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Intermediate Physics for Medicine and Biology

1 Mechanics 1
1.1 Distances and Sizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1$ [8 H6 p1 K9 L  n3 m
1.2 Forces and Translational Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3/ v' O" ]0 {8 V" \8 r8 I
1.3 Rotational Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Vector Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Force in the Achilles Tendon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Forces on the Hip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 The Use of a Cane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. }5 B5 c4 ^, n. {
1.8 Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.9 Stress and Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 V/ h; k1 f2 D
1.10 Shear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. x+ J' E0 g$ t2 D3 W" ~, I# l
1.11 Hydrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.12 Buoyancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14( t/ z8 d9 }7 ^  w4 w4 @+ _- H" d* g
1.13 Compressibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 p: N0 |; l2 m% P9 q$ A
1.14 Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 E6 `7 d, V; Z# Z
1.15 Viscous Flow in a Tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.16 Pressure–Volume Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.17 The Human Circulatory System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.18 Turbulent Flow and the Reynolds Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Exponential Growth and Decay 31
2.1 Exponential Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31& f5 B& l) n8 x/ I. I
2.2 Exponential Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Semilog Paper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34% F& I1 m  s7 U
2.4 Variable Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Clearance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Multiple Decay Paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7 Decay Plus Input at a Constant Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8 Decay with Multiple Half-Lives and Fitting Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.9 The Logistic Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.10 Log–log Plots, Power Laws, and Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 F: l  }0 ?. Z8 n, Z
2.10.1 Log-log Plots and Power Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.10.2 Food Consumption, Basal Metabolic Rate, and Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42$ Q  K* K  {8 q0 A% v! z1 G
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 a$ g1 q. {( E6 c/ I6 M5 t4 Y
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Systems of Many Particles 49
3.1 Gas Molecules in a Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Microstates and Macrostates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 The Energy of a System: The First Law of Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Ensembles and the Basic Postulates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54: u5 E* D8 R0 \# Z4 K  u" g% z
3.5 Thermal Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56/ n. C9 g3 n; r) ?+ b& R
3.6 Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7 The Boltzmann Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.8 The Nernst Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 h, G2 p! G. ^$ m% r8 n/ P
3.9 The Pressure Variation in the Atmosphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 z; l1 P; S: z4 B, h+ A
3.10 Equipartition of Energy and Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60' c9 p' s$ t2 G/ d$ F9 y* d) D/ d/ y
3.11 Heat Capacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.12 Equilibrium When Particles Can Be Exchanged: The Chemical Potential . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.13 Concentration Dependence of the Chemical Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62( `+ l0 z) E1 R' z  n. D. m1 T' n( L
3.14 Systems That Can Exchange Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63' u" H* z9 \! u1 c6 \9 w0 X
3.15 Extensive Variables and Generalized Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64$ ?) @' A3 o; b0 w. I) `
3.16 The General Thermodynamic Relationship . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.17 The Gibbs Free Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65* i6 o* D5 K/ J( u' a/ t
3.17.1 Gibbs Free Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65* M! G: u6 ^" E; p' Z& l/ f$ x
3.17.2 An Example: Chemical Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 \0 P+ T, |4 _( r' g
3.18 The Chemical Potential of a Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.19 Transformation of Randomness to Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71( |& z8 S; q' j7 p
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79- L: a* C2 R& q; `( z7 e$ H% I
4 Transport in an Infinite Medium 81# R; |: a: G% E6 m4 i
4.1 Flux, Fluence, and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81! T3 J6 u' C7 @
4.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81# I9 G/ b, f* Z" L3 p3 R: o
4.1.2 The Continuity Equation in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82  y  G1 \; P: ^7 F3 g# c
4.1.3 The Continuity Equation in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.4 The Integral Form of the Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833 C# C! e0 K* }# D# s$ P& K8 h! q
4.1.5 The Differential Form of the Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.6 The Continuity Equation with a Chemical Reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Drift or Solvent Drag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Motion in a Gas: Mean Free Path and Collision Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854 s1 O  u% y- D4 S8 d+ S
4.5 Motion in a Liquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6 Diffusion: Fick’s First Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872 W& l; p# p+ [9 G6 X
4.7 The Einstein Relationship Between Diffusion and Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.8 Fick’s Second Law of Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911 M( |; D) O  j; f
4.9 Time-Independent Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923 Y% q) o9 {* U# e1 o1 a8 y/ {, r" [/ C
4.10 Example: Steady-State Diffusion to a Spherical Cell and End Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94! q5 w" {  |! d! ^8 q
4.10.1 Diffusion Through a Collection of Pores, Corrected . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.10.2 Diffusion from a Sphere, Corrected . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95; M* ]* N1 ^% P9 m/ Q+ r' n3 R' r
4.10.3 How Many Pores Are Needed? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.10.4 Other Applications of the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96( x: R4 D0 W7 p: _3 j- \& q0 [
4.11 Example: A Spherical Cell Producing a Substance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96) c/ Z) ^5 q- L$ A
4.12 Drift and Diffusion in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982 j! [# E. b- t9 C, q$ X
4.13 A General Solution for the Particle Concentration as a Function of Time . . . . . . . . . . . . . . . 999 o/ E) T2 d* T. e- O$ L/ |
4.14 Diffusion as a Random Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102! }1 C2 h) a  U7 \4 R. V
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108: T- s* w8 C2 V- G& x6 W( c4 ?4 ?3 \
5 Transport Through Neutral Membranes 1113 P+ E, Y1 J* E9 q$ f/ Y
5.1 Membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111$ O0 f# E4 z! [7 H. `* A
5.2 Osmotic Pressure in an Ideal Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112, P5 J) d. s0 R
5.3 Osmotic Pressure in a Liquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4 Some Clinical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155 z% F% Z, q$ t6 W
5.4.1 Edema Due to Heart Failure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.2 Nephrotic Syndrome, Liver Disease, and Ascites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.3 Edema of Inflammatory Reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.4 Headaches in Renal Dialysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116& j+ m- [# b& d- Q! Z1 A6 t) B
5.4.5 Osmotic Diuresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.6 Osmotic Fragility of Red Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117) f7 r: X% F5 N  C
5.5 Volume Transport Through aMembrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117+ p7 Z  n# b  o: A7 l
5.6 Solute Transport Through aMembrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.7 Example: The Artificial Kidney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208 R& X% ]6 \% t( J3 E3 x) R
5.8 Countercurrent Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.9 A ContinuumModel for Volume and Solute Transport in a Pore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222 e& ~9 f% h, P, ~
5.9.1 Volume Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.9.2 Solute Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.9.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.9.4 Reflection Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1270 c- R3 E# v& A0 P
5.9.5 The Effect of Pore Walls on Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1281 m, ~  }9 h& b; h% I2 s) U
5.9.6 Net Force on the Membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128' T$ z7 Q) I2 t: R4 s& U
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298 `' s& I1 }( }6 g4 `2 ]
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298 k1 K& F2 H. S7 n1 {! `
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133" b1 f* ]0 Q3 d7 [* N
6 Impulses in Nerve and Muscle Cells 135
6.1 Physiology of Nerve and Muscle Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355 \. u  x, j# j, Z  }
6.2 Coulomb’s Law, Superposition, and the Electric Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137* K8 F1 d- z5 p
6.3 Gauss’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.4 Potential Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.5 Conductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142' q; E  `$ R8 }* C- ?  D9 W
6.6 Capacitance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143% s+ L, y# g. N9 j
6.7 Dielectrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.8 Current and Ohm’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.9 The Application of Ohm’s Law to Simple Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463 b1 `" ]  ?3 V2 L: Y( Q
6.10 Charge Distribution in the Resting Nerve Cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.11 The Cable Model for an Axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149% o: w- [* K( H+ H* j* b  {: W4 o
6.12 Electrotonus or Passive Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153- z0 [  u+ U9 q, g/ ]
6.13 The Hodgkin–Huxley Model for Membrane Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.13.1 Voltage Clamp Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.13.2 Potassium Conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.13.3 Sodium Conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.13.4 Leakage Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1580 Y8 o- @7 ?% z; ^* e0 c5 X# Z# l
6.14 Voltage Changes in a Space-Clamped Axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.15 Propagating Nerve Impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.16 Myelinated Fibers and Saltatory Conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160/ o# u( P. y( P; O1 B8 P
6.17 Membrane Capacitance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.18 Rhythmic Electrical Activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647 s3 M  f/ B& l0 _
6.19 The Relationship Between Capacitance, Resistance, and Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.19.1 Capacitance and Resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.19.2 Capacitance and Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165/ ~0 `8 p9 q) z2 Q
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167- Y1 _# c1 Y& X4 e& Z( ^1 `
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175, j* _5 `( q( \, F; K( n9 D: b) _
7 The Exterior Potential and the Electrocardiogram 177
7.1 The Potential Outside a Long Cylindrical Axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177) d1 F: i9 |2 I, A6 o6 J8 t
7.2 The Exterior Potential is Small . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.3 The Potential Far From the Axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.4 The Exterior Potential for an Arbitrary Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181- t) Z6 x2 F5 b8 L
7.5 Electrical Properties of the Heart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.6 The Current-Dipole Vector of the Heart as a Function of Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865 I( ]( f1 g  z
7.7 The Electrocardiographic Leads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186* S* p7 G8 E0 G. n: X. Q+ v$ s3 R
7.8 Some Electrocardiograms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896 z7 h6 U2 d. C) w
7.9 Refinements to the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896 v+ F$ f) A* X# o0 X
7.9.1 The Axon Has a Finite Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.9.2 Nonuniform Exterior Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1913 [+ B% }& ~5 o, N
7.9.3 Anisotropic Conductivity: The Bidomain Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914 a$ i# P# o+ b! {( k- w
7.10 Electrical Stimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1921 p8 O4 O+ Y2 m1 Z
7.11 The Electroencephalogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1963 @+ x# J* N! K- P! L0 X
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197; V; z+ X! d; z. B# g) _
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201  N3 \9 x; w2 o8 W! h2 e" r
8 Biomagnetism 203
8.1 TheMagnetic Force on aMoving Charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203/ t1 k4 l: ~( h2 v
8.2 TheMagnetic Field of aMoving Charge or a Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205( q5 n2 C' ^2 H) [2 ^' L
8.2.1 The Divergence of the Magnetic Field Is Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205# ], O& I+ v+ q; c8 s$ I
8.2.2 Ampere’s Circuital Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2054 \/ Q/ Y& _4 e8 ?2 {
8.2.3 The Biot-Savart Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206! l" t' k7 x% f: I" j
8.2.4 The Displacement Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.3 TheMagnetic Field Around an Axon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084 _+ X2 ^' f$ r% H; M8 _% f
8.4 The Magnetocardiogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209& U& S9 g1 o! O- @
8.5 The Magnetoencephalogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.6 Electromagnetic Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2130 f. ~% k* `$ }
8.7 Magnetic Stimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214  r* W5 n) B' v  N  u- G
8.8 Magnetic Materials and Biological Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2140 i) c% y! y0 v, F1 u, I$ O
8.8.1 Magnetic Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.8.2 Measuring Magnetic Properties in People . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.8.3 Magnetic Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217; t3 K% [% T& j" T. o; J3 I" e; m2 ]
8.9 Detection of Weak Magnetic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219+ ~: w. x4 b0 g! ^7 v" N) o" S8 c
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220  H7 k* G0 S7 s/ o+ H" M
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9 Electricity and Magnetism at the Cellular Level 2276 B" I/ n; A& E- k* A
9.1 Donnan Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.2 Potential Change at an Interface: The Gouy–Chapman Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.3 Ions in Solution: The Debye–H¨uckelModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231: {! ]) t& |9 u4 [
9.4 Saturation of the Dielectric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.5 Ion Movement in Solution: The Nernst–Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2345 q% L/ N! j5 n; o  B9 d
9.6 Zero Total Current in a Constant-Field Membrane: The Goldman Equations . . . . . . . . . . . . . 2365 s, H( i% W! D  B; V& f/ h
9.7 Membrane Channels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238# d2 L3 p8 \* @4 @2 H
9.8 Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.8.1 Shot Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428 q' F& U1 p( V( O, a. q& T& E3 a3 ?
9.8.2 Johnson Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242: R4 y2 z9 u3 {4 X/ }
9.9 Sensory Transducers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.10 Possible Effects of Weak External Electric and Magnetic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2445 x. b3 Q! A; ]
9.10.2 Effects of Strong Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244- j1 W5 @( W  J+ S! N
9.10.3 Fields in Homes are Weak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244/ f* Y2 Z' H; u4 W; H: a
9.10.4 Epidemiological Studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245+ _9 `; G3 i6 y. u$ r7 T3 b' O
9.10.5 Laboratory Studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245* ?7 Z2 c; X  k3 d9 ^) A* e/ l
9.10.6 Reviews and Panel Reports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245# V; k( U9 Q7 k
9.10.7 Electric Fields in the Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.10.8 Electric Fields in a Spherical Cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.10.9 Electrical Interactions and Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.10.10 Magnetic Interactions and Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249# a* a  u! t2 T8 A* W
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10 Feedback and Control 255: P$ n* l5 ^# L8 a$ q2 A& s; ~
10.1 Steady-State Relationships Among Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
10.2 Determining the Operating Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257, A. b- Q8 t( \/ y9 }3 h
10.3 Regulation of a Variable and Open-Loop Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2579 Y* F6 ?5 B! U9 q! n2 u6 D
10.4 Approach to Equilibrium without Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
10.5 Approach to Equilibrium in a Feedback Loop with One Time Constant . . . . . . . . . . . . . . . . 259- ^6 N8 D! S0 y4 m0 S( S6 a# `
10.6 A Feedback Loop with Two Time Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
10.7 Models Using Nonlinear Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
10.7.1 Describing a Nonlinear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264, {. z8 d' B* H% y( O4 r# u& w
10.7.2 An Example of Phase Resetting: The Radial Isochron Clock . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2654 g, L8 B0 [" P. }* A1 `
10.7.3 Stopping an Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2689 @8 k4 m! B. u# w' u  e2 \) s
10.8 Difference Equations and Chaotic Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268$ l8 j# f( p2 R
10.8.1 The Logistic Map: Period Doubling and Deterministic Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.8.2 The Bifurcation Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2709 g6 ?* ?3 ^4 b; l) L. W
10.8.3 Quasiperiodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.9 A Feedback Loop with a Time Constant and a Fixed Delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.10 Negative Feedback Loops: A Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
10.11 Additional Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.11.1 Cheyne–Stokes Respiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.11.2 Hot Tubs and Heat Stroke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274# L3 n! \0 z6 w. A2 a
10.11.3 Pupil Size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274# Y8 x  _) W# r
10.11.4 Oscillating White-Blood-Cell Counts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
10.11.5 Waves in Excitable Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
10.11.6 Period Doubling and Chaos in Heart Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276) q0 K' x0 _; e8 f9 e+ @7 T! }
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2779 f: ]( `% z2 U9 q: x4 ]" `8 E- h  S
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2775 T" L; K3 [: ]1 J  B. q
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11 The Method of Least Squares and Signal Analysis 285
11.1 The Method of Least Squares and Polynomial Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11.1.1 The Simplest Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11.1.2 A Linear Fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
11.1.3 A Polynomial Fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
11.1.4 Variable Weighting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288' _7 ~& A4 f% A
11.2 Nonlinear Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
11.3 The Presence of Many Frequencies in a Periodic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.4 Fourier Series for Discrete Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
11.4.1 Introducing the Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
11.4.2 Equally Spaced Data Points Simplify the Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290# G3 b9 b  d$ _# k- Z
11.4.3 The Standard Form for the Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.4.4 Complex Exponential Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.4.5 Example: The Square Wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292% z) K# L, f1 S7 u# P( o2 ~  w
11.4.6 Example: When the Sampling Time Is Not a Multiple of the Period of the Signal . . . . . . 292" z' R! J* c- k8 O, X  N
11.4.7 Example: Spontaneous Births . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
11.4.8 Example: Photosynthesis in Plants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
11.4.9 Pitfalls of Discrete Sampling: Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
11.4.10 Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
11.5 Fourier Series for a Periodic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
11.6 The Power Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
11.7 Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2984 Z5 u6 j5 N. _; G+ D9 f  Y
11.7.1 Cross-Correlation of a Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2984 n& b' e( D' f- |
11.7.2 Cross-Correlation of a Nonpulse Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2991 l& v- k, M7 F$ e! A8 v
11.7.3 Cross-Correlation Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.7.4 Autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.7.5 Autocorrelation Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299+ H! g0 H5 B# ?8 Z* z  `+ d/ ]
11.8 The Autocorrelation Function and the Power Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300) p( v# y5 i  V- F2 Y) O
11.9 Nonperiodic Signals and Fourier Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
11.9.1 Introduce Negative Frequencies and Make the Coefficients Half as Large . . . . . . . . . . . 301) ]; D1 R+ g7 F% z2 B! M
11.9.2 Make the Period Infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
11.9.3 Complex Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303) x4 R5 W) T8 h. F$ q* @
11.9.4 Example: The Exponential Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
11.10 The Delta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304' [- `1 s$ t) p, h4 W5 G
11.11 The Energy Spectrum of a Pulse and Parseval’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3040 f$ n  l; D+ k. Z2 ^
11.11.1 Parseval’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305' T4 v" E! |. O  |! K- I
11.11.2 Example: The Exponential Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.12 The Autocorrelation of a Pulse and Its Relation to the Energy Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.13 Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3063 k2 k; h% [  u: V  \( u0 A
11.14 Correlation Functions and Noisy Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308* Q' e; k2 Z" k# V# o6 ~2 b
11.14.1 Detecting Signals in Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308. z3 C& p" h$ W1 Z. U$ v  f
11.14.2 Signal Averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308+ h7 x4 e! ^' p: A6 a: |3 h
11.14.3 Power Spectral Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3098 v. d3 y5 l* R- m7 u: e' c4 z; u
11.14.4 Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
11.15 Frequency Response of a Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
11.15.1 Example of Calculating the Frequency Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
11.15.2 The Decibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311$ o7 Q/ m9 S! L7 @$ u/ F: P* @
11.15.3 Example: Impulse Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312' ?2 e% p$ |; S- }; ^( W
11.16 The Frequency Spectrum of Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312! A0 T) v) L' X4 m  ?) C' J( t
11.16.1 Johnson Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312; t! Q) X7 |# Z( x7 E$ U9 O9 A7 Q, m- I
11.16.2 Shot Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3152 K" d+ D. u4 H! M& h
11.16.3 1/f Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
11.17 Testing Data for Chaotic Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
11.17.1 Embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
11.17.2 Surrogate Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
11.18 Stochastic Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3175 U2 \1 V' @1 F: }
11.18.1 Threshold Detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
11.18.2 Feynman’s Ratchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
12 Images 325* v2 h& D8 n! P( i: _! n, m" [
12.1 The Convolution Integral and its Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
12.1.1 One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3259 ?9 u, `; n7 Q% G0 Z
12.1.2 Two Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
12.2 The Relationship Between the Object and the Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3274 u* N0 f. G5 l* L* f7 o
12.2.1 Point-Spread Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327" A3 ]6 H0 D. d( D( ]" _( @& B* i
12.2.2 Optical-, Modulation-, and Phase-Transfer Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
12.2.3 Line- and Edge-Spread Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329+ h* k0 V& P" U' x; p
12.3 Spatial Frequencies in an Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329: F# e: E' J" J
12.3.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3315 I! h* X7 N/ Q9 |, v$ @( g
12.4 Two-Dimensional Image Reconstruction from Projections by Fourier Transform . . . . . . . . . . . 331" ^+ k3 `. o* u6 b+ a0 p" C5 q, F+ C
12.5 Reconstruction from Projections by Filtered Back Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332! w/ l- }; d( x# U8 k1 p4 a
12.6 An Example of Filtered Back Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335) u1 k3 V1 `* P* y- P3 F4 r5 O4 Z
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337  @. c7 @& `* z8 ]8 k+ w
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340" ~$ a' ^0 Q6 }9 r2 R
13 Sound and Ultrasound 343
13.1 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343; \" r+ ^: |  f9 M
13.1.1 Plane Waves in an Elastic Rod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343# w- P( |9 V% S7 ?
13.1.2 Plane Waves in a Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
13.2 Properties of the Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3458 _% x' {4 k- b9 E: B0 w% x
13.3 Acoustic Impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
13.3.1 Relationships Between Pressure, Displacement and Velocity in a Plane Wave . . . . . . . . . 346( `1 u" i( B& O+ l
13.3.2 Reflection and Transmission of Sound at a Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
13.4 Comparing Intensities: Decibels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
13.4.1 The Decibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
13.4.2 Hearing Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347' v! b! j3 y: B: H. F# Q8 ^1 b) j* x
13.5 The Ear and Hearing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
13.6 Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
13.7 Medical Uses of Ultrasound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350, q* d6 Y" O! ?% G# C1 R) q2 ^8 b2 U6 ]
13.7.1 Ultrasound Transducers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350* s+ ]' b8 M0 i/ p$ n6 A0 S4 x
13.7.2 Pulse Echo Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
13.8 The Doppler Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353* |! L8 T- B. W& z% T+ r3 J
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3543 U' W. l6 F( T
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
14 Atoms and Light 359
14.1 The Nature of Light: Waves versus Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
14.2 Atomic Energy Levels and Atomic Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361& i2 u2 Q/ b- k* k% A; e( d# R
14.3 Molecular Energy Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3625 _6 Z: A0 o- u, `& T
14.4 Scattering and Absorption of Radiation; Cross Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
14.5 The Diffusion Approximation to Photon Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
14.5.1 General Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
14.5.2 Continuous Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
14.5.3 Pulsed Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
14.5.4 Refinements to the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
14.6 Biological Applications of Infrared Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
14.6.1 Near Infrared (NIR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369& w7 |9 y& a$ Q
14.6.2 Optical Coherence Tomography (OCT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3701 F# ]' |1 Q* x. a! c
14.6.3 Raman Spectroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
14.6.4 Far Infrared or Terahertz Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
14.7 Thermal Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
14.8 Infrared Radiation from the Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375  h: R! X. o5 L0 z# H# b" y6 a
14.8.1 Atherosclerotic Coronary Heart Disease . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
14.9 Blue and Ultraviolet Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377* c; h0 [  x: v# N0 @0 T8 `
14.9.1 Treatment of Neonatal Jaundice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3776 P+ p3 I6 k% Z* F0 P- S# W
14.9.2 The Ultraviolet Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3778 Q; ?! |3 q* i- S% |1 ]: j% P
14.9.3 Response of the Skin to Ultraviolet Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378" u8 s  k1 P  S- n
14.9.4 Ultraviolet Light Causes Skin Cancer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3800 S; o  I9 O! z
14.9.5 Protection from Ultraviolet Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
14.9.6 Ultraviolet Light Damages the Eye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3812 }+ y' d- }, y+ [+ Y: Y; s
14.9.7 Ultraviolet Light Synthesizes Vitamin D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381' }% Z6 e7 u+ c$ N' m
14.9.8 Ultraviolet Light Therapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381/ H. E" W8 T. K) P
14.10 Heating Tissue with Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
14.11 Radiometry and Photometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
14.11.1 Radiometric Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3831 U- p% M9 q0 h6 P
14.11.2 Photometric Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387  z8 l* F5 w' ]; e' ~5 T$ f
14.11.3 Actinometric Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388" q( T/ C  h* x, d1 I3 |$ [1 B
14.12 The Eye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
14.13 Quantum Effects in Dark-Adapted Vision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3906 P0 R, v4 w) |& ~  X6 q/ H1 c
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
15 Interaction of Photons and Charged Particles with Matter 401- [% t$ @  A7 u; c. l
15.1 Atomic Energy Levels and X-ray Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
15.2 Photon Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
15.2.1 Photoelectric Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
15.2.2 Compton and Incoherent Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4035 F( u4 P& N. M0 J8 r
15.2.3 Coherent Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
15.2.4 Inelastic Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403* I$ s8 U6 ]2 s+ c. ^' ^
15.2.5 Pair Production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4030 k, G: f, m8 K: E
15.2.6 Energy Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404+ o3 L$ h3 A% B% ^/ F  C  Q
15.3 The Photoelectric Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
15.4 Compton Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
15.4.1 Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4052 S7 n' E* \. m$ l
15.4.2 Cross Section: Klein–Nishina Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
15.4.3 Incoherent Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406  T/ u( m1 y" c& O
15.4.4 Energy Transferred to the Electron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
15.5 Coherent Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407+ {4 e# [2 _* ^
15.6 Pair Production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407  B7 K, q- t7 X) F
15.7 The Photon Attenuation Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4084 W0 z5 E+ J& o4 n+ M
15.8 Compounds and Mixtures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
15.9 Deexcitation of Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
15.10 Energy Transfer from Photons to Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
15.11 Charged-Particle Stopping Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
15.11.1 Interaction with Target Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418# Q; o  c8 o3 P+ i( S
15.11.2 Scattering from the Nucleus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421, y4 @6 W5 P; B6 B8 H* j* y
15.11.3 Stopping of Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
15.11.4 Compounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
15.12 Linear Energy Transfer and Restricted Collision Stopping Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422+ b9 k& h6 n2 j6 P! \! j
15.13 Range, Straggling, and Radiation Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4236 w0 x4 k  Z6 C7 G" C6 e
15.14 Track Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424' Y9 {  T. R: s2 x6 M
15.15 Energy Transferred and Energy Imparted; Kerma and Absorbed Dose . . . . . . . . . . . . . . . . 425- j" b, x3 {7 M* l$ i
15.15.1 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4254 r9 ?% }. e* C4 m/ r- ]1 }
15.15.2 Energy Transferred and Kerma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4275 c6 O+ N+ Y! Z. F8 E/ r
15.15.3 Energy Imparted and Absorbed Dose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
15.15.4 Net Energy Transferred, Collision Kerma, and Radiative Kerma . . . . . . . . . . . . . . . . 4286 ]0 D" o. U) W# w5 g
15.16 Charged-Particle Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428) V$ v' P( }+ H" Y/ P
15.16.1 Radiation Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
15.16.2 Charged-particle Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
15.17 Buildup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431/ P. @  @. p! i
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434, ~0 L, Z/ K# j1 m0 ]
16 Medical Use of X Rays 4370 ~$ P7 U9 h$ I7 D1 E) v6 s0 ~' F$ p
16.1 Production of X Rays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437- j9 h5 n3 F3 r( ?
16.1.1 Characteristic X Rays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4373 T; d$ f) M1 O9 k
16.1.2 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438; s' N  m' ?. O4 l0 o9 x0 |
16.2 Quantities to Describe Radiation Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439* w& s5 p' |1 D8 Y; n3 m3 F! c
16.2.1 Radiation Chemical Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
16.2.2 Mean Energy per Ion Pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
16.2.3 Exposure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
16.3 Detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440; n8 K5 P4 O% C
16.3.1 Film and Screens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
16.3.2 Scintillation Detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442$ p$ T3 d3 ^; P7 |6 e  T
16.3.3 Gas Detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
16.3.4 Semiconductor Detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445* S$ j& g1 X$ D, j# E5 u
16.3.5 Thermoluminescent Dosimeters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
16.3.6 Chemical Dosimetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445$ \* f2 Q1 J3 P2 |0 W6 N
16.3.7 Digital Detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446, x9 U' m& @* a8 [
16.4 The Diagnostic Radiograph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446* o5 t* B/ ^- [" P6 r. ]
16.4.1 X-ray Tube and Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
16.4.2 Collimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
16.4.3 Attenuation in the Patient: Contrast Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4475 Q8 c. ]* V* B0 n- A& c& y7 l
16.4.4 Antiscatter Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450& V. y; M: f) f  k) I. C
16.4.5 Film–Screen Combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4506 y7 Q& B# ?, a& v) d  Z
16.4.6 Computed and Direct Radiography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4503 ~, c. m" j# G5 T; H
16.5 Image Quality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
16.6 Angiography and Digital Subtraction Angiography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453# {  q* _' z: {' S: ?, Z$ a
16.7 Mammography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
16.8 Fluoroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
16.9 Computed Tomography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
16.10 Biological Effects of Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
16.10.1 Cell-Culture Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458' b( N8 f2 L7 H* s
16.10.2 Chromosome Damage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4588 c$ ^" ~1 R1 I  U/ m1 E0 Q- ?
16.10.3 The Linear-quadratic Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
16.10.4 The Bystander Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
16.10.5 Tissue Irradiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461- Q1 z' c' d& v7 C+ h
16.10.6 A Model for Tumor Eradication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
16.11 Radiation Therapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
16.11.1 Classical Radiation Therapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464. I; f. o/ H" E$ Q3 y  w
16.11.2 Modern X-ray Therapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465' {$ [6 B2 O8 b! ?; \
16.11.3 Charged Particles and Neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465' C4 ]+ l. b& h
16.12 Dose Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
16.13 The Risk of Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
16.13.1 Equivalent and Effective Dose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
16.13.2 Comparison with Natural Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
16.13.3 Calculating Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
16.13.4 Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472$ _: N$ W  A4 y" N7 r
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4739 E# ^+ Y0 t5 z* n6 d9 j, J+ |( M
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477# [1 z: c/ [$ ?- V' f3 @
17 Nuclear Physics and Nuclear Medicine 481! m; a# V+ W& K
17.1 Nuclear Systematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482  @7 K0 y- S2 B+ [$ f& i; @
17.2 Nuclear Decay: Decay Rate and Half-Life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484, h- h; P# q  a( P& i
17.3 Gamma Decay and Internal Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484+ }- k' J; m) Z8 }# \
17.4 Beta Decay and Electron Capture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
17.5 Calculating the Absorbed Dose from Radioactive Nuclei within the Body . . . . . . . . . . . . . . . 4888 X. b7 J; Z" y
17.6 Activity and Cumulated Activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
17.6.1 The General Distribution Problem: Residence Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490& S& N0 O6 t; D; ?
17.6.2 Immediate Uptake with No Biological Excretion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490( B# C) F5 w% v5 O* M
17.6.3 Immediate Uptake with Exponential Biological Excretion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4907 p, T( `3 C9 u  c4 o: Z
17.6.4 Immediate Uptake Moving through Two Compartments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491' T* H5 A0 r( u4 c
17.6.5 More Complicated Situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
17.6.6 Activity per Unit Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
17.7 Mean Energy Emitted per Unit of Cumulated Activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4920 L" M1 J( a% U3 M& c( u9 H
17.8 Calculation of the Absorbed Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493% a5 @+ T: D1 `  F, z2 ~) d
17.8.1 Nonpenetrating Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493) P# a9 b7 ^5 X8 e2 b/ @" v
17.8.2 Infinite Source in an Infinite Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
17.8.3 Point Source of Monoenergetic Photons in Empty Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
17.8.4 Point Source of Monoenergetic Photons in an Infinite Isotropic Absorber . . . . . . . . . . . 4940 X4 r6 {, \$ O2 r% b
17.8.5 More Complicated Cases—the MIRD Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
17.9 Radiopharmaceuticals and Tracers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495) v  e& }& k  f  _3 r
17.9.1 Physical Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4952 c. }$ n9 e4 L, Z. T5 m" O
17.9.2 Biological Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497- D+ {9 M% u+ y8 L1 w
17.10 Sample Dose Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498- f( L# Q+ Q( k1 R( E2 G% V/ V
17.11 Auger Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
17.12 Detectors; The Gamma Camera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
17.13 Single-Photon Emission Computed Tomography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
17.14 Positron Emission Tomography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
17.15 Brachytherapy and Internal Radiotherapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503/ a# r8 l7 f7 A- |# b
17.16 Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505& u* [" |3 l$ M2 U
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506. w, k# m7 B% J
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5078 ]  r; M+ a1 s4 k  D
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5125 f8 |7 a- \  N% v1 n: F: [
18 Magnetic Resonance Imaging 515' F  M/ ?+ |5 N& t, P
18.1 Magnetic Moments in an External Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
18.2 The Source of the Magnetic Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516- H! ?+ I1 S  D# O# V: d5 J) p& u
18.3 The Magnetization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517) M  B6 o$ X4 M6 D/ ^1 ?; H
18.4 Behavior of the Magnetization Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518' C; N8 d7 j* p0 Q
18.5 A Rotating Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
18.5.1 Transforming to the Rotating Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
18.5.2 An Additional Oscillating Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5202 @7 ^- K& r4 o
18.5.3 Nutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
18.5.4 π and π/2 Pulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521- C9 N  C1 `; g6 V4 \
18.6 Relaxation Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
18.7 Detecting the Magnetic Resonance Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524) @8 G2 W$ \6 Y
18.8 Some Useful Pulse Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5254 n1 ~* E0 j7 c# O. `) _! _  H
18.8.1 Free-Induction-Decay (FID) Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
18.8.2 Inversion-Recovery (IR) Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
18.8.3 Spin–Echo (SE) Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5262 E7 X: X( p/ k# c: R7 f% a
18.8.4 Carr–Purcell (CP) Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
18.8.5 Carr–Purcell–Meiboom–Gill (CPMG) Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
18.9 Imaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
18.9.1 Slice Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
18.9.2 Readout in the x Direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529& g9 q; s1 N) I$ I. K2 H/ }: d
18.9.3 Projection Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530: R" q& x( P( l
18.9.4 Phase Encoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530( @8 p  T8 _0 B7 K0 b' R
18.9.5 Other Pulse Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
18.9.6 Image Contrast and the Pulse Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
18.9.7 Safety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
18.10 Chemical Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
18.11 Flow Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
18.12 Functional MRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
18.13 Diffusion and Diffusion Tensor MRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
Symbols Used . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542$ A1 x  W1 L2 g6 G+ G$ {+ S
A Plane and Solid Angles 543
A.1 Plane Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543" y5 ^; R$ v& O0 F7 x
A.2 Solid Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5431 f. m: Z$ I  Z; d" h4 x2 l
B Vectors; Displacement, Velocity, and Acceleration 545% j( }# z2 j4 R) F  r
B.1 Vectors and Vector Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545' x$ i6 H- Y  \
B.2 Components of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546. u& X( d8 I5 p3 Y
B.3 Position, Velocity, and Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5461 C$ v+ L1 j9 s5 u; s$ I2 C
C Properties of Exponents and Logarithms 549# \) M+ K  w* N: _+ Q; t
D Taylor’s Series 551
E Some Integrals of Sines and Cosines 555, C  f  t) @8 j# Z7 W0 d! h
F Linear Differential Equations with Constant Coefficients 557
F.1 First-order Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558( U3 j4 W$ n2 p7 a1 \; G- }3 W5 N
F.2 Second-order Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5588 I: D) q1 d2 b0 \' y. |8 S
G The Mean and Standard Deviation 561+ H- x  u$ s' L( m+ {1 \
H The Binomial Probability Distribution 563
I The Gaussian Probability Distribution 567
J The Poisson Distribution 571
K Integrals Involving e−ax2 575
L Spherical and Cylindrical Coordinates 577+ _3 q8 W( X/ d9 b% e- N& G) v) W6 G. w
M Joint Probability Distributions 5791 U# R! [8 ~& p/ p
M.1 Discrete Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579" T3 V: w6 ?' }' ~7 m3 m4 ]# Y5 E
M.2 Continuous Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
N Partial Derivatives 5810 @9 Q8 K( p3 R, j* m
O Some Fundamental Constants and Conversion Factors 583+ u, h) N2 ?* K# y" e
Index 585

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