a Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67! n% h! T: \, I8 _2 I
3.19 Transformation of Randomness to Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69& {* |* D) r, S* P- c
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 y% L: E; v' s, ~! X
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71, ]" F7 `# u+ c: D# O, {
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 Transport in an Infinite Medium 81
4.1 Flux, Fluence, and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81$ f' W( H' [8 {% A1 U$ }
4.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81- D0 H# K" i/ `1 q- g. x. N* A% ^
4.1.2 The Continuity Equation in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82- V( |+ L/ v/ W9 d4 `) z5 K& ?
4.1.3 The Continuity Equation in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82& N( [$ d! i) p& U+ z
4.1.4 The Integral Form of the Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83% U( {9 ~/ b) s  A9 ]# [) U' M. Y+ m
4.1.5 The Differential Form of the Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.6 The Continuity Equation with a Chemical Reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Drift or Solvent Drag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Motion in a Gas: Mean Free Path and Collision Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858 q  V- R/ g4 N: ]$ `) P. G
4.5 Motion in a Liquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6 Diffusion: Fick’s First Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.7 The Einstein Relationship Between Diffusion and Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.8 Fick’s Second Law of Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 \* b  `3 v4 F( P$ ~3 u# z. T
4.9 Time-Independent Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.10 Example: Steady-State Diffusion to a Spherical Cell and End Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94/ m, s6 h( f  ^$ u* [! L* b4 }
4.10.1 Diffusion Through a Collection of Pores, Corrected . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95- P* ]: [/ T/ j/ b& Z% i: ]" ^+ @
4.10.2 Diffusion from a Sphere, Corrected . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.10.3 How Many Pores Are Needed? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.10.4 Other Applications of the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965 [$ k" [& e0 U* j  |  ~; p6 @" {
4.11 Example: A Spherical Cell Producing a Substance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965 R0 B' G# N9 w8 l0 I: E
4.12 Drift and Diffusion in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.13 A General Solution for the Particle Concentration as a Function of Time . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.14 Diffusion as a Random Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100+ Y9 w- C; e' m+ g+ j
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5 Transport Through Neutral Membranes 111
5.1 Membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Osmotic Pressure in an Ideal Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112% S1 D/ s( b1 Z* @
5.3 Osmotic Pressure in a Liquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4 Some Clinical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4.1 Edema Due to Heart Failure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.2 Nephrotic Syndrome, Liver Disease, and Ascites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116! _% x( ]- f" h( e7 K2 @4 _
5.4.3 Edema of Inflammatory Reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.4 Headaches in Renal Dialysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.5 Osmotic Diuresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116: s2 [- Q3 w3 [3 w5 G  C
5.4.6 Osmotic Fragility of Red Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.5 Volume Transport Through aMembrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.6 Solute Transport Through aMembrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119- z6 }  f1 p) T5 i$ e
5.7 Example: The Artificial Kidney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120% E1 h7 N. N1 g9 q' u
5.8 Countercurrent Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210 R$ Q# b! T; X: |: m. v# b
5.9 A ContinuumModel for Volume and Solute Transport in a Pore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227 c" |- V4 o8 l9 K* z% G) J& @
5.9.1 Volume Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.9.2 Solute Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245 b- m' Q5 o* ^0 T5 l" `
5.9.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.9.4 Reflection Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.9.5 The Effect of Pore Walls on Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.9.6 Net Force on the Membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128: M- T$ U2 N6 y+ I8 k+ |9 l* a
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129+ t& N& |0 P- g, t  f1 G$ a
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133% G" ~  q- j+ g, X$ y9 o. \
6 Impulses in Nerve and Muscle Cells 135
6.1 Physiology of Nerve and Muscle Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2 Coulomb’s Law, Superposition, and the Electric Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.3 Gauss’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.4 Potential Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.5 Conductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429 p* `! T  _3 G6 s' e9 |# s1 m! Z9 ^
6.6 Capacitance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143: g, ^1 U6 n0 O# Z
6.7 Dielectrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.8 Current and Ohm’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.9 The Application of Ohm’s Law to Simple Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.10 Charge Distribution in the Resting Nerve Cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.11 The Cable Model for an Axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149, R: r/ s5 h1 m* h7 }% c
6.12 Electrotonus or Passive Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153% i; D' m. }2 _( L% z/ @" Q
6.13 The Hodgkin–Huxley Model for Membrane Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.13.1 Voltage Clamp Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154% l! w% A8 l6 y* I+ M% H7 Y
6.13.2 Potassium Conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568 i9 V+ i  O# y' e8 \$ E
6.13.3 Sodium Conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.13.4 Leakage Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585 c0 v( c$ a. I) \7 q' l( T2 G
6.14 Voltage Changes in a Space-Clamped Axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.15 Propagating Nerve Impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.16 Myelinated Fibers and Saltatory Conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.17 Membrane Capacitance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163# V( c3 S/ j* \. T( j
6.18 Rhythmic Electrical Activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.19 The Relationship Between Capacitance, Resistance, and Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165% j1 r! J' F: H- X+ s
6.19.1 Capacitance and Resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165. Y) ?: K6 g$ ~
6.19.2 Capacitance and Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1651 H5 t; P- O% ~& A8 p
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167% p: B( @  O  D" j; z7 F
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7 The Exterior Potential and the Electrocardiogram 1770 {; A8 ?- O5 c
7.1 The Potential Outside a Long Cylindrical Axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177% U( G9 n! l4 j2 Y
7.2 The Exterior Potential is Small . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179; Y; z1 c) f9 ~& T/ {
7.3 The Potential Far From the Axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806 k  u' D( P* b/ v' V( Q
7.4 The Exterior Potential for an Arbitrary Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181: H8 r* \4 Q* ^
7.5 Electrical Properties of the Heart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.6 The Current-Dipole Vector of the Heart as a Function of Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186( G  `( D9 {9 g; n' n7 ^, J
7.7 The Electrocardiographic Leads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.8 Some Electrocardiograms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894 ^* }4 e* f7 k, G" D7 m; j5 H
7.9 Refinements to the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.9.1 The Axon Has a Finite Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190. D: }  a% T9 N& i& ]! l7 a& p
7.9.2 Nonuniform Exterior Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.9.3 Anisotropic Conductivity: The Bidomain Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.10 Electrical Stimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192' g4 \/ h% `6 @+ w; C8 p
7.11 The Electroencephalogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196: k4 x' |& G% M- F
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196. R2 }( Y) r( m4 ~6 |" L
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975 p2 M0 B/ d9 ^# Q$ a8 c
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201" M0 z0 \5 Q% W$ }
8 Biomagnetism 203& v; @( T8 j3 H% G# |' T0 c
8.1 TheMagnetic Force on aMoving Charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203  P, b! y8 ]% @5 F1 Z
8.2 TheMagnetic Field of aMoving Charge or a Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2.1 The Divergence of the Magnetic Field Is Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2.2 Ampere’s Circuital Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205* r4 |* k' }' ^* j' W- u
8.2.3 The Biot-Savart Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.2.4 The Displacement Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207/ k5 H' J5 l& A5 d: F' Y1 g
8.3 TheMagnetic Field Around an Axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.4 The Magnetocardiogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.5 The Magnetoencephalogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.6 Electromagnetic Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213  ]2 D9 J+ p/ k; r) s+ e
8.7 Magnetic Stimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214( b1 r* `4 h/ O, l  C/ p1 s
8.8 Magnetic Materials and Biological Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.8.1 Magnetic Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.8.2 Measuring Magnetic Properties in People . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216! H9 P1 N0 A1 o8 M; t: l1 }/ Q
8.8.3 Magnetic Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.9 Detection of Weak Magnetic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218  ?0 L; D; Q( W3 @- u
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9 Electricity and Magnetism at the Cellular Level 227% Y  q: ?5 |1 y8 {/ t: K
9.1 Donnan Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.2 Potential Change at an Interface: The Gouy–Chapman Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.3 Ions in Solution: The Debye–H¨uckelModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231* U* R3 u2 Z& d' |2 e
9.4 Saturation of the Dielectric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.5 Ion Movement in Solution: The Nernst–Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234+ f( B& j9 H6 [0 @6 {, T( Q
9.6 Zero Total Current in a Constant-Field Membrane: The Goldman Equations . . . . . . . . . . . . . 236
9.7 Membrane Channels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.8 Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.8.1 Shot Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242$ m6 F0 ?: S( m2 S3 }6 n& r3 i  x9 g
9.8.2 Johnson Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.9 Sensory Transducers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.10 Possible Effects of Weak External Electric and Magnetic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.10.2 Effects of Strong Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.10.3 Fields in Homes are Weak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244" x- ?4 e, K( P% e6 u# v6 C$ G
9.10.4 Epidemiological Studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245+ Q) X/ Z, J* ~% V$ C
9.10.5 Laboratory Studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.10.6 Reviews and Panel Reports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2455 z1 j: a& L/ l3 W: X) ]+ v
9.10.7 Electric Fields in the Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246/ z! q. ?+ e/ a8 f; g: m
9.10.8 Electric Fields in a Spherical Cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.10.9 Electrical Interactions and Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2475 y" w! [; ~. i6 ^3 H$ M/ I
9.10.10 Magnetic Interactions and Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253& k- Z3 r2 d" `3 P) W
10 Feedback and Control 255# ~- Y$ a# d5 }2 |/ h$ P& J8 }
10.1 Steady-State Relationships Among Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256/ J8 V/ A+ e& ^! H) c" l
10.2 Determining the Operating Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
10.3 Regulation of a Variable and Open-Loop Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
10.4 Approach to Equilibrium without Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
10.5 Approach to Equilibrium in a Feedback Loop with One Time Constant . . . . . . . . . . . . . . . . 259& K7 k7 m/ K7 F! R1 ^1 z& ?
10.6 A Feedback Loop with Two Time Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
10.7 Models Using Nonlinear Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263- p- U6 D) D% B2 F
10.7.1 Describing a Nonlinear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
10.7.2 An Example of Phase Resetting: The Radial Isochron Clock . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2655 \/ Z. j) d, l1 T" d) J9 E9 {! f- M
10.7.3 Stopping an Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268! c) k; n& q9 H! {$ c
10.8 Difference Equations and Chaotic Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
10.8.1 The Logistic Map: Period Doubling and Deterministic Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697 M8 n8 Y% [: `' d: [( T
10.8.2 The Bifurcation Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270, g) x; Z% ^2 R& o
10.8.3 Quasiperiodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716 H, q% N5 B1 I7 a) d0 ~
10.9 A Feedback Loop with a Time Constant and a Fixed Delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.10 Negative Feedback Loops: A Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
10.11 Additional Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.11.1 Cheyne–Stokes Respiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.11.2 Hot Tubs and Heat Stroke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2741 W. D4 o, C3 f( H, f/ ^3 P
10.11.3 Pupil Size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.11.4 Oscillating White-Blood-Cell Counts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275, {+ u8 z1 q" J/ J; A% c( J2 ?7 G) B
10.11.5 Waves in Excitable Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275+ M: {( O0 J  \( C: i1 K( w
10.11.6 Period Doubling and Chaos in Heart Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276! v" I& a0 |6 }
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11 The Method of Least Squares and Signal Analysis 285- z; W" X7 j% a2 ~8 G
11.1 The Method of Least Squares and Polynomial Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285# w3 I& f& Q3 K% K2 U  j4 m
11.1.1 The Simplest Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11.1.2 A Linear Fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
11.1.3 A Polynomial Fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287  K/ d6 T1 ?/ X$ W) u" O
11.1.4 Variable Weighting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
11.2 Nonlinear Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2888 v5 v7 z+ o  ^  }+ y) H/ K
11.3 The Presence of Many Frequencies in a Periodic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2894 G0 K& [5 v3 p: ?# }) J& S+ d0 O
11.4 Fourier Series for Discrete Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2903 ~) y! U* D2 C6 r. |
11.4.1 Introducing the Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
11.4.2 Equally Spaced Data Points Simplify the Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290, l0 k- P0 R# }4 f; g
11.4.3 The Standard Form for the Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.4.4 Complex Exponential Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.4.5 Example: The Square Wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292( \* K% M7 s( |. j; z6 F
11.4.6 Example: When the Sampling Time Is Not a Multiple of the Period of the Signal . . . . . . 292- n6 F# X: c+ \9 I) K) |: _; d
11.4.7 Example: Spontaneous Births . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
11.4.8 Example: Photosynthesis in Plants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
11.4.9 Pitfalls of Discrete Sampling: Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294( V& P" C5 V0 m4 L4 I( u# S
11.4.10 Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295# P3 X3 k+ W# P' s& H8 m
11.5 Fourier Series for a Periodic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295* }4 w1 q& X' J' I! o
11.6 The Power Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2967 l4 Y4 m* F) p, b
11.7 Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298( z% c$ K6 x& d6 S9 o- z# a: _
11.7.1 Cross-Correlation of a Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
11.7.2 Cross-Correlation of a Nonpulse Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.7.3 Cross-Correlation Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299: ?# o; Z. J4 ]5 E% S
11.7.4 Autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299% K) h6 d$ q& E2 F# x- H* ^5 s
11.7.5 Autocorrelation Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299, M  h" i+ g# K9 Y
11.8 The Autocorrelation Function and the Power Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
11.9 Nonperiodic Signals and Fourier Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
11.9.1 Introduce Negative Frequencies and Make the Coefficients Half as Large . . . . . . . . . . . 3015 {$ M$ E0 D$ N$ s; S
11.9.2 Make the Period Infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
11.9.3 Complex Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303/ F1 G6 J4 w8 o8 L- o/ z$ a
11.9.4 Example: The Exponential Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
11.10 The Delta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
11.11 The Energy Spectrum of a Pulse and Parseval’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
11.11.1 Parseval’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.11.2 Example: The Exponential Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305! E& R) ]1 t! x/ n" p
11.12 The Autocorrelation of a Pulse and Its Relation to the Energy Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . 3054 B5 U. U) L% h3 Z' h3 \  h
11.13 Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
11.14 Correlation Functions and Noisy Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308' l: u5 \: k! B2 |# ^7 Q9 @- ~6 J; T
11.14.1 Detecting Signals in Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3083 Q9 K: b: T- a
11.14.2 Signal Averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3085 r3 B/ O3 Y2 a" I$ N
11.14.3 Power Spectral Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
11.14.4 Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3095 J1 P3 F3 x4 R- p9 `
11.15 Frequency Response of a Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
11.15.1 Example of Calculating the Frequency Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
11.15.2 The Decibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
11.15.3 Example: Impulse Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
11.16 The Frequency Spectrum of Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
11.16.1 Johnson Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
11.16.2 Shot Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315/ q" Q' G- T& ?6 A  ~
11.16.3 1/f Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
11.17 Testing Data for Chaotic Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316' V0 f2 u2 P" v$ P8 n! b
11.17.1 Embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316+ T2 U4 P& T2 w( f
11.17.2 Surrogate Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316" h) `* D* \% p+ ^( K- Y
11.18 Stochastic Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317/ I8 b8 Z9 D2 `5 D
11.18.1 Threshold Detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
11.18.2 Feynman’s Ratchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3194 E- M/ e, o1 e6 Z
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3198 b% L0 v! u4 r3 \
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323# [2 J( ~  a6 v+ j4 G# [- _* F
12 Images 325' R* _* I# K/ h8 P- j1 X3 @) Y* B
12.1 The Convolution Integral and its Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325, L- w) U$ r& \: U& Z
12.1.1 One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
12.1.2 Two Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3261 G, C; ^, V/ z4 f  N
12.2 The Relationship Between the Object and the Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
12.2.1 Point-Spread Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
12.2.2 Optical-, Modulation-, and Phase-Transfer Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
12.2.3 Line- and Edge-Spread Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3293 z2 C% U  b- l7 {, D
12.3 Spatial Frequencies in an Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
12.3.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
12.4 Two-Dimensional Image Reconstruction from Projections by Fourier Transform . . . . . . . . . . . 331
12.5 Reconstruction from Projections by Filtered Back Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
12.6 An Example of Filtered Back Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
13 Sound and Ultrasound 343
13.1 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343& `7 c( I  H, Y! f1 u9 h7 _
13.1.1 Plane Waves in an Elastic Rod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
13.1.2 Plane Waves in a Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344# S/ L, D6 a! [0 Q4 q: X
13.2 Properties of the Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
13.3 Acoustic Impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3468 ^; |6 F% H+ n4 ~: G4 B8 g4 K
13.3.1 Relationships Between Pressure, Displacement and Velocity in a Plane Wave . . . . . . . . . 346: _' I  I# H' w- i
13.3.2 Reflection and Transmission of Sound at a Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3466 M" I7 ~/ W/ T3 O6 ?
13.4 Comparing Intensities: Decibels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3473 X9 w- L9 X1 L) r6 Y7 c1 [3 I
13.4.1 The Decibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3472 F9 m. ?( D& g# z
13.4.2 Hearing Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
13.5 The Ear and Hearing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348" n; R7 \  t" b% ?; s4 i3 V+ C
13.6 Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
13.7 Medical Uses of Ultrasound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
13.7.1 Ultrasound Transducers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350) }2 e$ A3 g# |9 e; v
13.7.2 Pulse Echo Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
13.8 The Doppler Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3544 J& L1 Q& d* H
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357! H8 U+ e' g  N* d
14 Atoms and Light 359
14.1 The Nature of Light: Waves versus Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
14.2 Atomic Energy Levels and Atomic Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361" \0 ?1 i; t$ y0 A* }4 v
14.3 Molecular Energy Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3628 W( `. |$ L1 q- b2 G7 X7 D
14.4 Scattering and Absorption of Radiation; Cross Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364* s; |% w7 ~+ q
14.5 The Diffusion Approximation to Photon Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
14.5.1 General Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367- E7 d/ b* q2 t& h0 H& \9 ^( Q! \% p
14.5.2 Continuous Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
14.5.3 Pulsed Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368/ L- i' u( E! `% Q
14.5.4 Refinements to the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3698 m3 q, s; _, `# a$ `
14.6 Biological Applications of Infrared Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
14.6.1 Near Infrared (NIR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3691 b# B$ t* S6 R. t( J
14.6.2 Optical Coherence Tomography (OCT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
14.6.3 Raman Spectroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
14.6.4 Far Infrared or Terahertz Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3727 g3 ~/ y& u. c& u- D
14.7 Thermal Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372/ v. u' j( R5 D2 T% n' h
14.8 Infrared Radiation from the Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
14.8.1 Atherosclerotic Coronary Heart Disease . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376" _0 o! m5 \4 H* O$ u$ I% z2 o+ h
14.9 Blue and Ultraviolet Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377) K8 Q2 X; c. i. b" v6 x! L3 o
14.9.1 Treatment of Neonatal Jaundice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3775 F% z7 m, ~/ p- z) f* e+ d8 q
14.9.2 The Ultraviolet Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3774 r# K, t6 [1 F4 z1 C# ~
14.9.3 Response of the Skin to Ultraviolet Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3784 |: t; _  h* a/ V
14.9.4 Ultraviolet Light Causes Skin Cancer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380# {# b$ U, ]2 w5 B
14.9.5 Protection from Ultraviolet Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380# Y+ r% S6 W5 t) L" b( J
14.9.6 Ultraviolet Light Damages the Eye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810 Z. J( F" F# ^. N5 p: r% [
14.9.7 Ultraviolet Light Synthesizes Vitamin D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810 L1 s9 m% p' W, g7 w0 ?, y
14.9.8 Ultraviolet Light Therapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381% E) ]& I& l' ~) w4 d: x/ V
14.10 Heating Tissue with Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814 W8 k# Q4 W4 h- m) h8 o
14.11 Radiometry and Photometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383  V6 i* \' V* f2 j1 `
14.11.1 Radiometric Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
14.11.2 Photometric Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
14.11.3 Actinometric Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388: s9 r' E) z0 B6 G
14.12 The Eye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3888 }  U9 L/ S4 Y( y
14.13 Quantum Effects in Dark-Adapted Vision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3902 h/ f6 ]  r( K! n6 {+ y+ J1 o
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393+ i& u9 X7 d! L
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3976 ?' Z5 u3 Y- O( z0 T- A$ j9 \
15 Interaction of Photons and Charged Particles with Matter 401
15.1 Atomic Energy Levels and X-ray Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
15.2 Photon Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
15.2.1 Photoelectric Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
15.2.2 Compton and Incoherent Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
15.2.3 Coherent Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403- z, v8 j/ n7 L9 n
15.2.4 Inelastic Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403: S5 \* v; q  V  j
15.2.5 Pair Production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4033 e8 y. W: i8 p0 @
15.2.6 Energy Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
15.3 The Photoelectric Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404! m, V/ t% n  ^  ~: b3 d: Z
15.4 Compton Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
15.4.1 Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
15.4.2 Cross Section: Klein–Nishina Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
15.4.3 Incoherent Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4064 b2 y  h. o- F' P1 o2 O$ t) f$ T
15.4.4 Energy Transferred to the Electron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4072 ~3 A$ C2 N! B9 A
15.5 Coherent Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407$ y3 \3 U  S% o1 H
15.6 Pair Production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407+ P. ^# z/ f- i
15.7 The Photon Attenuation Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
15.8 Compounds and Mixtures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
15.9 Deexcitation of Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410. X% T, r/ X# s6 j: i. L
15.10 Energy Transfer from Photons to Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412# t" K* X8 Y9 N
15.11 Charged-Particle Stopping Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414- z6 N3 M6 ?* X6 ]( {
15.11.1 Interaction with Target Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
15.11.2 Scattering from the Nucleus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
15.11.3 Stopping of Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
15.11.4 Compounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4223 W* I+ m7 m; Y; d4 L. p+ o
15.12 Linear Energy Transfer and Restricted Collision Stopping Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4229 x, S$ |# B6 A2 l" h$ T
15.13 Range, Straggling, and Radiation Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
15.14 Track Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424( Y) R% B% m# S9 E# W+ z
15.15 Energy Transferred and Energy Imparted; Kerma and Absorbed Dose . . . . . . . . . . . . . . . . 425
15.15.1 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
15.15.2 Energy Transferred and Kerma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4278 w0 ^) h7 a. ^6 J1 V+ }+ `+ D
15.15.3 Energy Imparted and Absorbed Dose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
15.15.4 Net Energy Transferred, Collision Kerma, and Radiative Kerma . . . . . . . . . . . . . . . . 428
15.16 Charged-Particle Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
15.16.1 Radiation Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
15.16.2 Charged-particle Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
15.17 Buildup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429! D1 I7 @1 p3 z0 n/ ?  o. Z
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
16 Medical Use of X Rays 437
16.1 Production of X Rays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4377 Z! D5 o' j: _; r" \
16.1.1 Characteristic X Rays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437' N, z8 W  G* x% x3 z/ X
16.1.2 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4380 d, X! C8 f3 S% K
16.2 Quantities to Describe Radiation Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4390 Q5 I+ U5 r/ s( h+ r2 B# U# v1 s
16.2.1 Radiation Chemical Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
16.2.2 Mean Energy per Ion Pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
16.2.3 Exposure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
16.3 Detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
16.3.1 Film and Screens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440& S* J4 M; L! _; V
16.3.2 Scintillation Detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442  a& D. T. \# t" e: e7 K
16.3.3 Gas Detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444. P0 z8 P  W- G
16.3.4 Semiconductor Detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
16.3.5 Thermoluminescent Dosimeters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4459 v3 v" F" d, j
16.3.6 Chemical Dosimetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445: n. t) o9 c7 }# C1 r/ A
16.3.7 Digital Detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
16.4 The Diagnostic Radiograph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4463 f! x) s6 y. c  s2 I
16.4.1 X-ray Tube and Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
16.4.2 Collimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447# F5 l/ t+ Z! t# c; ]
16.4.3 Attenuation in the Patient: Contrast Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
16.4.4 Antiscatter Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
16.4.5 Film–Screen Combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4504 J0 v' o/ i5 z" ?) @& V' o
16.4.6 Computed and Direct Radiography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
16.5 Image Quality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4509 W! V4 v- n1 |' Z& R* S( L7 d
16.6 Angiography and Digital Subtraction Angiography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453; u3 y7 R3 |: F  F/ p( H
16.7 Mammography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453% d/ U8 A: V0 q$ J2 g  \. ?
16.8 Fluoroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
16.9 Computed Tomography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454; }7 Z1 l. Z. z# r; \/ w8 o. g
16.10 Biological Effects of Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
16.10.1 Cell-Culture Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458) P! K! U) H0 m5 e6 d7 i0 x3 t
16.10.2 Chromosome Damage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
16.10.3 The Linear-quadratic Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460' ]9 j+ @9 e! I9 |: y
16.10.4 The Bystander Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
16.10.5 Tissue Irradiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
16.10.6 A Model for Tumor Eradication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
16.11 Radiation Therapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4630 b5 ?8 N* F' H1 N6 Y( M
16.11.1 Classical Radiation Therapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
16.11.2 Modern X-ray Therapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465! Z" B+ e# d, ~7 W
16.11.3 Charged Particles and Neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
16.12 Dose Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
16.13 The Risk of Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4685 O6 {* o' H  q2 K+ J
16.13.1 Equivalent and Effective Dose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468$ B& s, M7 X% s6 R' j2 v% G
16.13.2 Comparison with Natural Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
16.13.3 Calculating Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4700 m; |0 B% J* ~; e% v
16.13.4 Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473) p/ X' R4 D+ d# P
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474# |5 y( t2 F9 M3 R/ r
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
17 Nuclear Physics and Nuclear Medicine 481
17.1 Nuclear Systematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
17.2 Nuclear Decay: Decay Rate and Half-Life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
17.3 Gamma Decay and Internal Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484, V9 ^  S! \: T& ]. F8 S
17.4 Beta Decay and Electron Capture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
17.5 Calculating the Absorbed Dose from Radioactive Nuclei within the Body . . . . . . . . . . . . . . . 488; X6 G5 `/ @$ a* c
17.6 Activity and Cumulated Activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
17.6.1 The General Distribution Problem: Residence Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
17.6.2 Immediate Uptake with No Biological Excretion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4905 }( o* L5 Z3 D2 I, c( U" G# N; K- \
17.6.3 Immediate Uptake with Exponential Biological Excretion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
17.6.4 Immediate Uptake Moving through Two Compartments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
17.6.5 More Complicated Situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4914 ~& j2 U/ I' J/ k9 G7 l
17.6.6 Activity per Unit Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492( O+ i, G! n( l9 h( _- p3 y
17.7 Mean Energy Emitted per Unit of Cumulated Activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
17.8 Calculation of the Absorbed Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
17.8.1 Nonpenetrating Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493& R% s9 ]) E8 z
17.8.2 Infinite Source in an Infinite Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493  J6 V# T0 u& S9 |7 z  T
17.8.3 Point Source of Monoenergetic Photons in Empty Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494, u  c8 r- s3 v1 O
17.8.4 Point Source of Monoenergetic Photons in an Infinite Isotropic Absorber . . . . . . . . . . . 494
17.8.5 More Complicated Cases—the MIRD Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494* d8 b4 w  h% [  ]
17.9 Radiopharmaceuticals and Tracers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495  y  C7 R, G7 ]2 C' N! O
17.9.1 Physical Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
17.9.2 Biological Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4973 H1 s& F& q; l# s/ }2 V& Y
17.10 Sample Dose Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498! T3 m: K; I6 O7 Y1 e
17.11 Auger Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
17.12 Detectors; The Gamma Camera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500" h5 x  W/ Q# `& F1 J3 @% ?
17.13 Single-Photon Emission Computed Tomography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501; `9 V  B+ [  e2 ]
17.14 Positron Emission Tomography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5028 K, J! }6 S) j$ S( {* z
17.15 Brachytherapy and Internal Radiotherapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5030 p4 |% X7 j% r+ k, [7 J9 p
17.16 Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5054 S( L- W: I: H1 |1 J
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507: E% X/ X- R- z4 C, B9 X6 H0 w
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
18 Magnetic Resonance Imaging 515$ S& L- C9 t2 H8 T+ Y$ N0 L
18.1 Magnetic Moments in an External Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
18.2 The Source of the Magnetic Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
18.3 The Magnetization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
18.4 Behavior of the Magnetization Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518" W7 [* P7 ?9 [" ?! V2 b" @
18.5 A Rotating Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519! J' D  L4 l8 @* G/ A
18.5.1 Transforming to the Rotating Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519! Y$ w- ]: e4 R
18.5.2 An Additional Oscillating Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
18.5.3 Nutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5214 d! H1 h2 d# ?; I1 e, e
18.5.4 π and π/2 Pulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521* C0 A" O, l! v( ^9 o' c
18.6 Relaxation Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5220 e( `, C- r% X
18.7 Detecting the Magnetic Resonance Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
18.8 Some Useful Pulse Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525; y1 Z" ~& r, ~$ o3 T( ~- D
18.8.1 Free-Induction-Decay (FID) Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
18.8.2 Inversion-Recovery (IR) Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5257 L; j9 c+ U# s; [, l
18.8.3 Spin–Echo (SE) Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5265 `% L# X6 A1 O# t: u8 V/ N
18.8.4 Carr–Purcell (CP) Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
18.8.5 Carr–Purcell–Meiboom–Gill (CPMG) Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
18.9 Imaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
18.9.1 Slice Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528# W8 i+ y7 {- s% \9 ~% s3 h
18.9.2 Readout in the x Direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529! f& s6 A$ w3 K# A4 j
18.9.3 Projection Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5303 F9 \; Z0 [& h: [; R. M! X
18.9.4 Phase Encoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530& u; x0 N, X/ t  j) ~
18.9.5 Other Pulse Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5315 U; s7 C  G7 P1 }
18.9.6 Image Contrast and the Pulse Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533; u% C1 O5 z% |  ?
18.9.7 Safety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534. ]' Y6 ]" j* s: ^1 ~+ ~& b
18.10 Chemical Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
18.11 Flow Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5359 y2 F9 j4 T+ }
18.12 Functional MRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536, t7 w4 r4 n0 f& s& I
18.13 Diffusion and Diffusion Tensor MRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536; s$ H4 [+ \  u1 R2 a; [# W' |' u, C
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537/ ~& d1 j( q4 _3 ^  y
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542- @: U3 ^* [. x' e  C
A Plane and Solid Angles 543
A.1 Plane Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
A.2 Solid Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543& J$ D( }: ^: [
B Vectors; Displacement, Velocity, and Acceleration 545
B.1 Vectors and Vector Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
B.2 Components of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
B.3 Position, Velocity, and Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
C Properties of Exponents and Logarithms 549
D Taylor’s Series 5512 ]4 J0 T( L. A, ^- D+ @# S
E Some Integrals of Sines and Cosines 555/ w$ Z& Q' T8 x6 Y) h$ ^
F Linear Differential Equations with Constant Coefficients 557" h7 T( I3 `5 q! }$ ~
F.1 First-order Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
F.2 Second-order Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5586 S2 a- [4 f1 \7 u- U/ k
G The Mean and Standard Deviation 561, |4 p, H% |5 D2 z
H The Binomial Probability Distribution 563, h8 S( `  J0 c
I The Gaussian Probability Distribution 5674 o7 U1 v4 l8 O' q
J The Poisson Distribution 571; S6 I- _, D) T( k6 b2 H8 t8 S$ i
K Integrals Involving e−ax2 575  A. W4 o: {% ^' m8 p' }7 l2 v, b
L Spherical and Cylindrical Coordinates 577
M Joint Probability Distributions 5797 b7 J4 H: `* V( B3 I+ A
M.1 Discrete Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579$ N7 a- ^, u: c
M.2 Continuous Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580( R, _8 U- K, ]0 g  k
N Partial Derivatives 581
O Some Fundamental Constants and Conversion Factors 583
Index 585& I2 F) @5 g. m8 F$ d) @

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