美哉：欲拥科学，必抱数学！——不完备性定理和不确定性原理

sunsong7

) p, C1 }3 [$ r- G, s  {0 ?4 \! ~7 Q  m

第六章 收敛与0

) c& @( o. j. m$ w5 ~: D% E; V* k$ {- w; p

: L+ c3 E9 ^. R7 `' |6.1 收敛性
) F" v4 P4 l; f  Z7 U3 M: T3 @8 y% Q

% b/ e) J0 M/ J1 t" ~　　1967年在国际权威的美国《科学》杂志上发表了一篇划进代的的论文《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》，文章作者Beonit Mandelbrot是一位当代美籍法国数学家和计算机专家， 而他的答案让所有人大吃一惊：, ~9 J) {, z  |
　　英国的海岸线是不确定的！
; g' p+ Y5 h. Y5 B- H$ c0 @2 @  f& \, M9 ~; i3 P8 v; r2 c

7 Y3 D' N) m( X- D　　英国的海岸线长度是不确定的？; `" L2 Q) l0 ~* y
　　伟大的大不列颠联合王国国民可能要骂娘了，你狗日的法国佬安的什么心？
4 \1 q1 a" w7 G
+ h* x; _$ ~9 u% r( T　　！＃￥＃……＃！％￥＆％％……％……％％＆￥％
/ m9 n1 X; V2 ^& ^4 @. U
+ T/ c  q+ {( S% ^; S  _
5 K4 p$ T1 |- W" M　　但是，论文的结论经过验证，是真的！！！
( ^  J* R" @- T
0 m3 O: R+ a( I8 g2 S8 h! c- u9 Y% O9 Q2 H* H/ v: y7 m7 y

7 z3 ~! D% v3 G' ^' a2 v　　原来，海岸线长度依赖于测量时所用的尺度。
9 p2 [5 @8 S+ ~/ C  A0 @5 s7 _4 |　　海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，形成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不规则。8 z3 p! z9 Y/ Y! {
+ i: Q  y0 W( u
　　假如你乘一架大飞机在10000m 的高空沿海岸线飞行测量拍摄海岸照片，然后按适当的比例尺并计算这些照片显示的海岸总长度，其答案是否精确呢？否！因为，你在高空不可能区别许多的小海湾和小海峡。7 k! X( L5 `& c: _
! r# H' A& m9 C  G) L# O# Z* Z) I  H4 T, B; O
　　如果你改乘一架小飞机在500m高处重复上述的拍摄和测量，你就会看清许多原来没有看到的细部，而你的测量的长度就会大大超过上次的答数。
9 y8 O0 `- q$ u+ B9 Z9 j& W/ D6 x8 j. A. Z; ^

9 v' @& J" \' [+ f  k' \6 v  Z; B! n' M/ K# n1 w* O6 G' |
1 |% N3 D- e, o" r7 |+ P
　　现在你在高空中，测量其长度时如以公里为单位，则几米到几百米的弯曲就会被忽略不能计入在内，设此时得长度L1；如果你的飞机降低高度，则可以用长度为10m的量规来测量海岸线的长度，那么那些在高空中看不清的拐弯处就会使海岸线长度变得更大，L2＞L1；假设你就在地面上，你改到长度为1m的量规，上面忽略了的弯曲都可计入，结果将继续增大，但仍有几厘米、几十厘米的弯曲被忽略,此时得出的长度L3＞L2＞L1；如此等等。
3 [% o+ n5 o1 W- t　　很显然，采用的量度越精密，海岸线就显露出更多的细节、出现更多的皱褶，所以获得的海岸线长度就越大。" d3 N8 Y  J- ~* a6 Y
" E' w1 o( c" v; N

, u( @4 U4 E  V& ?- d0 f- R# K% x" D1 L! O

' X8 N. |1 q6 b8 n) O5 b  y, {　　可以设想，用分子、原子量级的尺度为单位时，测得的长度将是一个天文数字。进一步，伴随测量单位变得无穷小，海岸线长度会变得无穷大，因而是不确定的！
7 l  e$ B, T' h$ j" Q3 P2 o) Q$ o$ X. N

, |* A# b% t& R9 ]; e3 O9 Y: k5 l. o# u1 B

/ J+ ^. J% k9 c* o/ s. Y　　海岸线并不是特例，就像下面这个花菜一样，凡是皱褶边界的图形都是类似的。海岸线长度这类问题后来成为混沌理论的一部份，这就是著名的分数维数之一，分形几何学。& W3 L' x# W1 w5 i7 n
" \( w% j  q" w' N" X* Q

9 I1 b/ K/ V1 v- D% g5 R; n: Z
/ B( h* Q3 I; Y- H, s! R8 _; X　　海岸线长度问题引申出了一个有趣的现象，一个面积有限的图形，其边界长度有可能是无穷大！$ \9 s- P2 A# `9 M- U- \. h& U

; J4 k0 y. i2 Z% V　　有限的面积，无限的边界，究竟为什么呢？打击俺的自信心啊, X! w$ z! w$ x# r# `7 {

8 q/ M( S8 R/ n' `. {4 L/ A3 z' M8 w5 c3 I' ]4 x0 ~1 P
/ l  I- _/ w6 z: z! ]

3 s* Z7 Q# `8 N. ?1 J; j1 g$ P3 O' W; N% L
4 z6 H1 f, m( ~* z  ^1 |. {0 P9 h

' D0 K  q$ H1 s) |. I/ M  Y# ]/ D6 f8 s: n

, z& p2 [+ `9 s& o: D, s% _+ m# O) H" l) O
　　在数学上，这其实是一个典型的无限级数的收敛现象。可以用西格玛或积分来刻画：. T7 P4 j/ j2 f  d  Y$ M, s

: \! }9 n5 |5 [- u0 v' x/ e* t6 L& n" ~3 x* N) e4 e* f
' a$ D; h! S2 T6 m6 ^$ t

. D8 d( B: q" [2 c( j% Y& _
" E2 O4 j+ {/ k- t
+ q9 Q  i, d% ?+ A/ @7 Z　　关于无限收敛，还有一个著名的例子，叫做“人龟赛跑悖论”
7 p' |7 x8 J* ~6 `9 F　　【一只乌龟与一个人赛跑，乌龟在人的前面100米。乌龟的速度是一米每秒，人的速度是10米每秒。乌龟对人说：“虽然你比我快，但你永远也追不上我，因为当你就跑100米，跑到我的起点时，我已经前进了10米；当你再跑10米，到我的第二个位置时，我又向前跑了1米。。。。。。如此下去，每当你跑到我前一个位置时，我都会在你前面，所以你永远也追不上我”】6 @2 z- K; Q" E, b

: ]  G, a! z+ m! }! t  Q, m2 G7 H4 H# W8 o; K
　　人龟赛跑悖论曾经困扰了智者数千年，直到无穷级数的出现，人类才严谨证明了无穷收敛的实质，真正认识到故事里无限和有限的内涵。
( @/ p! o( P+ S) ?　　无限的级数收敛于有限的值，这是人类历史跨时代的突破，是数学漂亮的飞跃！
5 j! o) _/ ^- Y1 Q
! u0 N# @$ x3 Z7 ^' ?3 [! L& x2 _4 I" z7 O0 }
1 L) C# x5 \, d5 q% t

) w0 r; B# A( A
" X( Y5 G) }& I
/ @2 u5 E# U$ C　　无限级数、无限积分收敛于有限，已经是很了不起的思维革命了。1 N" o7 i8 s" \9 _) f8 }! L
% j) e0 f. ~* K
   我们知道，无限级数收敛是阿列夫0空间的概念；无限积分收敛是阿列夫1空间的概念。那么，有没有什么理论是关于阿列夫2空间中的无限收敛性的呢？
) P$ b9 i! x( P2 i3 x! A
) Z" P0 Y3 Q7 g2 {# B   有没有什么理论能够发现非级数收敛的、非积分收敛的、连续实数点空间中（阿列夫1空间）杂乱无章的某一群数据的更深层次 内在规律性呢？5 ~2 H) u6 A2 r# T4 E; t  O6 v
8 u) r' S" I9 E
　　如果有种手段能将空间折叠后的数据空间扩张到更广阔的空间，是不是能把原来隐含的结构信息释放，让我们能识别其原本的线性关系呢？, P. U; X1 s# _
   在有限维度空间中，我们通过对无理数√2的空间三角关系（勾股定理）的认识。可以通过空间折叠后一维直线上非线性的模平方关系，还原三角形三条边之间的空间线性关系。8 J5 \& \$ t+ w, |# S
   进一步，我们可不可以通过某种无穷维度张量，使其能在无限维空间进行扩展，还原维度折叠后变形的非线性关系，从而找到其原本的高维度完备空间的自然的线性关系呢？( V/ V# P3 a' L6 K/ Q1 q3 q
% m, C' m2 Q7 ~+ Y) y0 G
　　如果有，是不是可以解决形式化数理逻辑（阿列夫0维度线性空间）面临的“不完备性”窘境呢？0 T+ \( P4 b$ d9 L9 `8 U
　　如果能把阿列夫0维的逻辑（图灵机）扩张到阿列夫1维、阿列夫2维。。。，异常强悍的广义逻辑空间是不是有可能催生出超级智能的计算机呢？' {8 ~8 y  I. w( d4 Y) W
) @, j+ i) N: _/ v1 Q* e/ T% a5 p
/ d5 N9 @5 G) G* V1 O% R5 e+ Q

2 \9 O1 G  B( `& Z; d+ X% H" \2 u" e% C: ?+ m0 R0 n# V

, ]- q) h* z. z/ W1 f
( ]8 ^5 k6 u! r) y! o" T, e3 J% _6 V, F  V3 W6 i
　　随着新兴的傅立叶变换理论突飞猛进的进展，人们惊诧发现傅立叶变换可以实现从有限到无限的漂亮转身，可以突破非级数收敛的、非积分收敛的限制。因为信号在时空域和频域中不能同时集中在有限大的区域内，波粒二象性，这意味着有限的东东必然有无限的影子，任何小不点随时随地都有无穷大如影相随。另一方面，非级数收敛的非积分收敛的表面上杂乱无章的某一群数据，却可能在对偶域收敛，呈现内在的隐含规律性。
  S- {9 C  N. k9 }0 w- ^) S- r$ P# n$ i0 f8 O4 b4 i
   比如，傅里叶分析中常常用到的sinc函数，如果对它进行傅里叶变化，会发现这个积分不收敛。
$ b8 M  K/ {) _5 v( s
- _. ^) D2 m8 q; ^8 m5 V5 L& i& B0 g" c9 w
   但是，通过傅里叶变化定理，很容易知道sinc函数的傅里叶变换函数等于矩形函数。事实上，sinc函数和矩形函数这一傅里叶对偶函数，正是波粒二象性的经典例子。2 H: D' b9 w7 |
5 U, g8 @8 N0 `% t* ?% z

2 m0 M7 V( ^9 A6 u. O6 b7 z
7 @+ C" c2 ?3 q   又比如在工程学和理论物理中广泛使用的冲激函数δ，它是非级数收敛的非积分收敛的，但是它在对偶域收敛。
1 P7 E- R$ H9 x2 T9 h) N8 n) x1 i3 Z' }  ]1 r' U8 |( c
+ d1 r+ o; p# [

" w5 ?% ^$ k0 `5 P+ ]7 a0 X　　这个定理初看起来平淡无奇，实际上却包含了天大的秘密！！！
* V( {5 _- f8 K9 P, \- J, J0 ?- I  ~/ t+ D* t7 Z, K1 ^; `
   没有学习过傅里叶理论的朋友，可能因为陌生的数学符号对其中含义不甚了了。; w' b- ]: z& M2 c. C6 R% T2 J
   下面，类似于傅里叶分析，举一个生活中形象的例子（当然这个例子并非真正的傅里叶分析）。
. i* t9 N: o) e0 E
" [+ m+ D! \: t- z% ]5 x- Y9 s   请一起来欣赏一段视频：http://www.56.com/w99/play_album ... id-ODg4ODEyMzY.html
- r- `: Z6 Q1 }0 `& Z" m, ~   这是美国作曲家Eric Whitacre组织史无前例的大规模网络合唱，第1次共有185名爱好者参与,第2次增加到1752人,第3次则吸引了来自73个国家的近四千名志愿者。
+ }* v, \, u. G  V* R   恢宏的气势穿透了心灵，超震撼！2 i* {0 X0 Z1 N+ B% V
   更加震撼的是其中的主角们来自不同的国家、不同的地方、不同的人、不同的时间；他们有人是送外卖的、有人是百万富翁、有人年轻英俊、有人白发苍苍、有黑人、有亚洲人、有人喜爱冲浪、有人习惯宅家；一眼望去，各有不同；但是，在他们千奇百怪的脸面背后，却有灵魂深处的心心相惜、有心灵相通的深情共鸣；因为此，虽然他们从未谋面，却能汇集成为同一旋律。5 U- D! N2 @$ `
   把千万数据源汇集成为同一声音。其中的秘密不仅仅是Eric Whitacre通过成员的嗓音特征细化各个声部、剪接合成每一个音频视频。更关键更本质的因素是，即使时空域非级数收敛的非积分收敛的千差万别的个体、如果其频域步调节奏一致，则在对偶域会体现另一种非传统意义的“收敛属性”。8 E; ~, W. n, B. D
   表面上毫不相干的各有个性迥异的一群人，却可能因为共同的音乐潜质，呈现其内在的隐含的更深层次的同一个性气质。
- ]4 X0 p7 \6 N5 Q2 J8 U& I3 d   这个意义超震撼！
* N% `$ P+ x" X, W
7 l) w$ f, U1 D1 k8 G

sunsong7

6.2 差之毫厘失之千里
: F" B4 Y+ H# i6 {) G7 C# \: q1 l% Z. d

9 D: M: W1 _5 z+ H  u. I% {
, B9 n; y( P/ l; T   收敛性是我们研究系统问题的关键，但遗憾是收敛并不普遍，很多乍看收敛的现象往往并不收敛。9 r) u% U2 Q/ J8 |% }! [
, o* u" K0 I7 z: x) K6 U0 s6 l
   
, o$ r5 u) H4 k2 v+ q- K
( B' R8 l* |- O0 y5 ~8 H   有一个奇怪的图画，图形有7个人：2 p% N+ x5 r  o
8 x9 o+ `1 x- S! g+ }

' }: d2 o7 J$ e* e! B1 u+ d6 S7 p1 q3 k  D
　　如果我们把图形分成3块，把第1块和第2块互调一下，得到一个新的图形6 }5 |/ o+ N3 \- n

8 U8 I) h% E0 M, i7 T
9 t0 ^* B( `9 u2 g& [0 i6 f: T( _' ~- P$ p1 i) E+ X2 k8 S+ o# v
　　再数一下新图形中的人数，惊奇地发现，居然变成了8个人，比变换图形前多了一个人？
4 R. s% j* m5 j6 V% m3 h
: _+ W' g4 d6 s$ @　　为什么呢？貌似我们只是把其中子图形调换了个位置，并没有用笔添加什么，怎么会无端多出来一个人呢？
. E; F' f# S) @+ K; ]9 U  X1 l7 Z# k# t
' I# `0 m+ e3 ?+ B7 N* g

# w  V. S" d/ O7 h' r7 D# Q　　鬼魅。。。4 j: I# K4 e& `, h0 I3 `$ L
' d. o8 U/ B" Z7 G: U

) ^# P) n8 w6 `# ?7 B% Q" a; L5 W+ m' S6 n4 ~- y( p- O
) @  g! M7 d' }4 T, h# s9 T" I

$ A6 E* S  X; [& ?/ ~6 `* _/ x4 ~# l* i9 k

4 t: {+ k* @' [' k, j( S1 {$ O　　仔细再仔细看，终于发现其中奥秘。
5 W, P9 P# p3 e$ `3 W/ H; v6 P9 ^- q: ^+ s% ~
   其实上下两个图形中的人形稍有不同（不仔细观看还真不容易发现），下面的图中人形比上面图中的人的身高稍微矮了点。
5 w2 G/ L  G0 P
0 ]6 S8 t& J4 \/ t( i   正因为下面图形中的人都变矮了一点点，7个人身上每个人都截出一点，所以拼出了第8个人。+ O+ ]( W7 z, C% b* a  Z$ h7 x

$ Z1 G6 @( e2 y4 [+ y: S0 _) r  p
9 e, {& U; I7 x1 C: y' u2 o- ]- D4 R2 d( B( w& |- c: _

/ ]; p6 I; Q. h1 G% r" D  u$ J$ m) s8 j
' x$ Q, I. m4 Q8 S, n
% g# B9 H  q1 S) Q5 J1 ?! {% l

- n, n5 I9 ^4 X9 I% p2 F
8 U- }( A% F, o% l
$ e3 F: `3 i3 l  N2 Z- R% m- I% k. g2 \& X3 S0 |# G* j. m
) [. ~  o; v2 `8 S
0 x* K. y: Z% D: y& X8 m
3 u. d  l3 Q- G4 a* v5 `5 h# {

7 ~8 U8 n8 [, H  j3 Y% ~5 b- ^
! ?7 e; x& O' f2 r; e, }3 v
0 Q0 x) h$ z6 `
/ [5 j8 n+ H- m+ t2 k6 h
   再看第二个例子：π = 4- v, |/ D% I/ @6 P

0 w- o; Y: V; d6 e6 K+ e2 _   见下图
0 g- O6 y. ~/ U3 {) ^; i& v# V& W: ^) f5 ]! H) v$ R
: d/ i% |: }$ x

( g; P  X4 `2 T' M
2 ?- r( {9 F* m, W$ r0 F9 G! H* B5 X+ b: F
   任何人都知道，π不可能等于4 ，否则圆周率就不会是无理数了。4 }6 h. v2 F; c8 F% {3 v

, ~3 `& ~5 r4 {6 I* q2 k   那么，上面的图形错在哪里呢？
" u0 v3 g! P2 P. P0 g/ R% B3 h' {( |. H: w
   如此这般一步步细化以后，貌似圆周和外面的包络线应该可以无限接近的，没错啊？3 i: F9 G' D0 x, M, p# d5 Q

; O9 A& }: }; L9 L7 E
5 Y& y$ v) w1 |" y
2 w7 M' R4 Z! S   口水话说多了也没有用，下面我们来量化推导一下，再看看谬误出自何处。
2 p, U8 V, s% [# ]
, E( y( K" ^& W# Y   如图，引入一条边Z，与X、Y构成直角三角形- K7 k( s" _. Q5 d2 ?: w

" |6 D! x4 X, G7 v8 U& n4 d; G% U, @2 F( Q
2 `: g1 D! `0 P* e, D! x2 O
   在n次逼近操作后，切分小块仍然保留三角形关系 【否则(∑x＋∑y)就不等于4了】; K# H, n* z# \4 G7 X- C
1 }" Y0 x% F$ t3 o
   且：∑x = 4/2 , ∑y = 4/2
2 n) d. m9 t* u
8 b$ ^) J& ~4 F   相当于：x * 2^n = 4/2 , y * 2^n = 4/24 a/ R% W/ d) A- @8 g$ f/ a
, t8 |0 N7 ^5 a# A4 L# I

, A% b2 M1 V6 J8 x- K& I
. q3 s& M( _/ D3 g+ T; }8 J' x6 X. r   则：(∑x＋∑y) － ∑z! x0 j  S" M5 \2 W0 d
: c9 ?8 u1 g- D/ C, Z. O
   相当于：2^n[(x+y)-√（x^2 + y^2）]
. d5 r9 W& [4 I6 w
1 o/ Q/ `$ r4 Y          =2^n(x+y) - 2^n * √（x^2 + y^2）) w7 m( h4 s6 k& x$ Z9 @

1 |- B& m, R, y: g          =4 - √[4^2 － （2^n)^2 *2xy]
5 k* J! |, Q' G; N* l3 V/ T; ~1 g: N# Q2 c0 [( c
          =4 - √[4^2 － 8]
# C+ d# N3 G# }. {0 y/ ~% z6 V- V) e3 h+ a% q
          =1.172
5 C9 A! o0 O: N& \( n! [2 {% M1 T$ r+ V* B. f' @+ e; M  |
          <> 0
  T4 \; m' \$ _4 _) x- ~3 ~$ A, A% e6 d% }0 Z
* N5 Y1 L2 I1 r- J8 g
  g- n7 `7 o: n
   既然不等于0 ，就意味着(∑x＋∑y)与∑z不重合。也就是说圆周和其内外的包络线并不无限接近。$ I- y5 A: N+ P7 `: ?! c4 ]' {, a

. E5 z$ j) t; i4 w
; q' o) W" b9 n; ^/ I1 D) I/ r+ w) h+ i' m8 k- e, r
　一些扩充的说明：* b/ |/ g5 y% K2 N1 O

6 n6 y( `. }( f0 {4 |% i$ e- s) r7 O# i

1 J; W( c- b* o* n6 t　　（1）
) ]9 _3 {! I8 y( T- h# k( [# y2 ]5 U. ~+ F* u; V* X/ T! o* j  ^" ]
　　上式中的近似运算可能不太严谨，严格说上式中的西格玛∑x应该是积分∫dx. ?) V+ X& j6 R

. s! T0 E; E$ }+ S% U. N: E　　算式 (∑x＋∑y) － ∑z 更准确的表达方式为∫dx ＋∫dy －∫dz# \9 p+ A  {$ I" z1 B7 _

5 @  l/ E+ Z& {% P　　∫dx ＋∫dy －∫dz 的计算比较复杂，最后结果约等于0.860 ~4 ~# E' ^& T  [$ Y

( m1 ]# F. y! J/ D
. v$ }* B- _! u1 A) a9 D8 X2 ^+ [0 w
6 d( q: K* y! f　　(2)3 o% ~4 z# y9 [1 P  }1 S) L

: x& ^7 |% n/ X5 ^! [　　其实本例证明无需更精确的积分求值，只要证明（2^n)^2 *2dx*dy <>0 即可
4 k- ?# r& x7 z  v1 E
( Y2 \( i. s. o　　由于切分小块的dx×dy不是 （1/2^n）^2 的更高阶的无穷小，因此（2^n)^2 *2dxdy <>0  F" u- u' O# M
4 V0 ^' t! L6 U/ y

  s, e" h: a; S' e! y$ Y1 y
% R6 ~: B' ?& h; |/ x　　（3）
( _; {5 C" a$ R" v8 F1 {% F$ \- A
7 O' u7 P: w4 P+ \　　∑x = 4/2 , ∑y = 4/29 X, L% t5 U8 a
% o  j9 P5 a5 j% Q+ U! y
　　相当于：x * 2^n = 4/2 , y * 2^n = 4/27 r2 A+ [  ?* z! p# B
9 [$ U' v5 f( j! R, E5 j8 g5 v4 F
　　这里的 x * 2^n = 4/2 中的 x 取∑x/2^n，即全部小块三角形边长x 的平均值
2 Z6 |8 l0 M4 Q7 F: B. f& V. D( P& @1 c2 u2 |$ W7 n( w
　　严格应写成： x平均值 * 2^n = 4/2; \' i! I) b3 W1 G/ S/ w
* |3 s( |. b8 M
, H( c& X; G) A0 A

8 v) X( }' h( b" i! o+ K2 r! z! x　　(4)( l( \0 X, h1 a+ j! f
: i. F# N& z" L, F- c& l
　　n→∞时，该正方形所形成的“曲线”跟圆不重合2 {& Y- T5 A% ?' ?. i7 X

3 {  f; M0 f, T  b$ X1 U' k5 H5 V9 S　　可以证明，这样无限进行下去的话，当且仅当正方形曲线上任一点和圆心的距离无限接近R，圆周和外包络曲线重合5 U7 C  V2 [3 {! Y8 P5 |+ o
$ u6 u) y. R6 y, c
　　即：R方 = R圆 + h6 u! y: D; r7 |. q2 F* ?4 F

- k3 L6 p  a3 R" R　　（R方：正方形曲线上任一点和圆心的距离。R圆：半径。h：小三角形的高）$ I+ w0 G  F  [# j3 d+ ?2 n# v
9 r7 e. V* }9 y4 M0 ]; m( c
　　注意：即使无穷逼近后 h → 无穷小ε( e5 w9 B2 N; q

/ u8 z1 A! f8 `: D6 X& [　　如果最终 ε × 1/2^n 不等于0 ，也就是说ε不是 1/2^n 的更高阶的无穷小
1 C/ [" |* K( v% u( j6 [
4 @' h; z0 _' L+ t! x　　那么，“曲线”跟圆不可能重合% k; C1 ~2 }( C9 j* u9 [
9 ?; R/ b6 L* H& Y
4 ^% s& `- ~1 C' v6 A6 ]! D
$ F% J$ o5 Y4 E. ], J+ d! N; B
9 E1 r3 _5 R& r$ P" q" C
4 j0 V& M/ B1 w# x! d+ D
　　上面图形中的事例在系统分析中是比较常见的，一群子系统中的非常细微的一点点误差汇集在一起，很可能造成“不可容忍的误差”，造成逻辑谬误。' n- u: n7 Y% Q8 I- H1 P

; \/ d* k7 y  H! Y: ]　　差之毫厘失之千里，震惊！" ]0 L2 a  j$ u. z- z

$ K, B( c- h( s- n
: k; I: T$ I  e/ w8 v7 J( |" c/ b; F7 I
/ C: A' l6 v! V! i

( T) [2 d4 w) C+ s. Q　　那么，如何评估避免不可容的误差的发生呢？显然，这是个大问题！

sunsong7

6.3 零的秘密; G$ h3 N; o4 v! l- X
+ O0 a% y9 F2 H4 d) O
. m. }$ V1 T/ Y, ?# z$ d
6 V( b* k: ^" `, [# W" H, u7 g3 s' S
: C( ?8 M& T6 H. q3 x

, h, ~9 {) N. {; E: o4 ]5 v! B8 B7 ~0 N; \
   熟知数学理论的同学一眼就可以看出，前面两节的事例都是关于无穷小量的。, E' E- k& J5 {/ \
9 |% U! Y4 c/ P8 _$ T; x0 D- b
3 I& Z7 d/ g7 K  Y  f2 t
  m/ Y3 O8 u9 b- o

! N" y6 Y* w. |- x& B# o7 j! w* E8 ~: S
- d& Z+ M% R  [
   我们发现，6.2节的无穷小量累加在一起会产生不可容忍的误差，出现谬误。
. e  v( s5 R, B- x- K1 A8 }1 F: z
; W# D( t6 M5 R1 |! V! R0 r5 e: T$ w5 y- N2 @8 S" w4 Q
   而6.1节的无穷小量累加在一起则是收敛的，6.1节的无穷小量（即使是无限多个）累加也相当于零，不对结果产生影响。; s6 b* }; w. S. U. q
" b5 Y/ l9 |1 m% Q* k; e
( _" G1 |% B# \2 C8 {2 S

0 H6 f+ \7 U# r, A' W9 u
, d* p! U% D1 C8 O0 ]# n& ~0 W* b7 O  F& w  R6 }' F. m
/ W; J0 C, R5 _$ I% L
   显然，不同的无穷小量可能有不同的性质，需要区别对待。
+ s( C- E* b/ l0 _6 L
  p; W1 \  Y) f8 x+ B0 B' B- [5 q% ]6 U0 U* e
   特别的，在阿列夫2维度空间中的无穷小量，与阿列夫1维度空间有多大差别呢？) U8 E% [; r- l+ `  p9 v

: S$ ~) t; k: l* Q+ R6 N( I
" D% p8 a7 O- y& C: K
" [! \6 o5 m' g# O) u# e
# T! f2 p: V# V: X% M7 V' }$ h' B  z3 n" b% {5 i- J  E5 l: k

$ P* O" A# V1 r: Z, e1 t1 i
* r. \9 V' k! G2 L+ W/ h* F0 V% w( x

  L0 B. l' B' `3 ?0 }1 c
% u7 M( W8 \+ a   回过头，我们再来进一步审视阿列夫2维度空间的奥妙。  ^# ?2 I+ Z, Z

5 J% H! }! z2 v; _5 ~  v% j  o( |0 a
) I$ i" ~) ?+ e, P
9 j$ P" s9 x8 [  k5 q- [

. O* k: C8 Q" [  U
/ [& ?7 v3 {" @5 P6 H4 a   上一章，通过量子态阿列夫2维度空间的认识，将为我们提供一条非常广阔的逻辑分析空间。相信有一些朋友也像我一样激动，热血沸腾、信心满满、摩拳擦掌、磨刀霍霍，准备着去迎接一个崭新世纪了。  h# F: m! \3 r! l9 K8 b
, n1 k. G# t. W1 h& D; d9 P

3 `  ~+ {; z2 T# Q6 l: t# W+ P   不由得又想起百年前希尔伯特那句激动人心名言:“Wir mussen wissen. Wir werden wissen.（我们必须知道，我们必将知道）”: K+ \* G! c( H# ^, T& F

! W" G1 z3 u9 h$ B6 _) _8 f' A' }" I9 Z5 z6 L) F
   如果一百年前大师被小崽一招落败是因为轻敌，那么今天我们仍然草率自负就是轻狂了。( S( Y2 A8 L, F( D5 H3 k) X

) ~: j' m% c7 c* M; D* G3 A2 M0 M8 v( }0 m/ k6 W6 Q* S
% ?0 G' j% T; E# i' i: x

" U; G1 T6 K! w  z+ [: u# c+ ?4 Y6 b
- I' z* O3 J% e$ k4 O0 Z7 |( y9 m2 v% B) _1 K
   各位，不好意思，下面的结论可能会彻底打碎您最后的防线。因为如果要保证“不完备性定理”、“不确定性原理”、“康托尔连续统理论”的三者是自洽的，必须否定现有的（阿列夫1维度连续实数）数学的绝对化的确定性。* h6 a" E" y% {' v9 d, D
( O8 L4 u. r+ R) c' c) ]

7 r6 ]* l& w* ?1 S7 W1 X   逆天啊！1 N" T7 i3 ?" q/ H# w
0 h/ J' G0 L2 v8 T) `" A& Z

  L/ r+ b5 i4 t5 g8 u" \   一瓢冷水，从头凉到脚，否定数学绝对确定性，某种意义上就是质疑数学的严谨性。质疑数学严谨性可不是闹着玩的，那是对人类量化认知最根本的颠覆。
9 u( R( Q, N' o7 S3 L! S/ r+ e, j! ^* x9 p3 [! D, i

) H% s- M7 S4 k! n2 a   我们都知道，自然科学有今天的成就，是因为依附于数学的严谨性。日常普通的语言，不管是汉语、英语或是拉丁语，都存在一词多义、一义多词，都存在语义的模糊性，都存在含义内涵和外延的不确定性。一句同样的话，有时可以这样理解，有人又会那样解读。, j. b  M! ^% S- b; o

, w, D& p" c- o: s# U3 o) h) m* h  u% \, u
   考虑到逻辑依赖于语言，所以语言的不严谨就是逻辑的不严格，语言的模糊性就是逻辑的不确定性。
* Q+ U. @3 |, ]6 Q- k  h9 }$ Z2 m# h: D$ G( r

3 I; V+ o, C- A  Y0 Q$ ^. r   唯有数学，科学的女王，为我们提供了严谨、严格、严肃的科学统一语言。任何一篇自然科学的学术文章，如果不以数学语言来叙述，这种论文基本上就是毫无意义的了。1 y7 P* W  I) C0 c
9 @: D; |: h  s1 ?2 z

5 r3 l) F5 t, }/ s2 M, x( W6 S   所以，如果有人质疑数学的严谨，就相当于向全体科学界挑战。敢于有这样的想法，需要不仅仅是勇气。如果以打到一切牛鬼蛇神的勇气破四旧、摔文物、否定历史、否定祖宗，而又没有建设性的方案，那么质疑数学严谨性的动机就难敢苟同了。' k0 E( b& w9 N; S4 W

9 V* ~' r/ q) p8 ]0 ^
( C3 K% ^& D) e! K/ o1 Z
% H' g4 D7 e5 ]7 d/ s5 X4 u9 N# A9 j- S1 V8 D( j% x
' I  X2 |# ^" Z* ~
  h: A, F; z/ f* o) o
   在三次危机以后，数学变得越来越强大、变得不可挑战。但是关于它严谨性的瑕疵仍然不绝于耳，最典型的质疑来自于冲激函数δ，它是单位1的傅立叶变换：- ]& C4 ^# ]. O" K% U! c& v

9 I; H% o( I9 B9 T( o' [% k$ X& z4 g4 }4 R% Y6 @
) t0 l* g* d% X) E! e+ E9 w) D
! M1 i1 D. S% s- }$ |
2 x( q7 ]  d) |* k. A1 X3 V  T/ t
' Z1 N: v) q, ?4 y4 U+ q' P1 Z

' `: t! w8 G; K9 y% X! G3 ?+ D+ i' N8 O* a
: C* K  q, a2 z; _" z

# Q  {9 `+ C; q  B+ ?; J/ _3 }: P   同时，冲激函数δ的傅立叶变换是单位1 ：5 ^/ F+ g( D7 S. P( V

. i7 D* d/ E8 I8 {. ^4 |8 u6 ^* R( _
; U# _8 q5 L! C3 \5 d' l
0 \- b1 B& t9 e, l# F

3 I7 H+ a% e# F) h: x6 \# T& ^% M  |9 f8 A

6 K2 w% B9 E6 e+ `/ {9 ?
* \/ G6 I  Z2 [9 c7 _3 M, \8 U) C- c1 @# m7 h

( v  r( D! {  Z" ?   形象而言，冲激函数δ在阿列夫2维度的态空间相当于单位1，其重要性是不言而喻的。" U! ?; Q# j" ]3 h* u+ |

( Z4 g2 y2 s+ |! h
9 R/ J6 |- ?' z# M. M
3 R( f. ]+ [: d3 D3 H# h0 m% s: @, V) Z: _' _8 B+ g& M7 F$ P
, m' u6 v# h4 I1 A" J
4 T0 |: z) @. ?6 K6 ?2 x
   但是，如此重要的冲激函数δ，其数学定义却是异常怪异的。它的定义是这样的：. K: a% j8 O9 A! o3 C* {
* p5 ]. f' M) _

! W  E+ U" c2 s/ w: U- B7 R) N( h. a+ L+ B; l- b% V

6 n+ [" \5 H' i! l( @( \
. C# X  \6 V7 L, z5 Q+ T6 B/ \7 [6 P$ c: e" W/ P
. ?6 D$ U  o6 D0 r" F1 y( V

  W3 K' r" ]2 T" ?% |) w6 \+ \4 l3 B4 W  a8 m
5 @! i4 }9 U3 K2 K2 ]! m6 s6 t! z
4 J6 s! P- R1 \5 S: V

5 f4 M& _5 R, q4 D; g3 O5 ^5 T
( f3 \5 ^% `$ a# ^) S3 b$ {* l; X. D  }+ V1 m0 S! ]
   冲激函数的冲击波异常强劲，一方面它让数学界异常窘迫尴尬，数学根本解释不同这是个什么东西；一方面冲激函数的应用取得了巨大成功，甚至可以说如果没有冲激函数就没有量子力学、信号学、傅立叶变换。2 X( w% S  J4 R; P

' S5 j" _7 n4 e: D
! U; j4 z# F6 g- ]3 q( ~2 Y
, M$ t' O9 X2 ]7 y, A0 L3 x7 s# L- R: }- v$ x- I

! k! j" {/ i  X* ?2 b1 M$ L+ m
  J" e# k5 [1 B+ h5 a1 Y& O! z6 [   最初，哥本哈根学派发现了冲激函数可以解决大量实际问题，不管三七二十一，拿来就用了，很好用，慢慢大家发现这个鬼东西是个好东西，你也用他也用，泛滥开来。在这个过程中数学家参与进来 ，试图按数学一贯的方式对这个函数进行规范化标准化定义，这时数学家才发现δ这个鬼东西根本无法招安。* b4 q: i7 |7 G1 U+ O( S
" Q" X' K/ d3 w6 G+ g2 l9 m: ?
& {& I$ L- x% D: ?: @3 c: l

+ \4 \+ ]' ]6 R" f* M! s, m8 S
0 }. R% i, b- q; r* v& w- I0 i0 R6 L. x# E

) Q* t" j4 z7 N6 {   从δ冲激函数的定义可以看出它非常特别、另类、异形。非数学专业的同学一般看不懂，数学专业的同学更加看不懂。
, g1 D6 E4 i* C1 Z9 V. }9 s! p0 f6 O  J7 A# z0 O8 [
' u& ?) V! c+ B0 }0 E8 H6 \$ W

8 e% k7 _8 N4 I9 b0 }) a% L5 ~- {5 l% h7 v8 q- O( {$ n
( @6 a/ w2 B( O' _  Q1 ]  @; J' Y
: y- x7 z, h# v, p6 E$ }# U
   因为这个怪胎函数仅在0点一个点有值、这个点值是∞、其积分等于1（积分宽度为0、高度为∞、面积是1）
: ?& Y* F$ N0 i& b9 h$ T  C. y' f# d( r8 ?( z8 X

# G* d: e- @& _* o  翻译成白话文大家就明白了，口水话的解释相当于：
) P1 }6 O, W& r& G
+ h- |- |4 T8 l6 H  M. Q% q
* \$ g" ^( U- V# r* @( f   ‘什么都没得’      ×      ‘无穷大’      ＝       ‘有东西’6 F$ H1 f4 T3 X! d; C/ Z. i

: \) Q2 S' l, r( \; ]1 J7 g+ o6 |4 }

0 H. v2 m. n1 K! [
# _: r! `) @# v  J3 ?% Y( l- H0 b3 N. ~/ T
. K: {7 Z* h6 {, j
   数学表达为：
/ F, ^$ f# {4 I- I. }$ c) f7 o. @5 z# i% U0 A8 S& X5 q

' E% U1 r7 ~  z* e' ?  E1 E   0 × ∞ ＝ 15 n: _4 l' y' |  L: r' K, I
1 o/ j, l, D4 c; m' M( u- D" q

# C4 L' j* e! ^1 S9 V! T7 A' \  D- v" k: a
/ I* d8 y  ~) D( Z. B' I, f, @
8 E' f6 C9 Z6 @5 b- s7 |* F
% P, O/ X7 W( h2 X) i6 s
   零乘以无穷大等于1，对于数学系以外的人而言并无不妥，但放在严谨、严格、严肃的数学体系中，它就是扎眼的鬼精灵，令人不安，恐惧。
- @$ w$ b* t8 J! x) j/ A
+ g$ U& i/ a# J+ _7 T
* G7 |' R, s) z   因为在数学系统中，0 和 1 是确定的数值，而 ∞ 根本不是什么数值。还记得上小学时老师反复告诉过我们1/0是无意义的么，为什么0不能作为分母，估计小学老师也说不出所以然。其实， 1/0为什么无意义，是因为 1/0 如果有意义将等于∞，而如果1/0＝ ∞ ，那么意味着两个“确定的”数的算术运算将等于“不确定”，这在数学逻辑中完全无法解释 。; M) ]' d3 @) ]0 A% m

9 _$ \1 J9 ?* x/ b" g* U$ h
, s! H6 m" O, Q9 s  G: r1 v   两个确定数值运算怎么能和∞这种非数值符号相等呢？
5 t0 q. n: |/ ~3 }8 H
" S5 `. n0 \2 y1 v/ U) M  x6 O7 u3 i+ H9 ~! C4 v; ~* x9 t
   这个该死的诡异的无穷大既不是具体的数据，也不是其它什么可知的实际的具体的东东。5 ?7 P! k3 I# z+ ^5 m0 w

3 N! t6 _' B- Z" x
" e7 _3 E5 g1 e; P   痛苦啊，可怜的数学家，只好掩耳盗铃把鸵鸟头扎在沙子里装憨卖傻。好在1/0的影响目前似乎仅限定于冲激函数δ，数学的乌云仍只在天边徘徊，未到暴风骤雨之时。
' T5 z4 @* p$ t8 U, d6 a! `2 o; j& a5 W% K* m3 Y" [
2 S7 _, d: f3 S8 x% |" H
2 `1 N" G0 v* @( Y; ?

% q9 N" M8 x" m! g$ J
- T3 z9 a9 L  Y# O4 t7 F- w1 C% u. G% M3 h; T

  b0 w  X* c& O$ L9 w7 J7 z0 R5 h+ G+ o  U
3 C  g& G4 u& Q9 d
, u% F- g9 B  P

0 q. e4 U8 S6 d; U9 H3 ?  n
3 ^7 ]9 c- s. Z! `, ?4 r3 G9 a$ [; ]1 j9 X- F* }' X
8 g& Q+ e- f( Z7 Q& u9 J+ z! p3 {  n
' w: j; k& O8 ~0 B: k& v
# U) w. @- c  C: b  m  O
2 Z% f4 _7 Y2 b, N( S  e
) ~2 {: K" V: c
  但是，如果阿列夫2维度空间是无可辩驳的，如果“不完备性定理”、“不确定性原理”、“康托尔连续统理论”的三者是自洽的，那么数学将面临前所未有的巨大危机。因为：
; r: W, j) r1 P; w0 Y( s7 @2 v1 a2 U2 N5 U5 T8 u) F) ^

5 s8 S+ z8 P* o, W) @' r8 x2 J   【/ U3 C) Q! g3 B, S0 W
% V8 m! K1 I1 K7 l3 k2 _! Y, ~
& p7 w% j0 S; K5 W" n! }( e& r
   如果： 0 × ∞ ＝ 1
: v% x5 _3 ?# _6 ]. R1 {% `* n; c+ T2 ^6 S

9 J3 C/ P. q  y) P( W4 m% G7 G. l   那么： 0 ＝ 1 / ∞7 A) A0 ?! Q/ _. N

' _' r9 o1 e0 ]0 w, q
/ p- D9 O, I5 ~% |+ a8 A9 o5 ]1 m, O3 k7 l/ C2 J$ L- {* X/ ?
  a. \& x5 a' ?3 M# g" y  z
9 Z1 j$ N. T5 a) b8 s1 M7 ^
$ q) |) G( i- J
   又因为： ∞ 不是唯一的，包含阿列夫0、阿列夫1、阿列夫2 。。。。。
5 `9 t+ \; {" _0 k% |  U/ o, j" h. g. E6 G* {( ~# ^

0 R7 ?# h7 g& K; Y- q8 d5 e
( q+ c* z. `1 J/ v+ m. T1 G( u# y2 q! O/ c9 }9 t$ y
4 V# D# Q7 Q3 C- R

3 j% `$ m5 G4 q5 Q, l. f   所以： 0 ＝ 1 / 阿列夫0
3 ]! |2 O" b3 \! K( I1 ~, ?) d6 i0 t! o# E9 ?. [9 @! x
3 S. @4 N+ Z# A6 n7 ?2 A2 W
   ＝ 1 / 阿列夫15 P, ]$ e- m8 e! j2 \. R
- n. C$ c" h. f3 w0 O

- |- n+ C/ @* _   ＝ 1 / 阿列夫2
) T6 g5 S; i6 p& t4 i) ^" ^$ G* X. T; T
0 V7 x8 V- z+ ~1 ]" i0 N

  O& y4 w% e9 Z: F& _* S
9 j$ V' o* t) n8 W$ E- p& i, q
" y2 i$ A( a- j: m5 ~" J; G; f6 f$ g; N. C5 ~! p/ m6 O
   .。。。。。
8 D+ Q* ]8 q3 C7 w8 l
3 c1 n& n8 u8 w4 Y1 R' V, P* s
# k) X2 V& B  E* q2 ?( `* K1 w1 K8 C8 E: \3 F# q

- h' ~1 ]/ p0 \5 z5 v3 k( H3 \
  I. c, u; z) \2 J& M2 G9 X
) M4 |- O7 C2 Z5 d# \0 ]8 ~1 N   由于：‘阿列夫0’ 不等于‘阿列夫1’ 不等于 ‘阿列夫2’ .。。。。。3 q; g6 A0 S7 M( b: l

! m6 n8 i% i6 y9 U4 J8 z+ w! v- b1 v" T, |

! e% P& q& T, w, `: A: b: e8 _7 u4 m$ a( ^  y# o
) c/ G! Q! ?- N

1 J- K6 m3 F: s: M   所以： ‘1/阿列夫0’ 不等于 ‘1/阿列夫1’ 不等于 ‘1/阿列夫2’ 。。。6 E5 a0 ~( ~' Y! d
' l4 F* V4 ~( g2 K5 T
- Q, [5 O+ `# y% q0 D: d/ O1 z7 D

" f8 D$ Q2 H* _# P1 J% C( J0 M6 P9 v
. ~. J5 P5 J/ X3 [! y: P$ F) d& `+ X. `+ q  z' m
0 k! a, R$ m& A1 v+ D+ ~1 M
   这与上面： 0 ＝ 1/阿列夫0 ＝ 1/阿列夫1 ＝ 1/阿列夫2  矛盾. q( f% Z5 |- b! G: \) Y" h
2 G% j; k2 n4 ]5 C) @  f8 e

4 `; o% |+ I0 `' P) e( u
% U2 Y- l9 t) A0 j* D6 z) M: O8 t. A* r) @6 C8 E! t9 v& ^
5 Y$ d5 n6 e1 N8 s# a0 ^
2 E1 L/ O( L# i% G: C. i
   矛盾！！！: e# |- |7 y: Z: ]  V" |
. v5 S5 b7 i( y) k8 M2 ]% p

' u4 b  Q! M. h$ A7 q8 T   】
. O" ^5 @6 I) b8 s% N8 q) i+ K1 d$ D1 q; |8 x2 |6 z: S5 \4 j

  K( d6 [* B- f" d! f) y8 {$ _9 W2 @

# W' g8 n* v5 T1 @
! a: n; S* k& O4 o1 ~  a! Q% K) u( D' }' h" O. W6 J
" W. `1 K3 r# q
6 J! Z  L  N# j5 o2 ]
8 t! y1 i, C( V: ]" C# y8 `2 n1 D! H

3 m! j: a; z+ X; t: G   追根溯源，其实类似的矛盾不是现在发现的，早在300年前就爆发了。1734年，英国大主教贝克莱发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家。其中审查现代分析的对象、原则与推断是否比之宗教的神秘与教条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书，对当时的微积分学说进行了猛烈的抨击。他说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的流数实际上是0/0,是“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结果”，这是因为错误互相抵偿的缘故。9 y* ^' `( i8 i9 h

# l6 F. o# f9 k2 z6 L( F, G: z" u/ y0 K6 i& Y% X6 v

  x' y0 j$ S  P
% M/ V. o; A! b+ M& i, J$ G" v# N/ Q) e# b+ o* E0 t- @) Y2 C* f
6 ]; W3 V7 ^' y
   在数学史上，这称之为“贝克莱悖论”。这一悖论的发现，在当时引起了一定的思想混乱，导致了数学史上的第二次危机，引起了持续200多年的微积分基础理论的争论。贝克莱攻击“无穷小”，其目的是为宗教神学作论证，而作为“贝克莱悖论”本身，则是一个思想方法问题。因为数学要按照形式逻辑的不矛盾律来思维，不能在同一思维过程中既承认不等于零，又承认等于零。
+ E! b0 J& U  f. `: Q
" T  N& y: P# Y( B- H9 w. o" `  \5 X) X6 l. P+ V; @
2 t/ M5 M/ ]8 N1 g( Y3 m
$ _4 y: D; D4 ~( S% ]) C

% M+ n3 X6 u9 R# L8 d- Q, |2 O+ @8 w+ v2 d% u
   在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？
1 q6 W: l$ ]8 \) N* q/ E3 r
( g" E! z) Y3 ^  X3 r. I
) X4 T! z& z! A* B- A% A) B
( I* q( e8 r) ~; F. z' v' O2 e
. U  }/ _2 z$ @* n2 _3 R$ B
( G7 i5 ]) }+ {/ u, [* }$ U& m2 R0 P# m. m
   无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。自其爆发开始直到二十一世纪，始终都存在着不同意见。著名的数学家欧拉就坚持认为在求导数的运算中,其结果应该是0/0。他举例说,如果计算地球的数值,则一颗灰尘、甚至成千上万颗灰尘的误差都是可以忽略的。但是在微积分的运算中,“几何的严格性要求连这样小的误差也不能有。
7 ^4 w6 u* Q3 Q# m% [; p0 D: E0 Z. x% F% U: `8 q8 R7 a
, x4 J- a. O: e* ]+ K4 c
' u2 j. o' ~+ p

$ O7 a, f4 Z6 @9 c" s2 t7 u2 `
1 N0 ~9 M$ B/ ]* Q5 y8 v, L* z' r: M3 G0 t: q
   后来的数学家用ε－δ极限定义，似乎解决了微积分中无穷小量的问题。不过这种解决是相对而言的。因为ε－δ定义极限逼近的方式，只考虑了离散（阿列夫0）和实数连续（阿列夫1）的性质，没有考虑到更加稠密的阿列夫2空间的情况。如果我们考虑阿列夫2以上级别的无穷大，ε－δ极限定义并不严密。& I7 s% z$ @, h1 a: m9 w

6 V* N9 M4 v1 [
; m) e1 m+ N! y: q, v- c
5 R) n1 B; N6 a: J' L; G" z
5 P+ q8 _. p  h  o! c7 j# E+ m, ?* M7 d' x4 u( A5 Q( A8 n
" R. j2 t3 A. ]/ [) J( o' t. N2 L
) n8 ?4 V. {" J) c) I

, V" E# o4 I) L  V
+ S" z' c' \8 Z; c0 C
8 z( \6 u; R$ F1 Y9 t, W   无穷小（也就是‘1/阿列夫0’、‘1/阿列夫1’、‘1/阿列夫2’ 。。。）到底是不是零，是数学最大最可怕的危机。# `7 M0 |+ \% M: P0 h' p

' X5 q: w/ b! l; I3 {" V3 m; r" t* c# t! g# R9 S4 w  |
% Q1 H7 o" j! O- n# Y) `, S. _4 I/ v

" H# f2 Z2 L, g. V* p0 m' |/ Q3 Y9 T5 m9 o% u# k) z7 v9 @
# N% N  m+ Y7 D0 N3 Y4 u; w
   糟透了，可怜的学究数学泪流满面、无言以对、面临崩溃、精神分裂。
" ~6 _$ q9 z+ h' u; k) N* i8 f( }  i& {# {6 M9 x
2 ^% |6 S# N& [+ [8 j

7 |0 a' W+ v5 J, v7 h
: u2 {  j# @4 l! j9 Q: }; L  J$ T4 F9 P+ |$ m* _6 w

( K! T5 y% O9 y' i) w   除非。。。。。。
! O1 b3 `( x9 D7 |* e0 O+ s
# w( R  V) ~' E

sunsong7

6.4 可容误差ε
$ Z& ]! l6 P! F+ ~% m  h, G3 o9 ?
8 `: l$ U9 Y& Q* ?( X, \4 Z6 Z& f7 D! b: T( E
7 ^2 B9 C/ P6 S$ d

  Q" Y/ W) u, Y0 p3 L% I, x$ f+ x" d5 i7 n) M) v2 E* }; ^8 Z- s  m
! K: Q) D; @% }3 M# y- g* O$ V
　　要避免无穷小和0的谬误，唯一的办法，除非我们改造0 ，重新定义‘零’的内涵
, R4 j; [7 a0 k0 @' M, [& ]& u, v6 Q, f) [

( D! R' g- l* f3 [4 i$ ?9 C$ D. X　　比如，定义：
5 v! r6 n4 n0 {0 b( C* G/ V: m0 e3 s
& z. E: d0 a/ B0 s
　　零0 ＝ 1 / 阿列夫0
: B7 u& T0 w2 v. n
$ L: L$ S! G" \4 P" @" x9 N+ j$ E# ?' |7 i4 Y* v
　　零1 ＝ 1 / 阿列夫1$ Q& A! v# {" L* |+ v
" e  E. a3 b+ X2 _$ N# p8 G
& f% n* m: w9 [7 L4 G
　　零2 ＝ 1 / 阿列夫2
$ V  R% }5 z7 B' \; J$ [& F) S" p
- Z6 M$ p# p+ ?) M2 w
1 E# s4 J5 m+ T　　重新定义零，把0看作可变量零0、零1、零2.。。
. E. p) _+ T3 L3 U- z
& {; ^! [( ~; n8 O0 z& G1 g9 g% K  g3 N8 j

5 p" n% U. f& e
  P0 u3 c0 Z: C( r2 T" B+ M
8 b' ]' z) g  v* G$ a; G2 n" I7 i" t7 `9 R0 ?
　　把0看作某一群无穷小量的‘统称’，而不看作一个‘绝对点值’，需要很大的勇气，将面临更加严酷的挑战。因为0是一切逻辑的基础。& I$ \8 d/ R" ~. N4 M" N5 y# ^

$ K& q5 s2 x* x; q% w9 w8 U( j  }6 k1 n! F/ k2 p) N  M6 H

+ a* Y" A0 C0 Y, V6 |: k) G4 Q, @' D, q
1 b7 C  Y) R. c2 q: {$ A% V% h! F
; y7 e- Z3 r$ @, o0 r& j
　　如果我们说 A＝B ，隐含意思是 A＝B＋0
1 s3 r6 C8 N9 I5 ]: W% R2 y' g
8 f- `  b, c  |  c: x! o5 t: ?# p# K' I7 q0 k- c. b

7 ^0 Y/ Y( o; z+ s! G7 C/ u* w: F
6 C. j' V  U4 S! a" U2 B6 C
, p8 |; W3 |* y- N! H+ A
1 n( o' D" _  r
( _4 q# ~+ L( g5 f+ ^  d# A! Q

# H& A9 _- P( v' J
* J% U7 y6 ?# h- r) J/ s: a+ H7 a
8 K) Z# b2 G$ Q( b* }) Z" a6 }6 x
/ f: ~7 [/ `4 W6 E4 P/ [& p% t: _2 }' R, p3 [- E. S/ J

4 T: v# e' ~, h, @! J' m% |4 Y5 A  R

  Q4 v; L6 i. T4 l+ {1 z8 C* Z) Z* |" U1 U5 d
6 N5 h+ G$ K3 u1 m
　　不确定性原理中当△x△p=h/2时，x和p变量间存在不确定性，但如果△x△p=0，则x和p变量是确定的。这似乎指出了一种解决数学危机的途径。% c" O* ~5 E1 ~

2 [8 X/ X( m2 `( e% d/ @7 }4 N0 z% d8 [7 W/ y- N, K' \
) s! N3 w& c, A8 T$ q6 R% G

, u  Y( L4 o, m# N; W/ X. H
$ R; O  T7 G8 B& n/ P4 h- e# n, l; D7 l, Z

- r8 h; d1 I' u% }5 a- @1 `
/ ]+ M! N$ Q' {; F4 C' e
; n/ K( i' Z7 k" X7 m- _) @& y+ C- D# S1 G. J
- ^1 j, i9 B% C
5 F1 f) G+ |+ z' |. o% r

9 c8 Q8 Y, i; \, i4 h6 L5 ]7 U+ m

8 ]7 y% c' w8 @! \. g6 {/ b$ Z! U
: u) C3 U4 d7 m; I7 s, C. a' P: ]& A' u" Y: m; S

# o7 @  B4 W3 L* c" \2 B. e
, j' A( u* K6 X0 F: z2 Y7 M: I. [# H0 b- A
" }5 I- q% T" R7 \
8 N7 w- b1 \1 n1 H4 H' r
　　如果有网友以一种过于休闲放松的眼光浏览本文，可能不能注意上一节关于0的悖论的实质。上一节实际上是告诉大家，无穷大和无穷小概念并没有什么不妥，分级的无穷大和无穷小更是可靠地朋友。数学的局限性不是因为微分有时是无穷小、有时又变成了零。数学逻辑中真正的问题在于0，实质在于0，我们应该真正关注的是零 。
3 F% ]2 h! ~' s" R, A' U- Q0 `3 C* G/ f" r
  Y2 H: c2 w* U( d8 S
　　0 的概念有问题！！！# d! v" a% p% K1 x: {6 |  n
! K! H" b+ l7 {; q2 t4 ?/ J, |. F

+ _( P/ u" X3 p9 d8 ~1 y4 m. e% g8 U- g

# N/ B" T( Y* e; x! E" o  }& z2 A+ d4 d: ~! i
' u  t6 k' J' A. N% l7 ]
　　一直以来，大家心目中的0是“绝对的纯粹的终极的什么都没有”。
7 R! s* o4 U8 f% V; i. I6 |$ j
! l6 j5 }8 _$ |4 y  r# V+ |8 Q! V  `  O& m* C" n4 W! _6 r
   实际上这是错的。
2 r/ s1 z+ C4 h" b
) }! }: ]2 R, r3 m8 K1 k1 x1 N, ~! ]- M0 j6 T2 t
   如果我们仔细分析，会发现世上既没有绝度的确定性，也不可能有绝对的逻辑‘零’！2 J0 K) I' s2 \4 u. ^0 {
7 A  n3 `# |. u6 n. K* x7 _4 W
! T& W9 L/ a5 Y+ ?1 A* ~5 N- N
' i% b# Y: }6 J' r; u

0 m2 x7 a+ X& O+ z1 N, I, F' G
0 U) R& k' C0 A
# T! K( Y" n- t$ B$ S, _　　首先，现实世界中并不存在所谓的“绝对的纯粹的终极的什么都没有”。一开始，上古智者们认为空气是“什么都没有”，遗憾后来发现它有氧气和氮气；后来，又发明一个词语‘真空’，说它“什么都没有”，现在我们知道它充满了电磁波和宇宙射线；再后来，真空中有些漆黑一片的地方既没有发现电磁波、也没有发现宇宙射线，有人以为那里应该是“什么都没有”，不过相对论推断那里是黑洞，黑洞里不但非空，而且质量超级多多。。。。。。
2 p  S1 k% |0 V
; N! L6 h' w5 e# @3 h) j3 j& B4 C
　　其次，在数学中，如果坚持0是“绝对的纯粹的终极的什么都没有”的观念，那么永远解释不了无处不在的δ冲激函数，δ冲激函数告诉我们逻辑0是某种级别的无穷小，而这个无穷小并非“绝对的纯粹的终极的什么都没有”。并且，从傅立叶变换可知，波粒二象性是根本宇宙原则 ，每一个粒子（占据点位0）都伴随无穷无尽的波，波exp（ipr）无处不在。
# T& |% y% w9 p: b9 ]+ K+ v4 b0 J. [  Q2 |/ x8 e3 L$ g

+ P1 S: E0 `! H& e% f/ S3 z' n: {  H　　最后，更重要的是，放弃 0 是“绝对的纯粹的终极的什么都没有”的观念并不会出什么问题，我们很容易发现，采取“相对0”替代“绝对0”依然可以确保逻辑的严密性。
0 X: G8 l$ m$ C' S# N" g7 H0 O. S4 y: i( g( z& a& ]

" y1 t) Y3 o8 t+ I' g" }( q- n) ]
7 C4 v" U( `5 V8 N# j2 b& I4 A% [, r1 `! l9 |/ @/ r9 G
# K. D$ _$ K/ `, w9 r" w) ~0 @' M
, M2 [. [0 ~: ?4 N5 S& _5 L
$ Y4 _" J4 {2 I3 N% O

9 I! x. z9 q  E% B" V
5 S7 `. ~" i7 ?" O6 o9 @6 m6 l% O4 g- }& Y6 c
　　先来看几个例子：
3 j# O6 u0 ~5 v) c& F2 N$ r0 Q$ ]: a: ~2 ?

' B, B' R  z+ H. H4 P/ d, @　　如果朋友们想换手机、数字相机、液晶电视，最关心的应该是像素，都知道像素越高图像越清晰。毋容置疑，500万像素比300万像素分辨率高，800万像素更比500万像素清晰。但是，无论像素多高，哪怕5000万像素、8000万像素，如果我们用放大镜看，一个个像素点构成的图像依然会出现锯齿，依然是不连续的。
& w& f; X, d; n$ \( V7 Y" {* A4 C: @. [5 V5 p/ r8 K

7 E* B3 _1 r7 s  s
$ t% x, j; _- ^; K# o, X* D5 Z3 K' l: U+ d

* S: O. b2 n2 f, t. ?! a! ]# |, v! f/ w4 w2 W% l' q
) `: C0 _8 g, }
  v8 `# f8 W5 V: w+ m
0 }! t3 d9 p8 U5 {- {& v

( E3 I/ s8 v" Z: o' r: }+ Q7 z& J3 e* a$ r
, }# F8 d( x6 O$ I
: d1 P$ @# H8 N+ S' L. Z- l5 {  e

. V) C' A0 R9 b   那么，是不是因为不连续，我们就说图像不真实无意义吗? 或者，为了得到绝对清晰的照片，是不是我们需要500亿像素的照相机呢？& x( Y0 w7 s& _* F3 e
3 G# i4 Y" x! U+ W3 {) F

1 I) D2 _- m) @8 [) F　　当然不，因为日常生活根本就不需要高至500亿像素的清晰度。$ \( i! G" \! Z9 a) @$ p
0 s9 O, v; Z$ U: i, O
+ t4 s. a* s, r; a1 u0 j3 _
　　并且，如果真的500亿这么高的分辨率，可能看到的不是美女的图像，怕是要看到她皮肤毛孔中肮脏的四处乱跑的螨虫了，那时高清晰可能不再是赏心悦目而是恶心了吧。# _/ K* y! p- Z. g2 `- q, O
( h0 ^- C: J7 k

+ v' P2 }- i! r' Y: e* L. G
& E$ [+ X0 U2 V
; X/ f: \! T9 B/ r+ |# n! ^: d, O' j
  l. [% R" _! R$ U  K4 Q) `/ Y" Y
　　况且，理想化的“连续”像素必然会带来不确定性，就像前面说的英国海岸线不确定性现象一样，越来越高的分辨率将会让人脸的轮廓一步一步显示出毛孔、细胞、蛋白质、原子。。。。。一片混沌，最终什么也看不清！
$ t; o% k+ _# I  d, Z% W; a) J5 [3 C" D" ]: J. H( I

& |6 J- A+ F: w　　很显然，日常生活根本就不需要高至500亿像素的清晰度的照片，更不需要“绝对准确”的照片，况且所谓的“绝对准确”的照片根本就不存在！, v5 U, P* u/ l& q
+ b' R+ X4 B; D5 `' e
. D3 k4 v2 S5 R, c

' T) N' ^" ^3 Y9 A8 A7 o) d+ @4 `  n, a2 k, H; ]  F& w$ a# Y

" \) D9 y- J6 O) N: s. T! F+ h. L# d5 Z; C' M% h! X0 D* A* X
8 W. j4 e! Q( c' a" ]
7 c- P$ O. Q2 r' t
1 g: G$ D% D' Q( o$ v
) F9 v9 s9 F- Z9 ^
( y( ]2 }0 l  j" U4 N& a2 ?4 Z. E
) d' F7 P0 I! r9 I0 I' S- ^3 b
  X( A% t4 }! |% i8 h% I; H: e$ h& q

2 D2 E/ G6 ?0 D7 j& }9 ], l! n　　另一个众所周知的例子，是关于电影胶片的帧数。我们去电影院看电影，震撼于画质的高清和动影的冲击。其实看起来连续影像的电影，胶卷并不是连续的。对人的视觉来说，每秒钟播放24帧图像就可以感觉到连续的运动画面，电影采用的就是24帧的方法。在电影院里，我们不需要“绝对准确”的动感，因为人眼永远无法判定“绝对准确”连续动感的真与假。电影剪辑只需要更换有限的几张图像的顺序就能搞出蒙太奇的效果，就能轻而易举蒙混大众的眼睛。大众的眼睛不是雪亮的，虽然我们具备一定的判断力，但生理能力有限，判断永远不可避免会存在误差。
0 _8 U* U/ w8 ^! Z4 s; y. W* k" H  K$ A

3 i/ J3 G7 P- H" T- R
! M" L6 G$ }3 Q: @, x; E7 }
) e, y5 y5 ]5 c! ], i" [: Z  h0 i, I& m. [& }+ k
$ S; X0 I& b9 g: y

$ J) G: c1 \0 Q* C. Q$ U# {" j
7 q! }9 F' c- N) E; h, ]  h
0 _4 k. i6 b4 y/ U: i4 b* B- M; B0 W! E, ~! w/ T2 h
　　4 E: ^# M: A+ Y/ {4 b

8 z& _# o8 c1 i/ G2 x
) m+ }2 S0 j4 f! Y* V　　
  e2 o6 e" B" P" l3 h, ^/ ?/ |: L% a& f- q8 i

! j3 w- f+ j0 J4 }4 `　　　　还有一个例子是关于直线和曲线。记得上中学时数学老师为了让大家对曲线的概念有个直观的感受，请同学用剪刀剪一个圆。有个同学剪得很慢很耐心，自然，我们都认为他手中的圆几乎无懈可击的非常完满。但是老师说这个也不是圆，所有的同学剪出来的都不是圆。并且任何人无论花多么长的时间，也不可能用剪刀剪出一个圆来。因为剪刀的切口是直线，而直线无论如何也不可能和曲线吻合。那么，因为我们永远都无法实现直线和曲线的吻合，我们就不用剪刀剪圆了吗？现实生活中，我们不但仍然用剪刀剪出圆形，民间艺术家还用剪刀剪出了形形色色的窗花，栩栩如生！1 w* D' \0 ~, f4 W5 X( Q& {
" m$ ^1 t- m/ b
* }2 V9 O! f& C$ M, M! r) A- G
/ c3 Q2 U  N4 u/ S# }9 N- `

, {& b7 O2 I. g9 C% M5 |8 X- w
  y' Q- w; `' Y& `, V
4 N3 t! V2 \( C6 b$ c4 O/ {
5 ^9 L& o. a/ V/ q( H2 b
6 }$ ~& e, }% W. u5 L" d
* U& G( R0 _% x8 `2 V- I, y! h- H) d; Z. x4 V
, i2 ~+ z& l9 F! w

7 ^: T7 E) e% u6 a& [3 ]
" S8 t" _: d, ^0 C9 f% F5 ]( k* ~/ B- P6 o/ E

+ h# V4 l. h( P5 n" i+ b) Q8 L+ E, H( |0 t7 o1 M  g% T6 p

& \' Z+ L% K' j! Y/ T9 W% V9 B2 I) ]. y2 x5 _
　　类似的例子显然是多不胜数的，在人类的日常生活逻辑中，不需要所谓的绝对准确，只需要差错相对较小，过得去就行了，并不导致谬误。& ^' C, Y3 Z/ B

7 Z, R' m* {& C9 }8 v
3 C+ [8 q. ^8 `1 ]6 j   比如：
2 a3 V! l( M7 @' N$ X
! Z) g3 J  }; ^3 l: S6 n8 {  R/ e' g* q4 ~2 ~2 |+ k) z2 ]
   【实际情况】（尖石头 ＋ 一点点废料） ＋ （木棍 ＋ 一点点废料）   = （矛 ＋ 一点点废料）
1 L* g: v7 X" n9 X5 R# m% I/ X% e% n2 u7 h: g

* J! c+ P6 ~: _1 @6 A   【理论】 尖石头 ＋ 木棍 => 矛
1 m$ f4 z; \  `; S; s* s9 _
! G- E3 C4 k5 E* `' V2 O! t: h2 j$ L: w8 Z7 \; F2 l$ u

! A2 C( K2 d" o8 u' M% `( `/ Q% y) r5 L6 G/ d! Y! Q1 O" h
/ q9 C: F: w5 J9 Q/ _  `( A* E

0 t% E/ A, E& Z. m  l! s( ^ ; }! q" s. `! H! L& |' S

% I1 t% J1 b$ R9 ~* P1 A# O! f6 G; F5 ~
; P' Q5 j+ n! V! i" c" O
! T9 E3 U' R( U: b8 I5 a4 `
  l: V- p7 k: A* Z. @# U, @) O0 }
6 r0 \+ a7 s" t" @. s9 t- F

+ @/ r9 S1 A2 ?( T. D1 a2 X7 @  v) E* r* g
. s8 L" `2 J+ J* n
3 L3 u- ?0 |  _' C3 x3 q. l- @9 t
  实际情况与理论总有一点点出入，有时这种微小的误差出入并不见得会出问题。3 E2 U, b4 U& \  s9 T' Z

6 \+ P/ t9 R. e$ \" |2 h: I" P
. _8 q* Z+ M1 F; a( ~   这种不会导致问题的“一点点出入”，也就是可以容忍的过得去的误差，术语叫做“可容误差”（为方便叙述记为ε）
/ T, f% @4 q$ S/ P4 f# k2 x3 u7 h" q& x) D' O
# O, r- z3 R% d3 w

% ^! D, B5 v. C/ \9 k2 A( [, A1 A5 G
7 b7 Q0 A5 R% X
- w! x6 M6 w; y2 b* h# J" ~. F
   在严谨的科学实验室里，也存在误差，永远存在误差。# x: L6 W1 A" B. t7 m8 g

; ]5 H; L$ X& x* Z; u, ^/ M* P3 d2 b" N. T9 q: w% I8 Z! F
　　实验室的数据分析中，) h: M" O8 N7 y2 ^# {# A

3 z; M2 U% @6 ~3 O/ [1 B
* X8 A- u; t7 E; V9 m　　如果有： A = B + ε
) c0 w& `1 w" C, \" p+ D/ h3 E7 Y' x& X+ T

4 Q8 |  ?+ j4 \7 c0 K( z) P* R　　则意味着： A = B2 e; c1 E* V1 @

( A: m+ `4 j0 P$ x7 M- S1 g/ ^0 g7 t# k7 s: z  t( g; y

  R* E7 x1 l3 g8 Y' u$ B1 j" K8 [
" o/ c: a7 p, h' y- h6 v" C& |2 u

0 ^1 n; g$ L# Z8 {5 [# P6 `4 {2 U5 M, O7 m
, S8 _" ?* |2 w% w
3 U9 n; Q9 M6 F% ?  i) `

4 E$ [9 Q9 ]- D  O: C0 y* `' C) R* x( ]: J2 k# [' C( I

, w# p4 Z5 P. }0 s; S; }' v4 `2 D4 h5 s: `: t3 Z, Q

, R" x$ R: K. J, E# O
! d0 |- U2 F0 g# C/ U9 `7 v
. i6 @2 P( f# d* {- x: z
! b1 K$ }/ M- R& G
; x8 L' N6 M: P
$ B) ?% `" Z. [. J& k, h% @! f$ A9 V/ Q+ D, B! E7 R

7 T! ~% z; F2 R6 w
( z' N  |7 Z  C' y  j: o* w　　“可容误差”的概念不仅仅在现实生活中、在实验室里相生相伴，而且即使在严密的、严谨的、严肃的数学中也处处可见。比如微分dx，比如ε－δ极限定义，数学中的ε代表某种无穷小量，注意ε的概念并不是“绝对的纯粹的终极的什么都没有”，ε代表系统的可容误差。) y  l4 `% j8 O- u

  P  l/ ^5 z6 D! m+ w' M+ x- r. ?
0 F" ^6 p& m0 m$ V) y/ P　　也就是说上面的‘可容误差’逻辑并不局限于实验室数据，它是普遍的放之四海而皆准的逻辑！( Q4 b8 P( s( M  P5 n3 T5 b

; l8 v3 d; m; f, W+ T! W: {# [3 p' t% u! g+ n

. a  Y# l( H( |4 O. n5 d+ `. Q
/ f/ w. }/ G8 W  O- v, G& T& A7 o5 U% r& ~# F
; [( ?  S" Q3 s& j5 g
　　如果有： A = B + ε2 u* F5 Z) k/ r1 N

2 p4 j) \& t7 N+ D) A) Z1 Q! A4 j8 O1 |  T
   则得到： A = B( v* m# U& p' f. y. c
/ l, I& D- c7 {" Z1 l. B( B
4 w" {: h) G/ A6 v! j1 h

" G; }) z5 }/ F$ F0 l$ I
9 A+ }6 E# F+ T6 c) c) N7 q3 u, d8 u; {& Y( u

. j" U2 Z; k+ _+ Q, B　　请注意，“可容误差ε ”在逻辑上对应的概念正是‘零’。
- V) u: e0 [, }
4 r- E2 g1 f& P/ a) ~+ z6 p+ H- v: M
  z7 q7 }! m: Z2 r$ W6 F, k　　从上面分析中我们可以推断出，逻辑的‘零’并不需要保证“绝对的纯粹的终极的什么都没有”，而只需要保证为“可容误差之内”。
  j/ q9 H4 d4 M+ U9 O4 [
) Z) k% k4 G& m9 X& L, J, S- e) l
7 n; ~, h& [0 _6 ]8 q! l* \) P. h* ]
+ u. F+ ]8 c* a- o
% I: r' c( x6 d6 V7 [

3 y: m  R1 Y" Q3 F( m7 v( y, g5 V1 M$ a6 V$ o3 T* ^7 d

) O0 t+ E3 M  C. r5 H% ~# h5 n1 R4 }5 |1 o$ U

4 x+ Z9 X: X0 R% ~! X
& ^$ j% H( K7 `- t/ e( T9 Y9 x
" o" J5 a4 U% H( L  ]$ Y) r: d" Y; H

& N( z+ Z! _5 J- x. s$ V/ }   更有意思的是，在阿列夫2维度的频域和时域张量空间中，对频谱数据的取舍，能改变时域模型的精度。
! H1 d5 v' y/ X# n9 O
4 @3 P2 F. x- s! C! A$ i
$ |0 u' q1 G8 W1 x   以低通滤波为例，矩形函数在频域与实验波源的乘积，可以改变时域图像的光滑程度。8 `3 X. X4 C* @* n
  E2 n1 ]: Z/ n

9 O! ?, g4 G) J) j
- i. y1 J# g1 J' B7 u; ]6 }* C% {" d5 j
/ z: k. m1 t; A+ y6 c7 X) @

9 I$ _4 d6 U$ j, f+ N5 u- X$ S  z" U   实验数据，时域图像包含了高频杂音：
: A* G8 J0 g( `7 ~( u+ \# @. }
3 r6 [2 i( r) s
* Z2 H$ X0 a0 x: h1 P8 Y- {" b# E- S2 {# M  T
. H0 w  {$ j+ p" G- u" S: j$ |

$ h5 N/ q% P( o2 y9 m  }" I6 A: W/ h6 R
1 m( c3 @5 f) o1 S: U: `- n   频域滤波频率40以外的高频，时域图像杂音锯齿消除了很多：& {! H! p; A" K" a1 u" W
3 P) I' }& o" T/ X$ U( j# x6 a- b
/ c" V" ^3 z% g

( V) G, J0 W, r; Q! q' J6 d% @; x+ ]6 l# ^

& q) D4 K4 u" g& |8 U& K2 q' T, K2 j% V9 M
   频域滤波频率10以外的高频，杂音锯齿基本消除，时域图像基本光滑：& A% e5 Z8 E0 Q+ U  Q4 U
) m9 t- M7 w  U9 M* u& B$ f
6 H+ P: [7 d- h! E$ s+ o9 V% r: Y0 s
6 B5 F2 B& m- L

2 ]* k* W( Q; t) [. b! r6 L- p# z
" Y! k. i; G5 H$ y$ t) d; ?' |1 C: F
   % X+ i. J0 _3 ~3 S$ b" K# r
- @: o* W* e5 c& z
  ^. A% U& x" L8 g. ~- C4 z8 S0 m, [
   这里，以矩形函数滤波原理为基础的传递函数H限制了杂音频率，充当了系统精度质检员的角色。
7 B& x; c" q) ?1 j7 @! T; W2 r, |+ x6 N& ^( Q7 S
8 \  n' f9 E6 t, r

) G8 r8 p. C/ l# C6 f! Y+ Z; l+ ^% T) q& t& V: c

$ l! T2 }, V7 S! n9 [
7 o# R! f# G$ U/ Z7 @9 ~9 t+ ^# x! _6 n+ n/ a8 k  I6 n& P
' Q+ m; j! [# O4 E! z  \
. U, }( S6 J' K% [$ v8 U- t

- i" a1 G6 z6 c7 G7 E! @/ W' M5 ~( k& T& I! p

7 X! z# j& A) O, N. @  f4 ?5 o
1 R- Z4 H3 F0 }8 H7 [& W2 Z; K/ z% E* i0 z. v0 p

# |' b, Q. V5 x9 }
& o$ O- Y5 X- _# U$ j2 F6 l3 \3 \( {( J
7 w! I6 n4 W2 Q; T! G, h+ f

. m9 F8 d# I5 G: |. f9 M. d( F+ U. l2 g  M- J

2 R! \0 e2 ^: T: J! \& a2 S5 ~. K* M: s! N9 K) ]8 u
　　不知道我的表达是否清晰，再重述一遍本文的推断过程。因为无穷大存在分级（阿列夫0、阿列夫1、阿列夫2.。。。。。），所以不可能同时保证“绝对的纯粹的终极的”完备性；同时因为存在无穷小的分级（也就是‘1/阿列夫0’、‘1/阿列夫1’、‘1/阿列夫2’ 。。。），所以不可能同时保证“绝对的纯粹的终极的”确定性。) Y: t) `& T7 Q1 b  K6 I$ h- \

1 E) I$ o! x$ N- ?  E4 ^! F4 [7 M) }' y/ S, e2 ^' Z3 q
   所以不存在所谓的“绝对准确”，也不存在臆想中的“绝对0”。( m: X6 q+ @. W+ H' ]$ N5 A

) J* u/ n  O9 O4 M  u9 m. U% r/ c* _
   一切逻辑概念中的‘零’都是“相对0”，‘零’的概念只来源于系统的精度，‘零’就是系统的‘可容误差ε’ ；不同系统有不同的精度要求，不同系统有不同的‘可容误差ε’，这意味着不同系统有着不同的逻辑0 ；零由系统精度确定，精度不同的系统所要求的逻辑0不同。6 K4 b: L7 h; C' u( f8 D/ ^

% Y' P! H# {- M( T' K0 U9 P7 S1 m0 f% \

" @3 C' G2 v! E) z2 s5 M6 V' b8 y# u7 E& M" Q% H$ J# e. e

) P9 ?6 K$ F$ t* a$ ]) G( _: _* ]# |  [
' ^9 C# Y8 R6 `0 K

* t) v, L) o# t% C- g- Y# ~# T' w, v) s' }% T

  D: M/ z, I/ r& W2 g) O2 w& r, H7 M3 x

0 ~* v5 j" {: D0 q7 w/ ^) \% L. a7 g; [* q- k2 J
# w! o8 K, f  v  g- h% c/ \
　　必须注意的是，不确定度和完备性的判断可以保证这种偏差不造成谬误。
- ]! G# g; E, r1 a5 E' [5 U+ Q' z+ m/ u
# k! R; b6 c; u" I3 w
　　不确定性原理中当△x△p=h/2时，x和p变量间存在不确定性，但如果△x△p=0，则x和p变量是确定的。这似乎指出了一种解决数学危机的途径。& H5 a3 K2 X, y

, J; W" w9 }5 G2 V% E' B1 q% `* C( I
　　基于不确定度和完备性的逻辑对偶关系，我们发现‘空间大小’与‘可容误差’存在对偶关系，这就像无穷大和无穷小的对偶关系一样。1 L* r1 e8 f* F

1 P2 v8 `4 s4 C1 F
/ r: O0 {3 G: @2 i　　一般而言，我们总是先确定所讨论对象的‘空间大小’（特定范围、定义域、问题背景等等），然后才有‘空间精度’（可容误差）。
! j8 A  C1 B+ X# n5 N9 X& x, W/ ?% d* F+ r' O
$ D" V* D4 E* u  s! d

! _: Q4 ^+ e6 z% Q- N2 s) X6 F* n, u& B& C1 J- w$ j- N

2 p7 u9 Q. r) e; v& S  O) p' g
; E- d2 j0 \  I5 a9 k2 U/ B   比如，连续实数（阿列夫1维度空间）的可容误差是微分dx，相当于‘1/阿列夫1’，所以一切小于‘1/阿列夫1’的量均为0 ；
. Z. c, R* G$ I) e* c5 x6 h
' {1 |; r) D( `* F- Q# H6 R" J2 Q% s3 s4 ^
   但是，在量子态空间（阿列夫2维度空间），可容误差是‘1/阿列夫2’，此时小于‘1/阿列夫2’的量为0 ，大于‘1/阿列夫2’的量当然不是0 。* c' A! \$ s  x2 ^/ f

+ r4 s" p! s+ a) p3 N+ j
' j- `/ N3 z5 K* I. p( r9 }, |
" N8 B& k8 E9 R, D5 Q; B: q+ m+ `
3 V1 J( J1 d) g+ I
5 y. O* u! F* t4 f+ k9 h: c  X  m4 h" d: p
   基于此，可以容易理解冲激函数δ的含义。
% G# `2 J, @" w8 R& s1 V6 |) g1 m' ~; N

* X7 g0 X( C3 J4 l* @' N   在阿列夫1维度空间，冲激函数δ在直线上占据的点位宽是dx，因为dx占位为0 ，所以冲激函数δ宽为0。
+ m/ w9 T' f0 C) ]
$ J  P3 p' _$ v" V6 j" f
9 {3 @4 Q, H- k0 q7 j, s6 x& m1 E   但是，在阿列夫2维度空间，点微分dx（相当于‘1/阿列夫1’）比‘1/阿列夫2’(阿列夫2维度空间的逻辑0）大；因为此时点微分dx比0大，不是0，所以量子态空间的冲激函数δ的‘厚度’并不是0 （冲激函数δ肚里是有货的），所以阿列夫2维度空间的冲激函数δ并不会产生 ‘0×∞＝1’ 这样的逻辑谬误。3 Q6 B+ L0 P  |% `6 `
  }4 B; H, ?$ T6 h

sunsong7

6.5 是与非
5 y5 f/ {7 z1 C1 w2 A3 M4 }
2 S1 Y& V7 v* N9 C5 j2 V( j. F1 g/ u

5 i" K, n- E% j6 `, Q, D# @' _% I: t2 W. L

  V) P6 \1 m  E6 M9 w0 T# B) o: e" }, e
   中国历史上有个著名的昏君，叫做嘉靖皇帝。中国昏庸的皇帝不少，但是如嘉靖般荒谬的却不多。“嘉靖嘉靖，家家皆净”，嘉靖的臭名昭著是到极致的。他残杀上千宫女做药引、眼睁睁看着老婆烧死不救、到死也不与两个儿子相见、27年不上朝、靠占卦过日子、天天食毒妄图长生不老、豢养贪官严嵩等等，等等。1 z( S$ m/ w' \: m
. S2 r+ p5 y9 l4 a( M' {

' j7 d: x0 {" n; D" v4 o   究其根本，嘉靖之所以闹天下奇闻大笑话，因为他有很严重的精神分裂；而他之所以精神分裂，源于他初登皇位的一个重大事件。5 k6 x+ q4 ^) b- @
/ }' q* c$ I3 y5 _6 }# v. a/ ^

5 |3 L) M- e2 g, b
& v" R8 v( `9 A+ k( i, n
% t, }+ d4 w$ [& Z8 H8 o9 P2 a8 F- Q* i  `7 H; ]
. v5 n& S6 n8 c& ]/ S! R3 M
   相关故事是中国历史上鼎鼎大名的“大礼仪”事件。
; f  j$ ?) b: H' @8 n
/ }+ ^9 v8 F7 z8 {3 p4 Q8 l# {$ X: i5 X  u
   嘉靖的堂哥（正德皇帝）意外身亡，正德皇帝没有儿子，按照宗族排序，嘉靖被选为皇帝继承者。大臣们援引古例，请嘉靖皇帝称孝宗（是其表哥正德皇帝的爹老子）为皇考，改称兴献王（嘉靖的生父）为皇叔父，也就是要求他以伯父为父，以生父为叔父。这样合乎传统礼仪制度，是国体礼仪，是‘大礼仪’。大礼仪强调：‘国’优先、‘家’其次、‘个人’微不足道。既然国优先，继承大统的宗社大礼仪，是必须放第一位考虑的。根据宗社大礼仪，首先要必须严谨计较嘉靖继位皇帝是继谁的位子。根据宗社伦理，他应该算作继位孝宗的位子，也就是相当于嘉靖过继给孝宗当儿子，这样嘉靖自然应该称孝宗父亲。大臣们认为“大礼仪”争论的不是孝道和君权,争论的问题是皇帝世系的稳定性。坚持“大礼仪”就是坚持国至上的大道理，就是坚持国之根本，而坚持国之根本为国尽忠是大臣们梦寐以求的‘大忠’。所以大臣们顽固不化始终坚持“大礼仪”，宁死不屈和皇帝死磕。
+ R" W0 t: A$ M2 ^5 J! R  z8 h$ D6 V+ L

5 _/ ]; e3 {, ?: |
# V; U% E4 K+ U9 L# ^' k
7 f, k1 H9 P+ |, @0 U- j7 i3 l3 E8 K7 p6 x6 g

2 n# ?5 Z( ^/ E" S   但是，从小没有经历过紫禁城惯用的国礼理念的洗脑，偏远山区外藩领地民间长大的，年仅13岁的小嘉靖哪懂得这个大道理？小嘉靖一听就懵了，哪有叫曾经朝夕相处血浓于水的亲生父亲为叔叔的呢？哪有叫八竿子打不着素未谋面的表亲伯伯为爸爸的呢？这是什么乱七八糟的规矩？民间道理可不是国优先、家其次、个人微不足道。一般中国人思想中，‘我’的概念象很多个同心圆圈，最里面是肉体的我本人，接着的外一圈是妻儿老小、父母兄妹，再外面一圈是七大姑八大姨等亲属，然后是血亲宗族。芸芸众生广大百姓的世界观中，亲疏远近轻重缓急的标准正是这个圆，‘我’个人即圆心、‘家’包络着圆心、‘国’在圆的最外面。今天我们知道，这是自然的人性体现。也就是说，相对于明文法典大礼仪规则，现实世界起作用的人性道理规则是截然不同的。在天真自然小娃儿的道理世界里，‘我’优先、‘家’其次、‘国’在最后。家比国重要，是本能意识。百善孝为先，这错了吗？一般人都情不自禁要维护父母尊严，嘉靖了当皇帝，更急迫维护父母尊严，难道当皇帝连亲爹的尊严都保障不了吗？嘉靖当然不愿意疏远亲爹娘，去顶礼膜拜故旧权力的过期魂灵啦。他当然接受不了所谓的大礼仪，毅然决然，发毒誓即使不让他当皇帝了他也绝不同意改口。在小嘉靖眼里，爹就是爹、娘就是娘，天经地义。天真无邪的小孩自然不理解所谓的虚妄的‘大礼仪’。1 c6 R1 e. d7 d: m5 N1 C1 ^0 [" E  J
: `9 x- B1 x- E2 J' }+ {: g
8 E; W& |3 P2 g% E+ ~8 v; J

# y# X5 ^  v! r- `& e2 S" \/ a3 t# ?5 B( V

& |: h3 p2 T% U- K
7 D+ i9 r9 Y' \! d- d   大礼仪规则是‘国’在‘家’之前，而嘉靖潜规则是‘国’在‘家’之后。这是根本矛盾，不可调和！, q  b3 l. j0 G# T
% R+ h/ k" w" ^, d% C/ e. D$ q
) w5 ~: [: _7 l- t

* H/ |' }+ k3 P5 Z2 Q3 M( L4 W" F% J4 v
# s( a9 Q0 A5 T  j" W7 ?2 G8 z
- w. |- U2 {* K' A
   皇帝和大臣们从此较劲呛起，闻名遐迩旷日持久的“大礼仪”对立斗争由此开端漫延。双方一直僵持不下，三年后，皇帝欲为亲生母亲争取皇太后的正式尊名，终于矛盾激化。广大清流都不同意，皇太后的尊名关系‘大礼仪’国体，一点都不能含糊。宁死不屈杨廷和之子带领二百余人跪于左顺门前逼宫，嘉靖勃然大怒，火山终于爆发。嘉靖亲自导演了历史上最著名、最具规模、最影响深远的集体惩罚，数百官员被集体脱裤子受廷杖之刑。惨烈哀嚎震天，当场就被打死十六人，其余一百三十四人下狱。最终嘉靖‘家礼’战胜‘国礼’，诏告天下称孝宗为皇伯考，昭圣皇太后为皇伯母，献皇帝（嘉靖父亲）为皇考，章圣皇太后（嘉靖母亲）为圣母。从此，嘉靖严重得罪了广大大臣们。其后，凡是嘉靖所言，均被广大大臣们视为昏君所言；凡是嘉靖所为，均被广大大臣们视为昏君所为；凡是嘉靖所好，均被广大大臣们视为昏君所好；凡是嘉靖亲近的大臣，均被广大大臣们视为献媚昏君的奸臣；凡是嘉靖发布的政策，均被广大大臣们视为昏君一派胡言遭到集体抵制。嘉靖的优点被舆论漠视，嘉靖的缺点被无限放大。在强大舆论面前，嘉靖成了穷凶极恶十恶不赦的大坏蛋的代名词，成了古往今来第一号昏君的代名词。! z" u& C* O8 a- }" Q3 V
/ k- [7 A" f) \* e2 i( R- G/ X: [

" P, l1 i+ A* t* D
  j, U# l8 ^9 j# R7 h& c
: |3 e! [  R! n: F
7 u8 m& g6 {& @2 d4 k% A9 f5 a9 s( _/ B& y
- b/ N3 F3 _5 F# c
- X$ V/ ]' O; o4 j, d
! C4 J; r$ h2 L

6 h$ O8 a- z  p( }4 n. |   这里引用这个故事，是想说明一个事实，简单化一刀切面面俱到的善恶标准并不存在。
: a6 |" g6 m4 O: C) T# V& \$ _$ J
+ O" @9 N' s3 ^
: o0 D- L2 c" i4 @   小嘉靖甘冒天下之大不韪，为父母谋取尊严的行为，到底是善行，或是恶行呢？？( H: t* X. ?, }6 [! E6 x

/ }9 i; p8 `* C" F2 P- E# W  N) h$ B# g7 l# g( U+ R( S
   小嘉靖为父母正名，是‘孝’，百善孝为先，按此标准，当然是‘善’举；
3 j5 N4 |$ x, Z2 J0 D1 K9 b# k
- X! b" O! e, W$ Q! Z
7 S5 @: A  E* ~! P- Z   然而，满朝旧臣们眼中来看，小嘉靖没有把先皇位置放正，违背了皇权继承规则的‘天理’，破坏了国礼，乱了法统，大逆不道，应该归为‘恶’举。" ?* t- J( q& t$ e) K8 [
. D; A6 K; ]' P+ a5 X4 _( R. d5 r! |$ N

# O# K, H# p" }! a! K9 }, g, Z0 o5 k( L6 p
: @" J% w+ T- v9 P, k

3 D. Z' z9 d" `' c$ t& ~1 c
" k+ m7 [4 [  r7 {# X; t   有时候同一个行为，从左边看是善，从右边看是恶，并没有绝对的一致标准。( j9 k8 ?) O7 }/ }
+ l5 Y! D$ l2 z" ]

# ?9 \7 Z5 m: }  l' [   大礼仪之争之所以久悬未决，正是因为‘善’与‘恶’的标准不一，公说公有理婆说婆有理，不同人在不同范围背景下会有不同视角。& B3 m% H) T3 N) Y4 E

3 u& ~- E0 }' P, P! r
/ A& \2 i" v+ B/ e9 q
, t4 D2 z) O3 w
4 b7 M& N) n1 J) m1 E
9 l7 a2 ^* C/ y  M6 l# Y  |$ R! |/ M( t) Y" B' n6 l
   大礼仪之争的是与非，不仅仅影响了嘉靖个人的一生。它还深刻的影响着整个民族的是非观念。
5 _) _2 |7 ]5 j: M. a  C8 u4 m* X5 d, V; |! |, g
: _8 y; O) o% W" Y
   “大礼议”的论争由开始皇帝和内阁大臣小范围的冲突，很快演变成传统程朱理学与新兴王阳明心学的冲突，成为全社会意识形态的大较量。朝廷官员和社会舆论也由于两派价值观的不同，泾渭分明划分界限。虽然程朱理学与阳明心学都号称儒学正宗，但两者有本质区别，程朱理学强调天理的‘国本’主义，阳明心学宣扬个性能动的‘人本’主义。在传统程朱理学看来，阳明心学无疑是大逆不道、欺师灭祖、无法无天、离经叛道、倒行逆施、耸人听闻的异端邪说。 但是，透过“大礼议”论争，由于新皇权打击旧阁权的需要，新派思想的士大夫不但没有被看成歪门邪道，一度还被年轻皇帝本我天性的认可和欣赏。而以内阁为首的旧阁权集团，则被皇帝打成反革命邪恶势力，暂时被强压下去。从此，阳明学说正式登上大明王朝的政治舞台，很多阳明学派弟子成为帝国内阁大学士，心学也在很短时间内就闻名于整个帝国，成为明朝新文化思想碰撞的导火索。所以说，“大礼议”事件不仅是明朝政治转折性的大事件，它还是中国历史思想文化的标志性事件，深刻的影响着整个民族的是非观念。& o$ C5 c" p6 V7 c7 L
6 y+ o6 N- }5 s7 e% p& H
7 C0 Y$ K- o# f" N; R& [, k4 ^$ i

8 I3 l- w: v! N/ ^; X
& a' k) g8 |+ ~) R5 \0 t. g# Y# r$ I7 ~) i) m$ [! k
/ k+ C9 ]/ a$ o+ @
( ^8 |( \" A: w& I; a2 H& x! o
! `' m$ F+ C) H' y! |9 f) Q

4 V- }( ~9 M) X7 t
* h, f- m& K; N   是非不清的嘉靖发了疯，是非不清的明王朝分崩离析。如果把是与非绝对化，看作绝对的概念，必然导致是非不清。
( I' W- o6 I9 [( y3 P% r
9 g8 h! s( f9 R  U2 n5 P, m. x  U' {3 S: ^4 ~/ p6 ?6 h: G
   时过境迁，回顾历史，今天的我们发现善与恶不是绝对的，对与错不是绝对的，是与非不是绝对的。9 w7 J& v/ a6 L6 R

8 g: B8 z/ E" K7 ~. k
* k. A9 J( Z3 j. P5 \7 G   是与非是相对而言的，相对于问题的范围。只有在不同的范围下，才有合适的是与非的界定。追根溯源，正确与否完全取决于问题所处的背景范围。“家”的范围内讨论和“国”的范围内讨论，是非标准完全不同。) Z3 l* x% ~2 }9 ^

# ~" L5 ?8 _) Y' y6 c& l' j# J7 w' ^& g  I4 j- m9 b  V

8 @. N' |$ A! A0 [
3 N4 c) t# r4 v* ^# P
- |: r: t/ d8 U( ~; r
+ }3 P2 U2 x$ b, ]$ ?8 U; Y1 {( [1 M$ D& L
. ]( G3 ]; j1 v! N" h

' L8 L# H0 ^% J# U% e- L
  Q9 ?" ^( a1 V/ T( j+ @, L, Y( S. ^# R' v# O6 r

' |2 S: q' I$ v5 }
' K: @3 \/ N/ B- |' F- m6 p% M+ h/ L$ W. b$ t- ?9 Q7 m
* |  O  P0 u. C
# p  _1 V' v) u# k( l5 @/ p
1 G' w3 x! L& r: ~9 U) ^$ N1 Q
" ]3 c+ u/ q! M* Q5 y8 n

" N4 i) U3 w1 N1 Q, @6 u' f, m; H4 Z, ?  \; B! E& H. s8 m
4 p2 Y5 I: n2 M4 q8 z' s
, W. C& b" |" R) B: N  ?
   “是与非”的界定是如此的重要，它是一切逻辑的基础。
3 y9 S' d' y  }2 i: k$ D3 [' y1 d, f5 L: @( R7 j7 N2 p

$ I3 z0 L5 l; c2 K4 m6 T
6 h( K6 E: Q$ e4 B( Y% ^: \# f5 O* b& N) |) k) \  _3 C# X1 I
, T/ V% D' l2 d) T
8 U, l; |4 {& k+ G; v6 _

% z: [8 `& T1 L$ q5 G$ p$ s7 }* k8 U6 l$ W0 ]
- v# `  z3 ^$ E1 ?* F! X

3 ?, q3 X0 A8 I" S4 W4 T- ]  t

9 Y, V) c' B1 N! Z9 j$ L# f$ }1 A! {/ I+ O; c
' L; E  O( f# o5 L
5 p+ T" ]8 Y" x3 \0 P2 e( l* f! v
) h0 C2 _3 ]5 S- ~

. K9 q, e" d' N* n5 w, y2 G0 `; B" E& ~4 a6 l9 b5 d
   在量化系统中，是非标准由逻辑0决定 ，而逻辑0由背景空间确定，所以说背景空间决定了是与非的标准。可见在量化系统中，“是非”同样的也是相对性的。
# S& G2 U' b( B' Q
, l% J) ~6 F0 q; `* p8 }- a7 u5 ?' i2 J- v. Y2 {
2 c1 X! G, k0 q# }/ Y
# o. G$ w/ T4 |) G

+ w( Z1 D; I" X# g$ E6 |/ H/ _8 M5 U& {: X# Y) B3 y$ }% f1 Q* a
6 `, N/ i4 c; c+ A; U. d! t) V
& k! ^& i, I! r+ @6 |& e5 U
2 |* z/ e1 e4 ~
    比如，我们熟悉的三角函数cos ，它的傅里叶变换函数存在吗？
$ Z" b( r2 ?9 f3 w
( w" p$ v. t4 ^$ |/ \+ R9 K/ z4 A2 o9 u
6 c, m+ O; O0 ]( |
! K5 L# R& f% m# D" [

. Z4 V4 m$ y: U- g% ?
* q% J* r, B$ |# G# \% B7 T" B   如果我们以经典的微积分理论来观察，会发现这个积分不收敛，也就是说在旧数学社会中cos的傅里叶变换函数“不存在”！
3 V. W5 P+ v. F  @2 U4 j
$ A  \* Q) H# x) O2 }) n& L
. P+ N. e. |+ E% S. q' E0 W- _! Y! a- P% g

: Y. k1 `/ C4 j# T! k
1 z, e0 I/ B, z' b6 H4 x1 I! c- _: h+ b
   但是，如果基于最新的傅里叶变换理论，对偶空间T和ψ具有下面的性质：
( m; E9 \. t6 D: j( v3 R
& |' V  v- M4 ~+ L4 O" x7 _, }* J3 s/ X1 E

3 @' S6 n3 I: L7 w0 f- J$ k& k% w3 i4 R1 j, D" l. b- @; I
1 Y; R+ Z& d* D% e  Z
+ \9 N0 j4 X6 C7 M+ m
   根据这个神奇的性质，很容易可以算出cos的傅里叶变换函数，等于两个脉冲函数δ：* l& M; ~) d9 D7 ?. x3 i
1 T/ k2 @6 v% y
) f  n% L7 Q% E# r
" U2 D* P; S' g9 C2 M4 L9 i/ i

3 S5 O: k+ |; P3 S) |2 q+ H+ {: b+ p
+ U3 t) o% S, }0 n$ ~: n+ _
   cos的傅里叶变换函数，等于两个脉冲函数δ，如下图，相信很多朋友非常眼熟，这是工程学、信号学、物理学习以为常的图像。稍微调试一下频域的脉冲，很容易就能造出时域的cos余弦波。
5 v6 S: @" @' _
2 T( T3 Y* }% U. e  k2 E  |# l
5 v( j0 \6 Y4 S: O2 {- `, v( e2 y1 d" h1 `( t- o( K

/ O% b3 ?# ?: {6 D/ L7 ~! Z
2 b4 W1 P/ t. [1 u2 [$ {  t/ W# W. u
. `) E9 k. B# _& f1 Y" a" W5 C   非数学系的学者们大概对脉冲和三角函数的图像习以为常了，一般不会太注意其中的秘密。数学系的智者，从一开始就讨厌冲击函数δ，想来也容易选择性疏忽吧。# l" h  Z4 s/ R. f! v

7 Y% d) j2 a( q. Z
/ E8 t4 q2 o+ k" u) E: A2 Q2 x      但是，如果追根问底，我们发现cos的傅里叶变换函数的收敛性， 是一个大是大非的原则性问题。大是大非，不容回避。请问，它到底收敛吗？
+ S$ K- ]  u+ p5 ?7 [. t+ j$ {( o' V4 _) J! z
. T7 K% M% [5 d+ c
     很显然，经典数学中它的积分形式是肯定不收敛的。同时，时域的cos余弦波图像在频域就是两个点脉冲，它当然是收敛的啦；而且，两个脉冲的算式：1/2(δ(a)+δ(-a))  ，明白无误的表明了 δ相当于普通的确定的数值（虽然它是无穷大，它却能量化而计算，这是实无穷最贴切的例子）。
- q2 U* T0 G; Q3 _& X. j/ O* S) E$ K6 o1 L

, M/ N# C! W+ ]" O     同样的东东，为什么一会收敛，一会又不收敛呢？它到底收敛吗？？？0 ^% o2 y; ?- ^, K0 B/ S0 {
) H2 ?$ K9 x8 W2 n# Y6 _
/ q4 m8 J! H$ z% m9 J! j- @
# c$ N5 u0 |- K* L5 u

3 d! J! u: \( s; y. h7 C4 D+ X) e, _9 U. D
# @% }5 U2 e2 q0 a: H
     解释这个问题的关键，仍然是“范围”。如果我们以经典数学连续实数点（阿列夫1空间）的旧眼光来观察，会发现这个积分不收敛；但是在阿列夫2维度的傅里叶对偶空间中，这个函数收敛。进一步审视，因为当冲击函数δ处于阿列夫1的范围（实数点积分空间）时，它超出来空间逻辑范围，所以隐含阿列夫1内涵的δ相当于非确定的无穷∞，它不收敛；但当冲击函数δ处于阿列夫2的范围（傅里叶对偶空间）时，它未超出来空间逻辑范围，所以隐含阿列夫1内涵的δ相当于某个确定的数值，它收敛。% D) E/ e' i9 z. Z! |# |$ O2 K

/ Z# k% K8 E7 u3 v
4 A7 T% w1 m4 }4 R
1 P+ U2 {4 v" g$ t; w# l0 S( t6 S! Z3 m0 Z: V

, f! F+ y4 h& t$ v' g- M8 n6 K; v- w
   【特别提示，上面关于cos函数的傅里叶变换性质的例子，并不是cos函数专有的。事实上，不论是cos函数、sin函数，或是很多其它三角函数、甚至大量图形杂乱的函数在傅立叶变换下都具有同样的“收敛”性质。这类函数有一个专有名词，叫做“广义缓增函数”。只要在无限远处函数值不快速冲向无穷大，都符合“广义缓增函数”。也就是说，除了极少类无限远快速发散函数，我们所知的绝大多数普通函数，在加载简谐振动（平面波exp(ipr））以后，都可以视作“收敛”从而可常规运算。( H7 D) ?& C" r2 o' i' N: a+ e
- C( M2 u: V# g, L7 c. \& p
+ R0 f0 [9 ]2 K" t0 ~3 L- W
     傅立叶对偶变量张量空间的这种“广义收敛”特性，具有广泛的意义，这意味着我们可以通过对某一堆表面杂乱无章的大数据加载exp(ipr），审视傅立叶变换后对偶函数的性质，从而发现挖掘数据间潜在规律性。而这种对偶空间的傅立叶分析，在通常直觉下是不易发现的。】
8 t9 j( [( _( X0 ~, `6 w, u9 ^

* m2 ^7 ^- ^( J& v
- g0 W5 F: a8 S7 m  B" \0 g4 |1 D+ ?- @2 C* v5 o0 i6 \

, Q$ Z( s  ^. B; v$ T7 G! R- n3 i8 D3 O# M( m% r2 ^% U8 m
4 A9 |0 d" r$ S: \) g

* y1 T' M. s) a2 z, @1 X; v' ]
5 k& g3 w: b" o5 X  E
% P! t. v  [2 R8 t4 d7 h( _
% o3 }( h) y- C5 P
9 z% L/ V% c( D, y4 Q! f, [6 u! U. e! e- c4 c

4 Q5 s6 \; d$ B1 A   关于阿列夫2维度的对偶空间的神奇，是近年来正在挖掘的新学问，相信真正理解的人并不多。再来看看通俗的例子。前面提到过，描述一个事物，有很多种方法。观察的角度不同，选取的基矢量不同，参照系就不同，描述的方法也会不同。
! p5 L; i5 a9 O8 g7 X4 J, ?$ y. x' F6 s* k( r9 x* T: u

, b4 W* W* `& s% L& ?+ Z　　比如，同样是量子力学专业的，薛定谔同学会把鱼的整体看作一个点，所以能简单明确的描述整个鱼的点运动轨迹；但是海森堡同学做事比较细致，他把鱼看作是头、四肢、躯干等等器官的组合体，再通过态叠加，通过向量分量合集，来描述整个“系统鱼”的状态。9 m+ \8 }. l! j% c: A+ `$ O
6 k  Y& `# C* P" O+ ]
9 k, W* u/ G  K8 L
   同样的事物，看作“点”是一种方法，看作一个“系统”也是一种方法。
$ a/ t- G8 T) d' a, F9 p4 `* r: C* ]0 b% x! g: V
9 C# _- I1 w; z' m
　　一定会有网友好奇，既然薛定谔方程和海森堡矩阵说的是同一件事，而且薛定谔方程简单明确，干嘛还要脱裤子放屁多此一举，费神研究会出现不确定性的、忒麻烦的、海森堡派的矩阵力学呢？# S% x/ F% ^0 u7 Y4 R

' j( ?; a3 T* q* K
2 |: p# V/ p" a　　因为，矩阵力学态空间（线性空间）理论依靠打散分量再重新组合的方法，能解决复杂的系统化的问题！6 j5 \; |1 B( D7 S$ J

2 K% K% B8 ]7 P% Z' D: x) F% n' }$ o( e( V6 `$ {& x4 T6 x$ `( J
& m1 S0 c+ ^6 V9 b- x2 E+ g

) B4 S, ~' H5 K8 r; y5 T7 Y! A* ]. T* x& d

" G  m$ \3 t; I4 i0 |0 X' [. p1 S9 B6 h
5 t' }; g: V2 X/ e

$ G& _3 z; _4 ?& ^. o  q& W- {1 [6 m8 Q. ^2 z0 o) \& F

  l4 U+ x  Y, }8 ^; @) H! y- o
# }% C" H5 F. X5 s; s1 A, @5 t8 z  C7 j
% S# q" b1 G  \; d; v
　　比如，如果老师布置一个是关于鲟鱼和可可树的相互影响的课题，让薛定谔和海森堡各自答题。
2 m+ ?! ?& s' b2 g& Y, [3 i$ x5 [; f% j8 a8 ~, n. R

" U$ T( r/ ]  l9 _2 t; ^3 q. X" ?& {: M/ A% L% [
" Y& p8 H8 R$ \
( r9 K1 C% {* r) b

" d- y4 _5 {- p4 {: z　　在薛定谔同学看来，鲟鱼和可可树毫无关系，一个动物一个植物各行其道，八竿子打不着。
5 @/ t: F9 g- O' d1 r- i- F% @
, x. ~: V3 B+ ~5 {2 b. a/ l
, U' s9 Z/ i- h8 p$ Q; O   在薛定谔看来，鲟鱼和可可树显然是无关的。
* W4 h$ B. c! \7 \! a! V' E# l4 b+ H$ s4 X. g1 j

* W) p' J+ b) b* [; K2 N3 [. B
" w  \  l5 |3 S0 y2 ~0 j( A3 C$ {) F. ~2 Y  u0 W, K8 s& e

9 ^3 w- Y! V+ O2 Q: a  U) L8 h) K) [) G$ j4 T: x
　　在海森堡方法中，鲟鱼和可可树是否相关在于坐标系的选择。
* a9 A" }2 b; F, ]& ]2 I/ H$ q* V
! K, e8 R( i* ^5 M( ]# }: {
8 y. _" k7 z7 x　　关键点是如何恰如其分选择其共同的构件分量（基矢量）。
/ z" l4 L$ r/ P$ S, G/ u6 {! U6 J2 }7 h% y! J/ w( O

7 N& L. A6 D+ p+ Q" }' Q0 ~: [　　如果把鲟鱼看作眼、耳、口、鼻、心、肝、脾、肺等部件分量的组合，把可可树看作树叶、树枝、树根等部件分量的组合，仍然风马牛不相及，显然还是看不出二者联系的。5 r; G: ]2 c) C$ x; ]
+ K8 D+ n: _( _9 }6 ?; o. b+ }2 J" e

- \1 U* e8 Q) X$ d1 N: o　　废话！
) |: L; i5 {5 i; j1 F6 _0 i% N# y
# Z& t4 R% E- o. A( |8 @' j9 y1 S# N+ w4 `/ d4 \/ P$ D
　　嘘，别笑。。。6 d; G$ R1 o& ~7 e0 U! U% h

1 ]* g1 r2 B5 |) q0 X6 y, n) T0 @5 i; M8 V7 y! u1 ]; J* p7 Q4 ?
　　但是，请注意，但是 .........海森堡方案并不就此枪毙，他还有后招：+ @0 }* g* A. T

4 M/ W2 k1 L1 @  J9 W! m' Q' Y6 B' ?  O& h$ m6 F" F
　　海森堡同学还可以更细化的分解鲟鱼和可可树，继续寻找二者的共同部件，比如细致研究后他会发现鲟鱼和可可树都是细胞组成的、都是氨基酸构成的，如果把氨基酸看作所有生物的共同成份，那么就可以在鲟鱼和可可树之间建立统一的坐标系了，也就可以量化明确二者关系了。
* x5 g) U1 j' _9 W4 G+ J+ @8 N$ ?$ B5 |. W  `& c( E1 u( v

; L* q' F; i# u; O. U  G     4 s+ _2 E5 d: {6 ^$ [
, ~3 B+ X% l( g) C* a+ I* X

% A8 g0 L- C0 b5 _" I　　有学者就是以这种方法研究亚马逊河鲟鱼数量和亚马逊可可树生长的关系，从而研究亚马逊生态圈的氨基酸养分如何流动，取得了巨大成功。
) _' i- \& ]: K# I" @; s2 b9 R( c5 ^, {( v1 A9 F) l2 r2 \

9 l$ G$ @% Y6 u9 n( C% C  } $ G- X: p# q5 a3 ]+ j* o3 i: o

$ B1 A! _% O" V. ]( P8 y: Z, F* }( R$ T7 n" p2 r/ h6 D! u
   【 而且，通过这个形象的例子，我们还可以理解为什么爱因斯坦、薛定谔眼中（阿列夫1维度点空间思维）的线性无关的独立的物理量，在哥本哈根矩阵中（（阿列夫2维度张量空间思维））会体现出线性相关的非独立的纠缠态。】8 c, j! H# V  s
& S& E2 h# {: k0 h0 G( B; e+ U
- e# S0 s% k) ?  O

, K9 x  k' @! R& |: a  @! }: E; j
' P( C, B% k0 g/ D( A8 {) S: h: l8 C# K5 k, l: N3 S

" S- x0 s: }' {) G2 U! ^   鲟鱼和可可树有没有关、有多大关系，决定权在于二者共同参照系。在薛定谔的参照系中，鲟鱼和可可树无关；在海森堡的参照系中，鲟鱼和可可树有关。因为线性相关与否，由两个量之间正交子量决定，而两个量是否正交由系统的逻辑0决定。
$ A# r/ {1 p6 D. }( R% x5 N2 {. _7 @% O  u" ~+ n+ Z$ P, b! Y

6 s& J+ Z& V8 J# Q1 E7 [   逻辑0的相对性决定了正交的相对性，正交的相对性决定了线性相关与否的相对性，相关与否的相对性决定了问题是非的相对性。
9 i/ T" @+ _, \8 e0 I' v0 T9 D2 s& w/ G  P( H" c
6 M+ ]1 P! z" g& m4 z
5 |" [: `5 D  d0 X) s

4 u) _. ?3 j7 B# _$ w5 {4 ^! A% D, K0 W+ D

% n* p( V$ O$ M: \
: K, [  w9 v; c" p; K' t; \# ^0 ?
6 P/ }) L; e4 O  N. r" Y7 v

$ Q6 [+ z5 a' C3 ^. r1 @
. b7 r' p& S5 ?1 Z$ c' D; }
% A6 Q8 p1 y9 Y$ U. N! v8 O. D( w$ r; @( P! J5 T, o- u

$ Q! ]7 T, Z7 s2 M* f
* @" R8 N- D" S# C  _4 j7 f9 K4 Y
* }, D2 {' c. Y, D& P1 @, D
& Q$ G# \# f6 A- }( t
/ n* z1 I9 Z" l　　并且更重要的是，不同对象间的相关程度，也取决于所选取的参照系。( A+ S! \% L- A. H7 l3 I* f% Z# [

4 B3 j% l% o. R6 I, ?* m' O' ^5 u
# {5 L# N7 ?' ?! S1 c& X
& s8 L" t5 B+ E
) S. j& [( S$ C: {! v
$ X6 X! n9 {' ^6 {7 q1 i
　　如果把鲟鱼看作眼、耳、口、鼻、心、肝、脾、肺等部件分量的组合，把可可树看作树叶、树枝、树根等部件分量的组合，显然二者风马牛不相及，在以眼、耳、口、鼻、心、肝、脾、肺、树叶、树枝、树根为基矢量的参照系中二者线性无关。
% W9 l6 k$ N' M' @+ N/ ?: g- m4 s4 O% A

' B% W6 a* n/ u; e& f! o　　另一方面，某个哲学家可能泛泛而言，任何生物都是由质子、中子、电子组成，在这种基本粒子参照系中所有物质毫无疑问都是线性相关的。但是以这种普天之下皆准的套话，不可能度量出亚马逊河鲟鱼数量和亚马逊可可树的关联程度，无异于一句废话。
; `9 J0 a) g/ K0 ?0 n0 U
# C5 [' r4 m0 D3 U- X& |
# y* S1 ~& Q5 ^, {7 U　　要想评估亚马逊生态系统的运作，必须能够量化考核各子系统（鲟鱼群、可可树群）的关联度（内积）；而这个关联度的量化，必须先找到恰如其分的基矢量（细胞）；而基矢量是否恰如其分依赖于系统所需要的精度（可容误差ε的精度、相对0的精度）。
2 C# x& n) z) ]! o' }3 Q) s

sunsong7

附
1 ]1 O5 W$ X. G% t0 t9 s
9 m, _+ O8 Z7 f+ m$ c# {
: m& H1 D, _) b! G) z2 l　　2014年6月8日，英国《每日电讯报》报道，一台由俄罗斯人开发的超级计算机通过了标志性的图灵测试。这台卓越的超级计算机模拟人类的思维，让33%的考官认为他们是在与一个13岁的男孩儿对话，计算机通过自己的智慧成功蒙骗了人类。这一划时代事件，正逢计算机之父图灵先生去世60周年纪念，被认为是人工智能领域里程碑式的突破。/ t/ i( z! d( K1 p
0 q& o# }6 l& `) u

5 m  \4 _# t; C8 B
5 f" k( ^: `( Y' S" A
  f  X  O2 {8 }
9 f3 |- W# f* i; Q1 t- q: O! B2 l$ z+ U: K' n% V; b  x; w
　　一台冰冷的机器，超越人类的智慧？？& b* _7 E0 u" F1 U0 I, s8 t
1 e8 H/ Y$ ~) c0 [" I5 K! E

3 ~, ~2 `5 f6 W4 B: e& ?0 k　　骇人听闻，如果这是真的，可能有一天，科幻电影将成真------机器人将替代人类成为世界的主人。
0 m: l$ n5 O+ u3 A9 y) ?! n3 U! t0 C, j
: d6 m4 Y( ^' N* V3 S2 A
　　这可能么？数不清的一串串大问号
( E* N) {1 Q2 D: x) O% ~; O% \2 A5 m' j
# p. R6 P7 @& A/ V3 A% j' }

; i# m% a0 m3 W; o- i! w
! }6 |# F1 h2 U
- @- i: \& E% I! X  q) _  s5 d! ]! V( m# L7 P
　　也许，这是一个值得花时间探讨的话题......
+ _; O$ O0 o: d: e2 `: E' ~5 J+ ^( s, w! }1 L* p

. S  v- U, _5 H3 R# ]/ P' i4 j3 L7 L1 i8 v$ j6 Q
3 O" ~0 }5 L" x! J$ @
) w7 n. J# \9 x8 T2 h- D1 Y
. ?1 O" K+ l: H3 L4 F9 k. f
. S/ b5 A: ?# U7 q
1 X" |# k/ E; G9 Q8 }! ?% O0 q+ f

  m/ `- W( u, p% }6 P9 m/ {" k% e2 k

& U/ V8 D$ U. U4 j! }/ l2 a: u* t# q; ~5 T

( ^, s( T/ k, d1 D- D- z
3 \( S; E; Z7 w! P0 H( N     Raymond Kurzweil是世界领先的发明家、思想家、预言学家，他用20余年的时间记录和追溯历史的发展轨迹，以预测未来。
" l; I! Q: n" C  C& L9 n' E. t6 \( s! n% o$ B% D2 y

1 j! @7 u4 S, }9 \     他被《华尔街日报》誉为“永不满足的天才”，
) u. Z& `: w9 M6 h6 p% v9 D: ?, m& [' D
3 I4 {6 x  `6 e( {0 ~5 Q+ y) k) f( C: o0 z* X
     他被《福布斯》杂志誉为“最终的思考机器”，
) r; R9 \4 ^' x% }
- a' O0 H/ n; o. P# m1 K: |; Z% J/ H
8 Y  V- r6 q% A' B% w2 H# _     他被《Inc．》杂志称为“托马斯·爱迪生的法定继承人”,
! O1 f6 M& a/ l, Q; V2 I, Q* g# k2 h
! a0 K. x/ B$ n5 q
     他还入选了美国国家发明名人堂，6 ~( ]" D; y  D: @; F: ]$ o$ f. ]
# C: L. K1 f  R8 a9 I

" ?; t' f3 K% B9 f/ l     他是美国国家科技奖章获得者，
7 w' u& E% `7 T+ x; p, d2 S) P
/ M# ?! [+ {' K# t# g
8 B) e% V3 U, E  }9 _, \9 U# X' P     他是Lemelson—MIT大奖(世界上最重要的发明奖)获奖者，
8 H) Y" @1 h# j
' ]. F0 B" v) o0 u* |) @5 Q  }# C- q( [
     他拥有13项荣誉博士头衔，
- F# g8 m! b( Q
! |" C& O- K2 i6 K; Z5 e: g  |# o$ u& X/ k: ^1 y4 _
     他曾经获得3位总统嘉奖。
" s, _: z$ s8 M3 h% y. h) O1 D# c5 z7 r5 `

1 Y2 x* |( q: r: P+ _4 G& u
- k) K7 e/ k6 U2 o" u- L- t4 N* I
' x' v# A6 s/ G; D7 p& G

' q2 u" e2 H* P( e, }     1999年，Raymond Kurzweil预言，根据著名的摩尔定律，人工智能的智力水平终有一天会超过人类，他将那个时刻称之为“奇点”（Singularity），之后机器将代替人类主宰世界。6 i/ T7 V% S* U
5 ?3 X* B# U" {: [8 s" v& a1 [4 R

, G, @! g* F% K9 ?9 u0 F$ ]: \& p6 Z: r/ p
, d- \$ I) [+ }! c
9 z9 L2 V) c% s: |: n% s4 d
. e; A0 Y; n( E7 S" S7 Z$ G

/ M2 z( a6 z/ C7 C" \6 V% ~0 x& _( ?. x  ]2 A

1 w! S0 b1 F2 i) ~
  u' t1 ?9 ^( `1 h" |     一般设想技术奇异点将由超越现今人类并且可以自我进化的机器智能、或者其它形式的超级智能的出现所引发。由于其智能远超今天的人类，因此技术的发展会完全超乎全人类的理解能力，甚至无法预警其发生。技术奇异点是一个根据技术发展史总结出的观点，认为未来将要发生一件不可避免的事件——技术发展将会在很短的时间内发生极大而接近于无限的进步。当此转折点来临的时候，旧的社会模式将一去不复返，新的规则开始主宰这个世界。而后人类时代的智能和技术我们根本无法理解，就像金鱼无法理解人类的文明一样。" p2 H4 C; J# g1 M; b
1 e5 C9 u2 H$ Z; I
1 _: O) x) y' E* ]5 D3 V
     大部分相信这个理论的科学家认为这件事情将会在2005年到2100年之间发生。发展会非常迅速，以至大部分人还没有意识到时、完全没有一丁点心理预期，奇点事件就已经发生了。
( K  G% D1 Y; t% E' @! j! B! q2 m- x

' A* l! ]' u; i3 b% `     “让我们将超级智能机器定义为一种能够远远超过任何人的所有智力活动的机器。如果说设计机器是这些智力活动的一种，那么超级智能机器肯定能够设计出更加优良的机器；毫无疑问，随后必将出现一场‘智能爆炸’，人类的智能会被远远抛在后面。 因此，第一台超级智能机器是人类需要完成的最后一项发明。 它可能仍然是人类的工具，前提是这台机器足够听话、会告诉比它笨得多的我们如何控制它……”
1 {) M7 ]+ Y/ B$ w  ^
9 E7 e3 ?4 Y0 a( J. h
3 E; `% k6 y6 v6 K4 {5 D% D4 @8 b& }6 Z4 I3 {. d3 @2 ~
1 S* C: h) C0 ^4 j" a8 ]

0 V: s8 X. h4 x7 ~1 M( F1 t$ j9 j: x: W: |( i8 g9 n7 u, j  n6 a1 X# M: ?
; b& k  B! D" i3 n* S
! J' J2 X0 K9 o9 U" k

" E3 y* c+ w9 R0 V! d0 \3 T3 C3 x* a. ~4 U. t, ~$ ^/ g. v5 Z7 |- {
     似是而非，科幻或是科学？
. D6 g  C- c' F7 f8 A* P7 l! e9 C) b: J  Y" z- K" P" A

8 G" ~& K/ P( l4 \     是真的吗？
0 F( q, N7 C8 ?
# D1 H+ X& \2 h5 N9 Z3 }+ [; u# G, X1 E7 z

$ y; l# `- B1 a. |9 W. t
; W' s! o5 p) d5 V/ P' a
& k  l: d$ D+ {* x7 l- w/ S+ M
( s+ s9 k/ Q7 d     1936年，图灵向伦敦权威的数学杂志投了一篇论文《论可计算数及其在判定问题上的应用》。在这篇论文中，图灵给“可计算性”下了一个严格的数学定义，提出著名的‘图灵机’的设想。图灵机不是一种具体的机器，而是一种数理逻辑的思想模型，用来计算所有形式逻辑能想象得到的可演算途径。 基本思想是用机器来模拟人们解决某一问题所需要的固有套路，按这个步骤走下去，就可以解决某一特定的问题，这种观念是具有革命性意义的。今天，超级计算机、小型计算机、服务器、PC机、平板、智能手机等等‘图灵机’已经遍布我们身边，影响了我们日常生活的方方面面。
, A4 A# @. q) n) t" E6 I; B( l1 U% A3 V1 X

: n$ L; \' J; @, h" T7 X) {, S2 A    但是，尽管“图灵机”攻城掠地战绩显赫，却并不能掩盖“图灵机”的严重局限性。现在大家都知道，哥德尔不完备性定理证明了基于一阶形式逻辑的“图灵机”的这种本质上的逻辑局限性。
/ z# [. e( G% c& U% ~4 \1 l/ s- J4 F5 k* ^' E8 P8 N6 z, r# ~

7 t/ [* f% }6 i0 [6 S: _
! e, A' t( o$ j5 {) i: S
, h- n9 M) |; k; Y( w  H! p
$ D0 ^! _* A; g# X8 b4 E6 l0 U6 s8 |  j+ Z

" @  s3 W! S+ h9 e% P
8 b: u9 |# g$ {8 U5 L9 f% B" Y  M9 G4 J( Y/ K& x$ F/ d
! W4 z. K% f9 u8 M* e. D& i
% ?8 [1 b' ~' _8 j* C' t4 _

* g! j; D& a; o8 z
, H5 e+ o# ~5 O8 n4 n
# X, V. v' x7 V" e" n    那么，有没有什么方法，可以从一阶逻辑向高阶逻辑的突围呢？# v# k/ c6 D; G9 A4 B
- P. P6 v" o/ {7 x
9 Q" q1 R# s' X* d& C- |- p
   
* r& p# v8 }7 d! Y* ]! Z- C) g4 x1 ^' g; h: ]2 N0 |
$ M$ ~0 H, w" f# Q4 O; }& |2 g
    “张量”也许是一种可尝试的选择
# Y& H7 B  k' U2 D" x  J" y" ^, F9 ^
9 t4 R8 L$ I0 @! G6 R, T- \

sunsong7

第七章 张量

6 |) o, t% L# y/ M! t( c( k

2 k" L( T1 m. a0 @* h, ~/ A- R  F6 Y+ ], e4 H

7 x! E# U2 r4 S2 ~2 d) r! y4 w7.1 张量简介& \# f( j; r* N  r- L
   
; @% ?2 {* ^: @; s! n4 s4 {! T! R   “张量”既不是张良的哥哥，也是不张飞的弟弟，因为张量不是一个人名，不姓张) h. J7 \/ W6 M4 e7 R
   简而言之，“张量”是一种量，一种张开的量。
) v' J8 h/ {/ p9 k! Q8 j' W; f5 h

) r( W1 G! }, C4 H# _3 S   比如，肉眼看一个细胞，是一个粒子，一个数据。$ ?% J# w, ]3 b3 h
   如果通过放大镜、显微镜，我们会发现细胞是一个包含细胞核、核糖体、细胞质、内质网、高尔基体、囊泡、溶酶体、线粒体、细胞骨架、细胞膜、中心粒等等。放大镜下，细胞是一个有结构的系统，有一群数据。) w$ [% b! n3 S; ?, _# b
   张量就相当于这种放大镜。它把一个点粒子数据放大，呈现出一群数据集合，使我们能观察到其内部更加细微的系统结构。& t1 v' r$ u% S! _# ?# U$ v% |
4 O! h) v) Y1 O+ L# }' P' s

1 j; c0 G" m4 f1 @% D# o" r( K, b6 K! \; F% k( _- x3 h% Q
( w! c- L, S4 M* ?* T4 I: X6 z

% J8 O8 j3 b, @- J0 x: L. d
7 k. V1 r3 O$ x5 _5 P
4 a, n/ ^: G: Z9 R# i& n( P$ n9 o7 `4 e
: L% }- S+ ?$ |8 |
   下面转一篇‘惟一佛乘得滅度’网友关于张量的科普解读：
  D- ]6 }, Z7 B& @( F0 ^7 B$ ]" z  D4 y" y
4 ]/ r9 w  v5 f
   给物体一个力，物体会有一个加速度。经典力学告诉我们，力F和加速度a具有这样的关系：
6 c- }8 u+ j) G. I5 m) a8 C; L) S" G   F = m a1 G/ v! F! S/ {$ ^5 o

* a0 b+ f4 q! H' s- H& r  e5 K8 P0 A: f4 ^' R3 M
   在坐标轴x、y、z三维空间上，实验现象告诉我们的规律是：
! n' v  C  X6 W8 j* T   F_x = m a_x
, R. l3 [: l* C   F_y = m a_y
6 e- |8 Q2 O( ?* l- B6 b* z   F_z = m a_z
5 R* l) t( h2 J   如果我们想把上面三个公式写成一个式子，简化为点符合的表达式，可以写成熟悉的矢量形式：
; _+ F: q" \7 ?6 e% m1 ~
2 Z7 W* R9 R' l/ d& J  . d- U. k7 o4 a( K9 i& o& B, T4 q: N4 H
( \4 ^# n+ ~, g3 a+ h0 t/ F

: G2 r8 D" Q6 g% G8 W7 |1 L2 H/ Z% c. I  其中F和a都是列矩阵，而m也写成粗体，注意这里的m不再是标量，而是一个张量，表示3×3矩阵：
! E' M0 i1 s8 v; J' q
$ R; E0 z$ K. z; _2 R9 k7 A5 k
5 L6 C9 q, C1 X# K6 `7 \   则，可以把三个分量式统一矩阵形式表达（矩阵形式可以清晰表现其中系统化的分量关系）：
6 v8 Q0 `5 M2 X; _/ t
* T* n/ m0 N/ ]! T2 {
2 a1 o3 m8 m2 e# C2 O" G. U
/ ?4 ?: i5 _+ ~' B, \* _; y( R5 g& n; o% S& T% b( e
! Y% ?1 y* i7 D  F1 B9 p
# H2 k5 `2 P& d% H) P  l  X- S3 ]
   现在，假设我们这个世界变得奇怪一些。 往一个方向推物体，和往另一个方向推物体的质量m分量可能是不一样的。这样，三个方向的牛顿第二定律可以写成
$ ~& W' o" }: o: e- W   F_x = m_x a_x1 \& J, D; s7 [8 _0 L
   F_y = m_y a_y& v( r+ ]6 i3 W2 w- i: }% |
   F_z = m_z a_z
5 [7 _" k% k' z: c   这时候，不能再用一个简单的矢量式子F = ma 把这三个物理量表达式写在一起了。0 i& d0 F# l6 b) W9 r
2 j0 U, d3 R# }. G. f4 ~
   但类似的张量形式还可以用：
% G) U8 r8 f* g: G" k   
/ _+ o' Z; Q5 ^其中F、m、a 都是张量，m 张量式子如下：) N& s6 L! B& b1 D9 N' J7 g
' @/ Q) p4 ]& T4 O& A0 e) B
/ u# O5 P, F8 k; x7 d
  此时 F = m a的表达式子的细节是：
7 [* \' S" @1 F6 m0 x
& Q2 A) v- Z3 S# V, {) u* f& f
* ]) ]- J$ S! C8 V2 i6 Q
' u& Y$ i+ ?  A+ c3 N3 H) H
! V5 k7 H1 ^0 h) M- c( P! r+ Z4 [0 [8 x, N* l  _* Y( l$ ]( g$ u, O% _
9 A: g  M) i. z* V8 n4 U! k
   接下去，让我们这个世界变得更奇怪些。往x方向推物体，物体不但会在x方向上有加速度，也会在y，z方向上有加速度。x方向的力与三个方向上的加速度的关系可写成三维分量叠加的方式：
& x. c& v  E2 m, r   F_x = m_{xx} a_x + m_{xy} a_y + m_{xz} a_z
" Q% j6 T9 d# v, q2 T1 S# V- o   当然，y方向、z方向的力也可以写成类似关系式。5 D0 Z) \7 W9 u3 v
   这时候，更加不可能用一个简单的矢量式子F = ma 把这三个物理量的表达式写在一起。但仍然可以写出矩阵形式的公式，把三个方向的力和三个方向的加速度用一个公式联系起来：: @7 s% z% G4 V# t! o, Y/ z

0 _1 @0 E$ l2 Q: C
& R2 O7 D& u  d: z& `3 o! H# F5 H" E

2 r# l8 e7 V# |7 R1 ]* n9 }. n4 Q& G* y, G+ p
    进一步，张量不仅仅是二阶矩阵，还可以是三阶、四阶....n阶的形式: c) M( f- x; n5 t, ^. V
    三阶的F=ma的张量图形大至如下：. {/ y+ g- b# y5 i  X
5 l; _7 N3 X- l7 Z  v5 f+ \/ ^6 p

+ ^- f& F; m; Y  [4 W
( w+ q: b! f3 }; O! H/ [
' F, v+ ^: V0 C/ I! X, ?9 S
. N- f, @% Y+ ]/ K/ Y3 x# N# X3 c  Z; t& M, p
2 ?' e0 n$ F% Z+ }& Q' S
       三维空间中一个三阶张量有27个分量，似乎可以构成一组3个矩阵，每个矩阵都是3×3个元素。设想“三张平面”构成一个“立方体”。如下图所示：) A5 X6 w9 V* b6 p
! k" c$ K5 _6 r& L* N! w# y# X. O

; g6 d5 |1 M2 ]5 Y1 V6 G
) D% F6 a2 N+ j! Y7 T0 \
0 e7 l" X& M3 y6 d/ g2 [. T: ~( J  T( r) o8 G

* Y7 a' Y+ M' l3 U. M9 f
) ]( ^( B* y  R! C2 O9 _; \: A/ h   对很多朋友而言，对于表示二阶张量的矩阵应该接触过，但看到高阶张量可能就会晕菜了。其实日常工作中，做数据挖掘、数据分析、报表分析的人士应该都了解的，只是不太熟悉这个名词而已。看看上下这两个图形，多像啊- v: z. U; @+ W$ |. w

) x/ n0 Q: ?2 y+ I; S
1 ?, U# X" _& m3 I' v( B6 v0 F( S/ ~5 ^- j5 {' w. U$ P$ G6 C4 w
2 N" M/ L& T/ Y( N9 l, r/ K
/ b- ?$ X# P. [% P

9 [: M  k; s' |
5 C4 R, e0 @! H3 s+ r' D  x6 g( k) p* |& B

3 e: C& w0 j+ T, s( r) _9 t
9 U  Z+ F' S" B- @         更复杂些，在n维空间中，一个三阶张量有n^3个分量，也可以构成n个矩阵，每个矩阵都是n×n个元素。设想“n张平面”构成一个“立方体”，好像一块积木。如下图所示：
( _7 V: n0 {5 T, x; t; `
. v. j' A8 o' k. O) G
6 M# `+ t, _/ [* X) H# {" f0 {  p+ {  D

7 o4 f4 V/ b8 U( ]# W- E, w5 ]- b9 \3 M  J' c' n0 ~& ]
; V' D0 X# y% Y4 H0 D. r& z5 t
     更高阶的张量画不出来，只能靠想象了......" _7 f6 Q- s8 H0 X
% o7 C) o4 T0 \$ O

3 K7 ]" `2 b' p4 K2 ^【注：为简洁描述，本文中对张量、张量积、张量场未予区分】7 C0 i. g% W2 c; V

& T7 X) u9 _# V8 j( F

sunsong7

9 L' C  a, H" G' B! M8 P6 v. R" b
0 i# ~1 ^4 u0 z, q! ~
7.2 阿列夫2维度的线性相关性$ _5 O, o5 [0 w' h! l. v6 v; c

. Y. [) p. i& M0 o; C9 l
" K" x" X! P) G0 y# x# F* r% }" U: _- v& G1 R5 q3 c5 T1 N: _8 l8 Y

4 g/ X* q2 Q& j/ A& R4 `
6 E3 o4 d' Q4 W% l
) _7 q4 ~2 L; M6 y- v! F+ |+ p  “智慧”，有一个重点，在于判断两种事物的相关性。
5 G* I# k  {1 _% y% L, }' p! h$ C9 O. V7 c) g% f" ~$ J
5 G) I  w  m! L
  所谓“关系”，大概国人都耳熟能详。拉关系、搞帮派、扩人脉、充势力，人际关系网在我们生存之地是如此重要。有人甚至说，在我泱泱华夏，一个人人际关系网有多大，他的成功就会有多大。$ y5 z, u9 {+ z5 ?

9 [, W6 [! B  h, a$ y8 ^* A; s. I' C7 ]# _+ {
* k# T  [3 |5 w0 P7 O1 i: `
: ^" I; \9 _5 Z! b- T/ V
. @/ a, |; U9 P" F

$ R; o4 j) c* u$ [: b* n* X+ n  西方人也关心“关系”，科学界对“关系”亦为重视，尤其是如何“量化”关系。
8 {/ q" y1 u1 t2 O  d- @) o4 b; U4 h! Z! A2 ?2 v9 s% I

9 {0 R% O  P1 N “量化”事物间的相互关联度，有很多种方法，其中最直接最显而易见的是“线性相关性”
8 i9 ], n* Z4 x" z" G% g' d: a2 p1 |3 y2 s: h7 _2 ]  k+ Z' s6 v
; G( u3 P/ Z5 f5 h2 N) |

+ h8 S  N2 ]- L* }: Z9 \2 L0 V5 F% p. a! S7 l

# {: D. u  N9 M) U! m* z
9 z( Y# A8 r9 E2 {6 T
. L' O0 t- m8 ]8 ^. T) ?' s; S
  f) v; V. V, K/ y9 r% t4 o0 k8 \2 z
" Z! a, {( `" s7 y) L& D3 a
3 [7 h+ B9 r% B  V9 u) y
, B3 E& H2 p, I% A4 }+ ^
+ w9 a* q* s" D  N6 e; f2 N+ s" Z
# o+ h7 b; z4 k- K+ g& e
( n5 v4 u! N, I% |) J  如果一组数据点，能够排列到一条直线上，那么我们就说这些点关于x和y是线性相关的，如下图：7 Z" p1 S4 @. M& ^' M* U0 H4 t2 a

" e) y6 k. c  _! ~/ [1 R4 Z+ @& e5 x8 T

' V( {* b+ f  u' H6 s  O% n* R
0 U* i+ @$ m4 Z. I9 K! @
7 X$ Y1 u$ n" m. V+ L
, B  |; y  Y3 M) t- C  一维线性相关性很容易辨别，比如一个苹果5元、两个苹果10元......十个苹果需要50元，幼儿园的小朋友也明白。
  j8 l  g4 Y8 A6 r" @1 p: B& b8 k5 z( y$ G' k7 a
" C& d1 h& G( [
  数学表达为：Y＝aX; l  Y# a' X' F' P( V7 p% w
2 ^; \- }' j! R# @. T8 ~/ O

9 K  f1 w/ G* ?# f1 S  其中Y为价格、X为苹果个数、a为每个苹果的单价
" M% B0 y5 k8 R3 x% g5 h; B* c: i5 X% a& f

) j/ Q; K% T0 f2 C: X5 p3 ~% `( t/ |) |5 {' y

; r  b' |: B& _- A. r5 m4 \2 }1 E" g- s

0 E5 B: K5 [% M6 |  二维线性相关性稍微复杂些，比如你买了一篮子水果，包含苹果和梨子，其中一个苹果5元、一个梨子6元。那么这一篮子水果的价格就具有二维线性相关性" g' G- Z/ l2 y+ I1 y7 M/ H; N
, w, E) i! Y; |0 @# F

3 V3 B6 K8 F- [4 I! O! ?6 N  Y＝a1X1＋a2X2
& a! u3 m0 E+ n6 U7 y1 w5 D6 o
0 ]& Z9 ]/ f9 V
+ |# N9 T/ F- c' c7 M+ `# O  其中Y为价格、X1为苹果个数、a1为每个苹果的单价、X2为梨子个数、a2为每个梨子的单价. k" p1 C' a$ X6 U# f+ N# ]) Y% m0 Q! ~

0 [* o" c, u/ p. ?& v3 `2 E5 s) V9 S2 d/ ~
, }/ W/ O6 [4 i8 _/ q

) E; t/ D" w$ I" a* j# B3 u: D9 T
; F! p1 F9 E$ O% ^, J1 l# O3 E* c: g. x$ Q  ]+ g
  n维线性相关性类似，比如你买了一篮子水果，包含苹果、梨子、桃子、西瓜、荔枝......橘子等等，其中一个苹果5元、一个梨子6元、一个桃子3元......一个橘子9元等等。那么这一篮子水果的价格就具有n维线性相关性3 J  v8 a  U. {# ?, g: e! H5 w
6 w: v0 V8 E/ ?4 k( X) O5 \
' Z& s) C0 J$ h" _0 n
  Y＝a1X1＋a2X2＋a3X3＋......+anXn/ F7 M$ D% ^6 L# L# A4 }
5 K9 Z4 S; J5 f# y9 S
, b) g; G1 |! E4 v
  其中Y为价格、X1为苹果个数、a1为每个苹果的单价、X2为梨子个数、a2为每个梨子的单价、X3为桃子个数、a3为每个桃子的单价........Xn为橘子个数、an为每个橘子的单价
( T7 [, y# g& G8 n4 \" w* d* J
8 q6 u. Y+ o5 L. R3 p0 I
0 X" j) e" a* z. L% N
* O. E9 V* B. j! k: ~+ x. L( x, I( W/ o& p* W6 y# o

0 q6 {4 Z0 J- V
( s* T. Z: k  u- G& F' d( e  当然，n维的可以扩充到无穷维【这是阿列夫0维度的线性相关性】
0 m: z4 D0 C$ o4 I* C8 d8 W" ^5 D, U, l# O) e+ s) t' a
  `- f5 C. \: V2 [8 o! n# g3 {1 I
6 E# ?. r' A$ Y" `: i" b+ ?

& b0 U3 C. T5 W( }
. U8 p  o" R. u8 s' a6 x& ?
) f! j. t% a+ x$ D
' M. `* d' K% Q6 c
' @* S+ m& I* K
& x9 n: t( V6 H" a+ S% c/ z5 {  @% e, u7 v( Q' o7 R

1 q  S. i4 K3 j$ y3 {8 M3 I  C. i- D
( u9 [" a" u$ J. I

5 ^  |$ d- \3 f% V4 q! P$ o3 c1 c1 l5 N' _* G' F# x; A

( q8 Y7 R# }) m$ z! F
# Y& m# N; ^2 j" h$ {. s( A3 j5 {
; _9 k- f' M6 d- C/ A' n* w( ^% Y% \4 G! k
5 P6 w7 x( l+ Y! q
; M8 t, I- w" i$ e6 i% T% K5 u! N' A, g+ n6 f+ [+ t9 B
1 s! j( M4 K0 D; _) H

$ q# K5 {$ F: N+ S4 a( ?* w
2 ^. L4 [( x% d- r/ P' [- E* M9 q+ N" C/ J# T* K
' B  c" D8 R1 u$ ?/ m/ f% L% B( K

: A; }( G; L: \! @7 F0 ^4 V: N# \2 j- P4 Z

0 D, j, u  E; @! Y: h
! Q1 N/ E1 @8 |- O  还有一种相关性，做投资的人会经常用到。比如你买了一种股票，每年的收益率是171.8%（取这个值主要为了方便计算），你是个长期价值投资者所获红利不取而是再投资，这样利滚利，那么你的复利收益率曲线将会如下图：9 y% Y) x- X, g5 G. g
5 l: ^; R& `. J( X; _# ~7 [
4 l! B4 Q% M, x& N& R
  3 g: n5 Z( Z' v# z# ]* K  N) p3 C
7 e$ C, t$ l/ l  i. P* u5 Y

* n, ?/ h7 j5 f& }  ~, t  这实际也是一维线性相关性，如果我们做个变量变形，把Y轴以lnY代替，那么它的图形会成为大家更熟悉的样子：
9 [$ H% Z, X, g1 Z" g* B
- C* N# M" Q/ d( d2 Y
. Y* }7 o( [3 S% W( i $ ~* }  @" d  c5 u( ]/ m( T1 Z5 P0 l$ ?
4 {1 X/ X5 x$ ^8 X' O  ~

1 |3 ^5 P, _: U% ~  b2 @5 y  这是最简单的函数相关性。
% \" n. l9 s% l7 {* H: c8 }5 E' N  y) R# u2 ^

7 Q/ h) b: |; ~' ^6 O5 D/ a7 u# _' x! U0 C" E% ~3 g
( _0 x3 c& ~0 k$ g

* z* b/ b# {, Z3 }* D' C; M7 r( p* Z+ d6 {

/ A( y# k" w; f) E9 P
( \; n2 p3 S3 j" n% u' \8 a6 ^1 \8 C% u& t; ?

  c! x: J% L; i$ V3 H4 C& t" S! y6 w" u% f

- n. [- @" C1 O, e& D* ?, y- l2 @$ }$ B0 _; t/ t4 d3 H
3 L  ^: }+ k, q1 |9 x
7 \: q3 h  R- A! U" G- N. ]- G& j
- U2 B6 v" j6 h- g1 X

/ ~: c: z/ H- V3 s  ?1 C# Q' q" K3 R' w7 I; F
  更深一步看，任意光滑（即可微分）曲线（函数），可以表达为∫f(x)dx
' s1 ]3 m1 W" q% c! A6 R4 N7 N
" D1 t: P9 z0 d6 ~5 A' q8 D' m- f! g8 n& ~
# ?. f. w; m/ ^0 X' t- _  记得有个老师说过，如果遇到超级难题，没有解题方向时，则不管三七二十一先微积分看看，说不定原本无关的函数，一经过微积分就线性相关了。
$ H* S3 o1 ?2 A5 m4 ?" R+ x
6 X! N( d6 E8 f) F% v) y" ~) W/ O4 X5 F/ k
  这实际上可以看作一个个无限小的直线段（微分dx）的线性组合【这是阿列夫1维度的线性相关性】) M6 r$ J/ E1 P( |9 K2 y' a
- x* ]' v* V3 p' T
$ i8 J% A4 t  H% Y4 @4 W% I
  用狄拉克符合可能更直观些，投影分解图像如下：
8 Y* }7 |- X. R( v% q* o3 f! b% g
4 O0 i: ?$ _% |
! B7 u+ Q2 R7 l5 J% j3 S1 P+ I' x+ q" n1 C0 i# w! w& {4 I' O/ W
  [1 V: }* F  q4 F6 g
" S% a9 L8 n9 C% j) c
+ i6 w1 K; O+ V, Q

4 H  W7 x. U  S. u1 y
: P# H) A: H4 g7 \+ [& a% N* I& B% H* l, w; ?7 E' s

* C( G. U2 c/ Y+ x! Z$ E: R4 |4 S' c  这是连续无穷维的向量空间。5 `- e, P" }/ L& n2 ^# N. y

' c9 ^3 }8 l7 p0 x5 w  q
( l5 Q( l; ^- T7 G7 b0 U  V4 m% ^; [# P
7 i+ p4 j) d. a+ u7 \
. y& J8 W$ o, \% j
; _4 I0 @" @) D- `9 t
) a& w. v9 m6 {" |: _# p: b* q/ r5 C$ R! {

/ b' {; }# n+ \6 {: z. f( w/ F6 D9 N
- E7 L  a' \0 D/ I2 A
" q' g4 K1 u& u" N
& ~2 Z! A3 V1 [8 ]4 c
; J. A7 O; R& u% \" l
& H, }# u% q/ y8 k# f

' h1 S7 F% i/ p$ P4 Y
0 [4 @8 y7 p. D  s3 ?0 \7 u
/ X" E3 k  n  d* v, u# T
" C2 D8 R5 j. \/ ^
6 I) k6 ]9 T2 E) B$ q
( L6 `* g9 m" P. o3 d
' e. I. G2 x& j# U& b
! W/ G- p9 g* p8 D' j   还有一种更为复杂的线性相关性，即“张量”。
; n0 h2 f* V5 i' C, h0 a
/ U' j: x2 M2 s6 V8 b0 k  v8 }9 x. Z4 v1 T5 s' o
   比如你买了一篮子水果，包含苹果、梨子、桃子、西瓜、荔枝......2 U2 U" p' D# b. V
: b( V  d2 |. C& d7 B. [/ o

( U6 q7 T# F. ]* i1 @0 W4 T/ p2 `" A4 v   其中，苹果分为红苹果、绿苹果、半红半绿苹果......
! j4 U* Y7 W0 c; ~6 Z; E- C1 N1 E' o1 b/ v( p

- T' T4 u8 `4 P: g6 K   其中，红苹果又包含大苹果、小苹果......
  u8 Y1 B, i2 d
' O6 S6 b1 ^, U' s, y
; F! F6 i' T) S' V. g0 K# w# G   其中，大苹果中有些是新鲜苹果、有些是不新鲜苹果......
! G* D7 ^# w/ G& a; n  z9 J8 X: L- H% k% c6 \+ m

, k0 D# a  F, q" G/ e   其中，新鲜苹果又分为南方苹果、北方苹果、美国苹果、泰国苹果......
; X! g6 F, N0 h( y% w6 W$ X' p% d8 v1 _: w

) D4 ~# r7 Z8 h5 |$ f" ]7 _! j  t& C   其中，南方苹果又有甜苹果、酸苹果......! U( u  m! g8 H6 b; O
& i. |$ |6 u6 ?8 q( O6 d1 j6 _, z
# n9 D" @* H7 u" d
   这样的属性细分，是可以无限细分的
: X5 ^. [3 _5 A! V5 ^; l. Z/ x; K9 E& I, p8 I

$ `* Z/ R9 o2 q( R& j   ............... @5 m2 H- f$ N; i

2 C$ O+ K% b4 t& V- Q
  @3 F# B7 N/ V( [! h# _+ b! {  k; G6 ]

1 y! B4 d1 i  A( A+ }( ?/ t* [4 I0 F

; ]( _& d$ _% _  U1 x; `   其中，梨子分为红梨子、绿梨子、半红半绿梨子......
& X' h/ j: R2 y1 j4 b
# |+ G$ g) A7 X
0 y9 R) w' ?' \$ ?: b. Q# J. w   其中，红梨子又包含大梨子、小梨子......
6 a5 J- m# E# ?0 s( T! I* r8 F
) x5 `! _! v: B- U: _, X9 u9 k5 p. R6 a9 u
   其中，大梨子中有些是新鲜梨子、有些是不新鲜梨子......
0 C0 Q0 K! C( W$ g- `* Q) e* L5 m! H# D8 U/ U1 L1 v

" R- {2 y8 a8 E' J   其中，新鲜梨子又分为南方梨子、北方梨子、美国梨子、泰国梨子......7 N2 c6 g8 c9 j* Y- s1 L
3 Z7 R, e9 x7 ?& C5 a! M
8 K  V$ B+ f2 D: B3 u! M' U
   其中，南方梨子又有甜梨子、酸梨子......8 U: H1 J5 Y( {# U
4 @: L& D0 R% C. K  M$ [. I

2 j" L1 ?6 g; b2 M2 o   这样的属性细分，是可以无限细分的
9 ^9 t( _" h/ N# @% r( t6 i5 }, Z5 E5 ^+ f" Z1 b$ [8 k3 X; w

. L1 {2 d$ _9 w4 A; D2 J( k9 Z   ..............( N. o6 m: S! c8 T

  v6 X2 ~. x# n' j/ Z
/ F# S5 w4 g7 o* S4 m: `" X  F3 z5 ]; f: Y% Z9 P# u

6 S9 A8 Y! ?# [4 I6 a8 S, f/ j2 N% I: A5 u
/ }7 o+ w, o* U& b- m0 r
  、、、、、、、、
/ T) u8 L( L' R+ Y$ j1 r: @- H
9 A2 [5 @% L5 |4 m2 g. G! c3 i
: e& x" J' u5 P. c# R+ ]4 t) u& }7 ^. W3 k" i
; X" E: F1 o0 J) k

9 j  ^# L7 T9 O
! d9 E% a: ?9 `2 E  P' e; w   这样的种类细分，是可以无限细分的6 k( N5 c( g- a

$ {3 T4 }# P& p5 f3 J4 i& s) H, b$ T8 ]5 `- [1 ]2 Q) O) G

) s" m# V, g' x% j1 ?
% ~" A0 |9 U; H$ K- x( W6 R0 p$ H; l+ n0 o$ o
- B. R3 V( E/ s
  q1 }" E' F% G3 \
* h) l3 r* I. y& b, u  e

- k3 Y: ^, @3 Z/ f4 {; Y2 o* G& ~, s
   如果我们定义一个红色的大的新鲜的南方的甜的苹果5元......一个绿色的小的不新鲜的北方的酸的梨子2元、、、、、、。那么这一篮子水果的价格就具有“多重线性关系”
) ]* L  Z3 R  [8 `5 G
# C: N2 `+ h) n
% `% b( G; P) q8 q2 O  如果我们把水果价格定义为“张量F”，水果的各个种类/属性的单价定义为“张量M”，每种种类/属性的数量定义为“张量A”。则各个子属性分量具有以下多重线性关系：# w( V& O1 v& ^
  k8 _- [0 S9 I, {* S3 u
- r' J& H; y% S
& D4 q; w2 b$ \% H- V1 `
6 W4 b/ _: F4 x
0 e) t1 L' p1 b' \* [/ D+ y1 m
/ B- ~# b) s3 t' k8 H- y0 J: \% h

' j$ E: O* {1 X' v
" T- G8 P  f5 t# B: [7 P" v, O* ^; c& t! ]! G8 a
0 t$ N; M9 E( P8 k, N3 |6 d. Z
0 F% k: I: B2 ^4 H' C7 Z" l% E
4 S6 M( _/ R8 T  S9 a

. \$ @% P- N: j/ U5 o! x" X1 r% ~7 \; J1 k
- w, y  i& H2 R+ Q- f6 [. m7 ?
3 Z! I, o+ b, y7 F4 e7 z& x

  a# \0 s3 d0 I( u2 s# F
! A9 @' R6 j  r1 s( A3 g   初学张量的同学往往分不清张量空间和向量空间的区别。
" K+ [: F. B% v' P$ e$ ~, M
7 Z. v5 _* A  a- c7 b: }( I
- [! b7 H& ~& I; f   似乎，无穷维的向量空间完全可以表达高阶的张量空间。只要把张量的各个“子属性”等价映射到向量空间的“基矢量”，向量空间和张量空间不就等价了吗？
0 X( k0 g* W% i, R% G5 i5 ]6 B# c! {* ^- I% R. T

: a) ^" a1 n" G3 J' |4 M" ?   何必脱裤子放屁多此一举，再引出个忒麻烦的张量呢？
6 Q; [  T  L; M" q  T
6 o$ d7 R8 _. W$ d
, j* l% R' B" ^- J1 U) e
+ o, L- S2 y+ K
+ X$ G3 g* r, k+ N) H, V0 g$ ~7 Q- c' s! h4 J$ N% ]9 m' D

; B7 d- [2 L2 K4 ?) o& H   因为，请注意，根本区别在于：张量空间可以是阿列夫2以上维度的，而向量空间仅限于阿列夫1维度。
  f0 B8 X1 p% }' f% E" s- N; x' k- p) t
( I! @- a( R5 W+ J

' E3 ^, p: ?, [* D9 d. y0 a
* e) _! v- {2 E- D; R2 P8 @/ i2 q8 P. L1 F# f3 L% N

9 U$ L" g1 N1 ^: S$ W5 P/ @% L   比如，广义相对论中测地线方程的导出，就是利用偏微分的多重线性相关性。与微分相关性不同的是，无穷维偏微分多重线性相关性的表达式多达‘无穷大的无穷大次方’【这是阿列夫2维度的线性相关性】
4 U9 _: ^5 V, w9 n; b0 ]: I5 [) p/ m5 t% v# ^% {) a: C
3 _. o5 @9 q# m- T
/ _, t5 M' s; ?/ Y" o
2 N" P8 F, b9 x, [. t0 a
6 ?( m- a) b5 v7 R6 y
4 W5 c# u- D5 r8 T7 ]/ X# c

9 {5 C! o0 X; s" X' ~- R' ^- s( f
% Z  Z& l2 a9 K' m8 I
/ J1 S& G7 W6 S8 ~& V! r
2 L4 e' {/ K) t1 D1 m  D
/ x/ p! ~2 E$ p1 `0 X. a
% I  V0 c  R1 G( t+ g7 A
. o) r( R' g% f

; |" B) c$ f/ g) w/ Y
0 G4 d2 Z! j; Z% h6 s' E4 D% b# k$ k0 f+ v& y
7 m" q( J8 t: `0 h9 S
   我们知道，以单一性质的同类定义的向量是一阶逻辑的，而具备多重线性属性的张量正好对应与高阶逻辑。) F9 f' P0 t, h' [/ v* Q
+ f; j* C  q- c9 X0 Q
5 P1 Z' [) M5 U1 F! f, s: `0 g
   所以说，一阶逻辑不能替代高阶逻辑。高阶逻辑意义广大广阔广泛得多。
' g  l& C' g! P
# Q# [& A+ v( @. T/ L( O% W" A+ }! c: X# I$ O
   如此广大广阔广泛得多的东东真心值得探索，后面细细道来。
1 L6 ]( ~5 F, x2 O# m  S1 q/ f: C2 I9 `

sunsong7

7.3 多重线性关系
0 ?( r1 Q8 O! C# U) F2 A; ^% t
8 c% q2 M# N! b& \. @& w9 \# S1 E

5 \1 z# g) h- A* K3 M% t2 v8 U0 T2 q1 E$ Z' ]: g

1 D! F0 C, @. [: ~/ [7 o- k* Z& ]! g& {2 {0 D1 j
' ?. N8 ]$ V0 f9 V/ Q1 ^) V) V) p
1 n2 `6 d# R3 V+ P) L
" v. u# _7 G; n% C9 X0 L9 d1 g

8 U$ f$ E9 n3 d0 V1 H: I  未来的某一天机器人会不会替代人类成为文明的主人？
1 v+ a1 \& p7 [& ~: \, e
6 X" o, Y5 A0 N: L$ U9 M
7 `5 {( h: R* U3 J( o4 ]  由于人类知识水平的局限，我们即无法证明其真、亦无法证明其为假。4 z3 c  O9 U, ?, g! J; G  W$ U

! ]/ ~( }% C, i
# l: a9 R/ p9 o0 z2 v  c/ }: V  这其实是一个人类认知所无法判定真伪的“不可判定命题”。& x9 L% N5 e! U+ s

( S2 X; G" S3 m# p3 i4 c% F
5 |% Q, B. \# i. s3 x7 a  也许，关于计算机代替人类的话题，目前还只是骇人听闻的哗众取宠的龙门阵。
- P4 K# \$ @3 ~+ F& B4 B# Q
! w( X6 P+ |/ P% h$ v. q" s* Z, o- M1 {& G/ G
' E* R1 {5 |& U/ Y$ [

( H. C3 J9 Q  ?+ }; L* {& `3 v  r4 _, X! ]2 @- a7 w
5 C5 G) l1 ^7 M1 `3 F- X' [
  但是，我们可以确信断定的是，“智能爆炸”的时代正在到来，人机共生系统在可见的未来将会得到极大发展。人类的生活将会越来越依赖机器，甚至如果离开计算机的推演辅助，人类的思维很难从一阶逻辑向高阶逻辑突围。
5 a9 h3 P  s% V, `  ]
, l8 v: a# i% l' j1 V7 {7 J# l# O3 _. t6 g3 g+ q1 G4 A9 ^
  在普通人看来异常复杂的高阶张量，用计算机演算却非常简单，只需定义不同的数组类型，然后将对将、兵对兵、钉对钉、卯对卯，对应代数运算即可。
% `/ K' O+ F1 S. O& ]. q& e1 P9 }( b0 x6 v

  s7 r  r: Q" G; T6 s  比较打击人类自信心的是，以张量语言而成的相对论对于绝大多数普通人完全就是天书，因为普通民众很难理解其中张量的内涵。那么，通过能够轻而易举演算张量的量子计算机的辅助，人类可以“理解”到其中的高阶逻辑含义吗？人机共生系统可能因而变得超级智慧吗？？
$ j" Z. D- F7 f7 ]: x* ?6 s* K  Z+ k. }5 T8 L- N/ g0 j
/ g! w) a' A( G" B2 H: C

4 S  {0 R6 @5 Y, l1 I8 R. q  }$ N& v) r' n
3 v  z! w1 T' y
2 E9 o, N- q, D/ p, A  S# ?
" \( P. b5 D  v

! @1 n) x- \2 L7 D7 N: O: _6 n/ |% O+ R) u
, c' @4 z/ _/ `* l8 T" G
   基于无穷维张量的量子计算机到底有多么强大，可以从其无穷维‘多重线性关系’一窥究竟。
4 ~- ]! m/ ]: K
8 R1 F/ }3 n, w, ?0 Z8 u) ^% }8 F! t+ z. X" t

4 C; q5 H8 X( W2 y! I3 x% Q: Z, g- s' |: R5 P7 C

! w: I8 y7 ^' @2 C3 D/ L8 f4 }, y8 P4 K' g2 H( g& Y
7 H3 q0 n. @. {
! F5 e7 Q( B2 B- N( A, g- B
, `5 Z. ~# j# G9 o4 [& n: i

+ L4 b- V: y5 x# ~! v1 j   先从一阶张量（即‘向量’）说起，向量是向量空间的元素，向量空间即‘线性空间’，满足下面两个基本数学式子：
6 S7 J8 c% t' i7 t' i: B) w5 ~' x$ z- @6 |) e0 L0 f
& }  J# D* X6 M. T
φ(x+y) =φ(x)+φ(y)2 ?% i  o5 e/ k$ Q

% K+ y. |6 ^% D$ z2 r( }, y. g7 ?- C# h, S
φ(ax)=aφ(x)
0 M3 K; a( ]8 b) t1 H1 z2 ~6 Z, F5 q4 U/ Q8 ~5 R; i

8 m8 u# k% w, d% a6 s   形象理解，x、y相当于元素“种类”，φ是某种“属性”。当一种属性作用到一些种类时，如果满足‘叠加原理’（也就是上面那两个数学式），那么具备这个属性的空间就是线性空间（或者叫向量空间）。# v* E9 D6 B( t0 D0 E; H

. ~% N' C" }& M7 T6 [  I$ v" n9 T
# m! [) L" e* [- L: ]+ G4 d   ( ]9 K3 e. A$ z5 a, U/ K

6 W4 a( a4 H" a  t$ G7 x" H" \( L) |  x5 v8 m% \

. e# T4 i8 _% `) M/ Z$ k% Y* i7 j" r$ T5 G0 V/ s6 V3 v, |: U

% O+ g7 H- L% m8 v) g: s
! j4 t: w  V9 s$ u! j4 R2 T" B& e
4 ]. @6 ^! F' |2 B# b( M6 I* E$ C9 g4 ^

8 o( d( I( s2 e5 |3 Y$ c
7 n1 L9 E  R3 O- }
5 m% U4 @' f4 ?0 F5 k7 I) _
% y, `; S7 _$ G- l" b* e9 s7 S& }5 \; c& W
1 x  N. e5 u, `* r, }

$ Q; e2 D+ y1 ]+ G0 y
# v. X+ b7 u; c2 D
+ }0 [3 K; `. G
& j" u$ y% M* ^
; T% l$ p8 y" Q. l5 }/ m. w+ t' O6 Q7 P! }' S
, ^, u0 B& {, I: q1 l" W1 g

  A) L: j+ J7 w4 f1 ^5 Z% i0 g   向量空间的元素“种类”可以很多，但其“属性”是单一的。如果我们对向量的“属性”进行扩展，比如具备了φ、ψ两种属性，满足：
* H9 j0 s1 c: X
9 K- o+ ]8 Z$ N. {; `( w; [, o& Q3 z, c9 b
(φ+ψ)(x) =φ(x)+ψ(x)/ t9 ?0 ]6 ~2 u
! U& P, s' o5 V

" F, `, j: b( K(aφ)(x)=aφ(x): ~" N+ b5 T) C6 O7 r0 S
/ _7 g, \: J5 R; W

# H" Q) r+ {' H$ f: m; v; \   那么，单一“属性”的向量就从一阶张量，变成了二阶张量。数学表达如下（为书写方便，定义b1、 b2 为属性，a1 、a2为元素种类）：. Q+ h! z& H, m0 C& e& a% {3 Z
: Q# }2 J% y7 m6 l% w9 O+ E: Z: @

8 u/ E; G! K" g8 E; c; K+ i3 s% N# [

8 ^/ d+ N0 g8 ^4 k
! q0 {8 n0 w+ l& Z" n' ^
5 ^% z+ Z% ]( E) O% B: b7 ~8 e; z7 S6 z. J6 j
! d% q5 y1 Y( e' O4 A3 n- I

4 R5 r3 V0 w6 Z+ p( e) F, R7 c/ C8 K3 f2 _! N
   % k+ v% I, C( I" K& v/ t6 r

9 ~8 X1 l1 ?8 k3 e4 h+ n: H3 a6 n" n) L4 F/ a4 g

, T/ P8 \' q/ k( j" u3 D8 w; E, X- H; `& `$ I, g$ d/ X( n3 D
8 ?# u% A9 H. Q: G
  s, B, p( ?3 m: Q: g
   更复杂一点，可以定义m×n维的张量：" I6 Y6 k$ w4 E' E

4 G/ _0 K$ F& f4 N4 Q# _9 {( V! d8 S% z! W. p2 ?- P) V/ j
- ^7 f/ @* r9 ], B" S. `  f

/ j+ [6 w1 G. T# L/ I- B# v
. h% u8 U5 e4 b
" m' B, a) F* N* Y( p6 t- F  i  b8 J$ ?0 f( Q

2 ~: U0 O! u, ^; }+ E" x" Q
! {9 N4 b) O- L, \9 z6 Y$ x/ q" n  [# o1 O/ R# o+ R% \

& C/ w% P+ P* h% i( A
9 M* L, |7 R) ?1 e) M: g: x$ C% A, G9 z2 F
! O1 e; ~$ s4 i- f
& d. R$ U7 h" b2 q

5 l- ?6 J2 s! V- |
5 ?5 D6 X7 ~' \9 k: [' @. |0 ?: ~* D+ w
  注意，上面两个例子都是矩阵形式，即二阶张量。张量并不仅限于二阶，还可以扩张成为三阶，象立方体的样子：" E7 h1 S0 i1 ?4 w' j6 d6 v

: @, E* D9 R' X9 [) [5 q" G& H; a) U+ d$ g
* N) R( E$ l5 z. u# G

7 l& M$ ]% B1 M
( M, R  J$ n3 v" Y7 j3 y# N
5 K" g8 {" w  D: l: e+ ?: t( j; W9 `# i! m( T

( _9 p* M) [9 F$ c+ [8 o5 {1 B- q+ ~" A) o5 W2 S

8 P9 ^' [3 R. A+ o: I& u3 H0 [) A/ a3 U4 O0 v3 R
& |4 [7 r+ m7 ~% v+ y
9 w$ h; x" O9 F2 L4 D0 r
8 E0 g3 z0 g# |( X9 A
/ y5 b, R9 `* o9 l2 L

! G$ S7 F, }( W3 }9 y/ S9 v
9 ^8 R- ?1 N: W: G( U0 C3 V( C0 F* O# N. y5 r5 y
   并且，还可以继续张量积到四阶、五阶......无穷阶3 e7 I! C0 z1 J6 q. ~

  d! W4 m8 D1 r- r
5 F. ?: [) I4 g( S+ O/ w  b1 f1 ^   （更高阶的张量画不出来，嘿嘿，只有自己想了 ）) X" V9 ^4 I* t, B0 c3 Y1 ]
( U. e* K/ r( |2 ^0 e# L
- L4 U* c( z- B5 Z! g- j; W, F6 I5 x
0 g5 g5 Z3 i3 M- o5 h# F
& Q8 Z5 w7 }$ ]$ W$ F' s
6 N* q2 e! I  `5 z* l# i2 U

0 Z" `$ e  [1 J; F( U& b   形象来说，张量就是“高阶向量”、“超级向量”、“广义向量”。因为向量只包含单一性质属性，而张量包含了更多角度更多属性。
% _$ D2 c% R5 Y& O
7 I6 j, D* _* I9 _6 ?  Y8 d5 ^/ N7 j5 g- L3 k* L! X* I  f, k

( t" ~1 H2 k  P0 y2 J+ E$ ~% O. j2 S
) {$ u+ J; P1 [9 U' ~: J% t* L" ^, i' G& R; K
% V" c+ @. d* s: h' I0 H/ _
5 u4 D2 ]/ ^9 M" ~% ]' V

9 z5 T( \/ d# R
9 ?. J  ^  i) t; `  X- F5 u7 J4 T3 i2 j/ \) r

# ]6 Z) ?: j6 W3 M& k1 b  S1 j" i+ r3 }  U
% i2 m# u: {* B2 `* p

1 P( B4 M9 u$ V8 z  B/ o: ?) j& t/ N  {$ a# T7 b) h9 `

5 a: p5 q5 {! d4 k0 a
+ [! a' w. o( D4 v
# K) g% B" K% R) H2 A  H0 e: J1 W1 b5 @* d+ A/ x8 [# N* N( T

( Z4 r8 j: @; @0 B4 r& [$ j) y2 H$ S% ^! J! Y

- G! I+ x+ d! n* N# w. k
% d9 }0 g6 [# G
' \. ?! g9 a# H( [5 w
  Q% b( i% X4 `. r8 k" t2 {0 T, i8 }9 H6 W" e
# F* |& a! R5 d8 F8 e: [" {0 ]

4 x0 L! H8 F) P# z* v, x: i9 T; x! p& g  X& A8 I7 l

% q; e3 m4 K$ F  `5 \( W! Z' D7 C8 \& l* X" }8 K- s& Q1 ]' U

" x1 l2 V( r, f5 t' y4 R6 ~1 X' v+ f( ~* r% i4 `+ H- v

& e4 I) a  F7 N$ O5 k, u+ ?4 K- _+ f3 _, l1 w

6 L$ |1 T; V1 O8 W: Z
: I) ^8 P7 T) \3 N  e& B2 d; Q6 i1 G- C
   对于初学者来讲，很容易混淆向量和张量的概念，特别是在有限维的情况下。再来看看张量的数学定义式：, R- E9 R: Q0 `2 K9 F: U
4 m* M9 `5 O6 b2 _; W) }

" F: ]$ q4 z0 `' f$ q(φ+ψ)(x) =φ(x)+ψ(x)
) D, m; l5 t+ k$ a) N1 b
, P0 e2 g8 r( |- j$ D: P7 h  V) M& ^% X
(aφ)(x)=aφ(x)
7 O7 f+ Q" d1 q% X0 G5 Y5 f5 _/ K: S% S9 D5 i5 _/ Z

/ f4 r; `, {+ U$ o& v3 d   上面两个式子，很容易化成下面的一个式子：/ o# ~5 K5 k+ a& A

- _& U; n( C4 j& X1 J! ^  c4 ?/ t& p( u
(φ+ψ)(ax+by) =aφ(x)+aψ(x)+bφ(y)+bψ(y)9 S6 j1 I" I" l: q/ p1 i5 T

. {$ \2 _8 @( C" J7 T0 X% {
, O1 `# H* k, J2 X; K" g* ^   咦，如果把φ(x)、ψ(x)、φ(y)、ψ(y)各看成基矢量，这不就是一个向量空间吗？
* E& m  X8 E9 M: r1 C; I; r4 x  g+ d5 z; J
9 k7 h$ D7 v! i8 Q4 _: p3 a
   乍看起来很像，其实不然，因为张量空间中的 φ与x、ψ与x、φ与y、ψ与y 还存在单一属性的向量所不具备的更深层次的复杂“关系”。* d! Z5 W) r" J
: b- `$ f: O, e
1 u4 t6 h0 Z/ g6 j9 B

, v4 h0 b( X; U$ q+ W; p) Z9 E5 n3 ]
* A- q/ K2 ~$ a9 L% k# a6 p7 Z

5 ^, u$ K  Y" H
2 K0 d% M# x0 ]0 s" p+ Q8 k! H: _
5 F% J( [* n% a9 {
9 A$ m, B. I* O8 s# U, A
# M6 y* U3 O! p# V; e! D
: I9 {! f+ F, X) }
2 ?+ {1 R5 P0 G0 \; }3 {
1 I! P+ x5 j0 Y$ E) Y- t( T% E
; M! n9 r0 t2 y1 ^# |% S, M  [" N+ T
" A4 j' w9 M. @* [) q9 {( }1 J) K* k7 t& `& D- F% k) x8 T

3 }- A) K# n& R$ J3 l9 h5 b7 T
/ j! I3 E2 h! n; j- ?! |
" W4 S9 P* t( q, b+ {
4 L  R5 k8 \" `/ Y! @/ _" `6 R0 r
6 D, o/ Q% [: t5 S- e; D4 D9 q
; e. A% t4 s$ `2 Z; Y' b! z5 e* `( ]9 K. t; W
6 S: _- h8 n1 r
$ k! s. m4 }  b5 z
9 C- [$ [# R, l0 R7 g
   关于“属性”和“种类”的这种深层次的复杂关系的量化，数学上称为“对偶空间”，式子如下：
+ |, y4 P! y& k
8 _4 i' S' Q0 u0 A2 a7 L; w# I% i$ ?) ~# U7 g2 `& g
(φ+ψ)(x) =φ(x)+ψ(x)
3 w) |9 S+ `$ W7 [# W$ @8 B; F% @6 ~+ ~+ f2 R8 y' V
% c' Y: i- A" D1 }2 h* o  s# Q, E+ _
(aφ)(x)=aφ(x)
3 Z* g6 t" N" R# v, F8 `
% [% c/ m+ W* \& G& I( O
/ A6 E0 o: o3 a0 ]; Y   其中，任意φ、ψ∈ V* ,     任意a、b∈F,         任意x、y∈V8 W6 f& }" O, w+ V0 p/ z# w

! j3 M5 I% L6 l1 E& i
# a+ S. j. j0 `/ n2 f& ]( o# f7 I  P' g  F+ {
7 j' @9 R' C8 u8 @4 E* I' K

8 Q! i, k% @2 @% e: [# a% J: P( @" `& w& `6 T
   请注意上面‘任意’二字，这意味着“种类”可以有无穷多个，“属性”也可以有无穷多个
1 o; W2 i* s9 i7 G  d1 ?7 S1 P9 O% Z  m$ l5 R$ {

0 V) v, V0 e4 g5 L5 \3 y   为了表达方便，称x、y所属的V空间为原空间，则φ、ψ所属的 V*空间为原空间的对偶空间。二者单独而言都是线性空间，合计的张量空间满足‘多重线性关系’，具备多重线性映射、多重线性属性。7 i' l! s: d  }0 m# E
) E* G. x, U6 c# H
- l- w# H7 `/ `1 ~4 ^
1 p! i1 q1 @5 r% U6 z, H: W- u: M/ o
- e9 R3 q+ j3 R" ?5 S

! O( [& ?! Q1 [) I; d9 C3 ~# R4 [, d, l8 ?
: o" v: m* O" A  i% B6 e

+ y1 N/ l0 U) K4 \  D6 Z
& T% G$ H9 A! g. B+ _( d8 h+ u7 b4 h8 B$ Q& Y6 P9 F+ e4 H

7 |& H* I/ k1 R
# A' d9 @# m* B2 v( Q3 x
" h1 U) P& w& {5 ?& `2 K5 g6 y/ m! K' B

+ ?0 p0 k% _( E. K, z, G& ^+ G# K1 P* C7 @! V6 j  G) P2 @

& S; f" D& A  Y: f6 B/ g4 p7 s
6 C1 w) v- M# V$ A. M* R1 [. {: m$ Z5 U
1 @9 l/ H1 e9 }2 |

" T/ `. F1 H2 F7 r9 t
0 s, y) s# V% a4 a. G# j/ [' z
5 C& r% b& t" U3 c8 H- ?3 u/ S- T/ g7 N- I) n2 m" G* {

3 K- |" s" C2 i+ ]  s- F; X' @/ X& n2 ?
5 _* q; l5 Z6 J. e, ~) R/ v1 P
: [8 F! d8 N5 }5 ~5 m% O6 U, h
: n& e# a8 h, m5 l

/ }* \* X$ N4 K  l7 `: q
& ]. c4 }* I1 |' N( }6 c3 O  w1 q3 C) M! x% {. U

! K& f$ g2 k* _. W9 R
# T  h- |# l1 y
4 N, X% b- q8 Z  T% U+ {' p* h
2 r" T; t" \6 ~1 b5 w0 `6 o
4 Q" F" o5 _& v- S2 L8 ?" w6 x  U5 n" z

: L2 W+ B9 {6 h5 ^! {+ E9 ?: J1 j) ~: \! Q

- R! ~) e# `& ^" v. t. ]; m" b: x% ^  a( l( p0 F* U% J8 o$ @
4 V1 u( h9 ]7 B

5 R  m2 K3 p( f0 l4 w7 j
0 x4 l- c6 a( X
  H3 E4 d3 c' Z. H% ?
% O7 e7 p+ h) w; o! G  S) F% s& |' y9 }+ q5 V+ W

1 c4 M% H& j2 Q4 M: H- h8 Y  H- q: |. w& F
7 o- K2 x$ B: l; C

" P' Q1 o- T0 K7 \) m& |  J! m( f( ?' O
; G2 Y: a' W* j! ~
  比如，你买了一篮子水果，水果“种类”包含苹果、梨子、桃子、西瓜、荔枝......$ J3 T. z0 A0 ^
4 |: X/ A/ ?  G( J/ a0 R7 R1 }$ K
3 m$ ^# b* i/ `! u9 A4 h) {1 P
) r: N5 H- p/ Y1 h* e
( l6 W2 Z+ d, a8 v8 N
4 C2 U' G, o) T( }0 E

2 i: ]6 D9 N6 B' X% I- _9 n8 y5 |$ H2 u& M) N/ C5 Q
/ A0 P! X( ^4 c! y  w
" K+ v0 D5 w, a4 [! P/ v

4 e% u3 y4 a: A: q/ w+ d$ S) [/ i1 I( M8 U* R. q; T
4 v3 e3 q6 w' k1 S& a
" z* l; u7 |7 J

7 [) o- q) \7 U. b/ q1 g# }. M5 z1 i0 |  W7 ]. |( O, R4 e2 n- n: j# K

: Q% @% i, W) B; P* i, W
: _( o6 \; I# I
) \" Z0 |" {" `$ }' d  其中，苹果分为红苹果、绿苹果、半红半绿苹果......  M9 Q2 H( K) u% k$ r/ Q
2 E) b" Y- S& i3 h5 K& C* S* a
6 @( q% \! m" ?: F" b
  其中，红苹果又包含大苹果、小苹果......$ I$ B$ s" H* U$ O. W6 H: p+ ^7 ^' p

5 e0 f4 L& y0 S! y
- G8 p5 @6 P% |. b% q: Q2 W  其中，大苹果中有些是新鲜苹果、有些是不新鲜苹果......9 g% N: Z! `  j- g
4 u) |: u+ j/ k/ R# o7 s2 s

: f) t6 C8 l! g  其中，新鲜苹果又分为南方苹果、北方苹果、美国苹果、泰国苹果......9 V* v1 v) Z: h
5 C# I8 \; h. g$ W( R
* P& a3 ^' w, U2 m
  其中，南方苹果又有甜苹果、酸苹果......) s1 ^1 k7 V8 ^; g

" o1 N6 I5 X' S' f# F5 g$ C, C
2 |8 B8 c2 n/ n0 g+ b1 V3 f
1 z) c' D5 F3 [2 Q1 K5 y& K/ W# j

5 x/ s$ ~/ g2 u! @( H3 [2 M
1 Q9 b8 ?1 {) L% q" ^9 w6 A  这样的属性细分，是可以无限细分的
8 {& s  y( R# q6 \1 r' L" p% p' c
2 v* D6 G. n+ Z6 [/ k
/ e7 l) R7 p6 n  ]; Z
* m; h) G1 U6 A
$ A+ T  l" o: _# K2 Q; t2 n
/ _. K) [! T8 H7 X; N, w8 ?- }0 a% w2 U' ^: m2 a
  ............../ t2 d( @1 k9 R* g

, i4 P4 w$ m2 a1 b# }4 V
& N0 p! M. r4 J, x
( Z& k/ H9 [, I5 z+ _6 [& n( ^1 w* H( N8 {+ w4 I5 Z

  H- w$ v7 x2 h+ ~0 e" }* m4 u
$ v/ D$ Z+ v+ d/ L; M. ~$ p
9 F- Z0 \" b- r4 W" D, v# B, t5 ~! n
- u- S$ ^0 m. L4 c' K; C! {* D; j1 _0 Q
% |9 d4 Z* {' |8 b7 Y
* F- O; s" Q: D. l+ |

" a4 L- r! `# V1 E' c
2 |5 U# p/ O8 O' W+ e( Y. b- u7 E% }. J. b, b
  其中，梨子分为红梨子、绿梨子、半红半绿梨子......
5 N5 H2 B' o6 t3 {/ d) d7 V4 w; q  @% B3 c+ _9 u

$ X1 f0 J5 q) F4 u  其中，红梨子又包含大梨子、小梨子......% [! Y) _  J! r# X2 {/ b2 L3 x

6 M) A1 S& p! t$ i. O- r
6 C0 W. t# y1 A; X: U7 u5 |  其中，大梨子中有些是新鲜梨子、有些是不新鲜梨子......
" k6 l" [4 }+ k# F( X' ^% q6 e
3 ?2 U: |% a6 `# w4 u/ i+ v9 _
! p! y: e5 b6 b4 u1 Q, h  其中，新鲜梨子又分为南方梨子、北方梨子、美国梨子、泰国梨子......# e( p& y/ f3 N/ Z- l6 @- M9 h( T

' T0 O+ o; D3 C5 j* |0 R0 X8 L: D( `0 R* L# m0 f& l
  其中，南方梨子又有甜梨子、酸梨子......
# ^- P! v/ v" n" u
6 d! f: l$ j- a; m, }2 a4 o6 u, v- [5 k* G# m( U% P1 o) c0 ^- Z+ S  b
* `- J: k1 g) h5 @; Q
( `. I; i' U) B0 k2 {$ ^8 {

6 Z  C. V; _; _$ x! n9 z& a1 F% h& o9 S6 K/ W6 l
  这样的属性细分，是可以无限细分的' d$ R$ s6 Y4 ?% ~

: R( o4 l+ j! p- F7 ^( |. o: o; d+ q) W6 p
/ c- B! H# ?$ V/ _) t( V
; g0 A* v6 \4 _+ E  A

+ q1 i& j1 S1 e0 b! J7 Y5 d# ~& M( i0 J! K* ~
  ..............
6 _: \' L: @  ^& b% M! |' \4 i7 u* m0 n& x8 i, w' D' `2 _
: ~) P. S0 h) T

; V( F; \4 Q4 L* H" w3 _
) l# r6 ]" X) c
6 q& w1 {# D; s/ I5 x/ V
8 P$ h* p. v2 L( e5 e4 P; e" Y1 Z* r0 U- L1 E  l$ Z
1 v+ f/ J1 I5 ~2 M0 K& Z
+ G9 f/ }1 r* ~$ I7 Q" h
- P% I1 h. @4 p+ o9 W

7 a0 w& _$ w" o$ ^; M6 l! X, O0 C
* N  s5 v/ l" v/ O2 v( a6 [; p! Z8 X* Z7 l; ~

7 S  c2 i, z! }6 q. `8 { 、、、、、、、、
3 q6 S+ d% c% c! ^
) J! e3 E0 g% |: N  `. o
& x3 d1 J3 t5 b# ?$ z! K8 I$ r' x+ x7 E' }

5 _' }7 Q3 Y$ t8 I8 Y+ s' i. K- c& ?6 t1 [, B5 Z5 d' B3 c* L
3 h; M: h; G' D/ ^: t
' B7 }' `% I- |! r& e

: y2 j/ A) D) b9 R$ H
: R0 S4 j8 Z$ m5 }2 i( l  i! w
1 s- i3 j; W7 N- `& I4 N4 }3 K4 `) v, G2 X) b

6 ^0 I# o4 Z7 ?' j; I
6 t" J' X/ Z$ V- {# z
6 c# @' C- _! U5 l0 I$ h3 F  这样的种类细分，是可以无限细分的# y! E. ?9 }! {5 r' ?3 R" M& A

) i  k: Y' p& ]. G- G$ U' g' [. \% ~! f* u" s

; r! E+ r$ b. \8 g
- s8 k2 @9 v( r0 U; j0 X9 I8 G& j* f3 L) ]! `. [

# H9 h, s( J) I' V  j
* H1 u6 Q9 K+ H9 r6 [* L; p  b1 k, O+ G0 H  s; J6 j) J
; k8 m/ M1 }/ ~* u  x

2 v/ N8 ?. j& K) p 苹果、梨子、桃子、西瓜、荔枝.....等等水果的“种类”是原空间，
6 R) M4 e$ u0 N9 |) C+ ~( {5 ^3 N3 |! R, i. O

5 L& ?+ D8 t; S, L' C 颜色、大小、新鲜、产地、味道.....等等水果的“属性”是对偶空间。1 \" x( M9 C# Q, r
  D8 @) Z( {5 L- x; F% j
: j% y4 E2 n5 Y% p0 z  u
3 y0 o3 a+ e; ~' W1 f2 t

, {. K- |% ~  j/ i  N( N. J
& Y$ x. w" E  [. g; t1 b
% f% z3 |; {. A4 w" e( e8 } 形象说，对偶空间即属性空间，以‘属性’本身作为元素。这些属性元素具备线性功能。
& M( @2 x: i; M% ]* M  D2 y0 l, y1 O9 L! D4 i

2 j5 a; y% ]4 F9 c- I# l9 J3 P. F/ s1 @8 O4 B
+ M2 v3 \( }3 _* Q, u% }
. o5 D. a6 R4 K/ Z

6 B0 ]) E0 W! E1 P9 d- p 进一步深挖这个问题，需要探讨对“属性”的结构度量。9 [, X# s- h1 Y* [* D
% `- E! ]* m; _! [  b/ z; F

# n% o( b& Y* b: a' N 我们知道，一阶逻辑与高阶逻辑的主要区别在于，它不允许量化“属性”，向量空间的“属性”只能是一个单一方向。但客观世界中，事物“属性”并不单一，可能包含了物体的多种品质特性。如何度量“属性”的复杂特性呢？, e5 W( b6 H; g$ a/ k
5 `9 `& T) z1 j, O/ \+ F+ W/ a

/ h1 v% K. {$ B* ?5 D/ ^7 } 在张量空间中，‘属性’还可以再扩张，比如把原本是“属性”集合中的“颜色”点概念扩张成一个子集合系统，把 ‘颜色’ 化为一个单独的子属性类。把其中的 ‘红色’ 、 ‘绿色’ 单列成为扩张成一个个子集合。比如 ‘红色’ 子集合中可以包含深红、浅红、粉红、暗红、朱红、猩红等等；如果想更精细，还可以在容许的红光波长范围770～622nm 连续取值。
5 h! P# M5 V/ I9 B- k) I7 y: T
# x8 K# u1 Z' d
' v% _: S1 E# Z( l9 |- B/ i) A. T  同时，“种类”也可以进一步扩张。比如，把‘苹果’点概念扩张成一个子集合系统，把 ‘苹果’ 化为一个单独的子种类。 子集合中可以包含红富士、嘎拉、桑萨、红将军、津轻、金冠、红星、红玉、乔纳金 、澳洲青苹等等苹果具体子类；如果想更精细，还可以包含‘苹果梨’等过渡品种。（‘苹果梨’是苹果和梨树木之间嫁接后产生的混合品种）# X2 k1 n( Y% M

9 W, i/ n+ c, u6 l7 |
5 D  m* s+ d, h( x3 u4 x  这样的m个‘子属性’和 n个‘子种类’构成的(m,n) 型张量的空间形式如下：
% K) i# m' w- H( c  a9 ^9 N+ o- b- S! M
* I+ y9 |/ _8 \$ R
3 E" U7 g& d6 z; X  W
) Q: ^& ?& B! [) S
9 D9 b. r- i$ P7 H$ b, [
3 B# ?% w# A* T- o& S' z! O, m% y
6 A( O* R& \2 K7 B

, z; O8 _" f5 r; K7 C; i
- H, G8 r( b9 f6 g2 ^% i/ P+ M$ [8 C- J* K  P! e4 Z( S
$ N+ n$ s$ Y6 c% r

/ Y/ f' t9 A8 v( e% |- `  ~  U4 C: k8 B/ m) G
( x$ e( y! _# d7 B
) [( C0 s# ?$ i/ B/ z
5 L2 _  O8 }4 N( D# ?
2 _- l, d: U4 y

; n; x" ~0 A4 S8 N/ i7 g. T  (m,n) 型的高阶张量比较复杂，下面以相对简单的三阶张量为例，形象看看一篮子水果的三阶张量表达式是什么样子的：
; t- U* L4 ]7 P6 K; @8 r$ X/ [& B' K" @7 v2 a

7 n' t$ J( E/ r6 e
: F! @8 z! w/ \) H/ u* t" f$ Z
) e: y. Y7 L& Q( U
- H2 q! J  R/ r1 L
  M; T/ R5 F( M7 ^1 R9 B& d+ P7 ~
" H/ ]' R1 I: h& F9 V& [! g% E5 C
% i: W: ^! l& D7 Q+ ^8 x' j( ~; R. N- L; \
! L  f9 }& W) A6 x6 K
/ p% A1 i; P) b+ M" |6 V/ Q% Y. @

# W8 o/ d) P& H' r( G4 ~# |- p  R! O- E5 P
' }8 n7 j$ K  V8 w9 Q: L5 _
5 y/ H2 v; `3 w+ z/ a

5 i" }0 o6 v* L% i2 Q4 C) y; V1 _
' o  t+ Y3 T# [+ s) L- s/ Y6 D9 s9 ~+ f' l6 a' O
   其中，F为水果的“属性”是空间、f为水果的“种类”是空间、e是“属性×种类关系”的多重线性关系下的张量空间/ P7 ^% B* G: @5 \3 y

/ s" F& o& }# t% M" g
1 R5 d& }  u6 n$ }3 H; d& F* @8 {
  u$ B8 N4 a# Q$ g. q% g! k
' z! Y% _7 S$ `5 ?; z, M4 D1 m0 w+ x: {, X7 @

' B* P! t) y7 t8 J) [# F( A
( Q4 z0 K) L1 p
/ ^( q1 @6 }  D4 S9 \. ^( w+ L* h0 \8 ?1 D# Z
4 n( _2 X7 m$ K/ ?3 H& a
7 h: a( A- D  Q& u2 s4 r! E. I# z% g

5 J# G/ z* T0 I
8 V/ ]/ E: Y# w8 c! S1 y7 o5 k, R1 J3 Z# E2 W: l: m

# j8 l8 V+ P' g( Y
7 z* e- V  C! W' s3 P9 p. h/ {& ?7 g* |+ G

6 |/ h" H1 R7 G# O1 ^# S8 ^   上面的式子还可以表达为：
; m! A: M) G. g* ^2 r' Z' n: k% |) e' l' {! W% v
( v8 S/ K+ H% a+ C8 U/ s$ M# m
7 N8 R) D$ [3 _0 v

6 a7 k! b6 ~% Z+ Z2 H& ]4 V4 h) z+ L" E. R

  e1 N0 n7 L6 c- p: [2 R( d2 m! j% ^9 ^' M4 Y. R: L4 ?) y
8 w; C( o) s8 m9 P5 q

& ?* J3 w% o2 T6 A& o! H3 ?4 w6 {* y' x
   即：属性＝ 关系 * 种类' f4 P( Y3 s* o1 N
: n$ e- j2 q( Z5 r9 {8 y

; t; R7 j% v5 _1 j6 L   哈哈，有点像我们熟悉的力学关系式 F＝ma
: L: }( F/ l5 N3 u- b8 ^8 ^; u  U2 E- U4 \+ A' a

' w  p6 r3 j1 w4 k9 }
* }" L6 i) t% L. F+ F. |1 O+ C$ T- V6 a+ U& X5 }+ m+ o
. n3 `7 x8 i( x3 l6 {! V2 l7 ^

- E% o0 y/ j/ H7 m2 k' ^  J& y   结合本章第一节的介绍，F、a如果是单属性向量，则关系式 F＝ma 说明F、a具备线性关系. F6 V9 c' P" }, f' Q; F7 l

* C9 k5 R5 \- W6 f3 ~9 ~. _8 d& |
   但如果F、a是多属性高阶张量，则“点”概念F、a不是线性相关的，而是“系统”概念下的‘多重线性关系’! I, n) @. v& ?, I; J  Z3 n4 t

+ c) j: W# i1 r  |2 Z
/ R" |+ G& c0 o6 y% n
" R) {* a: i! U& L9 s& H% S/ z9 f, P; R& ]) M# W' N

. l! M- h9 n" k3 H: H# C
9 A5 Y: g7 ]; E  L4 ]0 u& s   同理，高阶张量模型中的一篮子水果的“属性”和“种类”，虽然不是线性相关的，但却具备“系统”概念下的‘多重线性关系’# Z# K" ^# X. H6 u

) \3 C) ^5 S* e: Q1 x: @' d: c. M1 [  D

* r: `4 S) K; b; _5 g2 o  k1 \% s8 `# F: b9 n) m

  k9 I: t. k: M* u* j9 [3 y" C! F* {3 W" J

8 }! @. w8 M4 N7 e5 h- @: U
3 C5 q& c* C* p2 y2 w2 d1 J
! _2 I/ K5 p- l/ I' }4 X3 _+ x$ D( n9 e) x, Y3 j6 i2 `7 |9 D& ~

2 k* q' ?' |; y' ]8 i( O/ s* F: l) ]9 }
, h" U5 m* p% f; A/ L
+ F+ I% m3 j: a
   通过张量，我们可以观察推导系统和系统之间的更加精细广泛的关联。并且，利用张量表达式，把一个收敛数据集合的“系统概念”看作一个“点概念”，能够简单表达一个系统和另一个系统的“关系”。原本复杂的多重线性关系，可以简化为某种容易看清的逻辑轨迹，可以明晰其中的规律性。' z" [* w( X1 {, c

( Z8 l: D" O. N- _  o5 k4 x1 \7 r6 h7 n
: p1 N% s8 ^5 P; Z1 A   因为复杂的对象一般来说我们无法计算，但是局部可以用线性的对象去模拟，这就是阿列夫1维度空间的微积分的基本思想。这个可微分的光滑曲线的局部直线段dx是一个向量，微分dx的全体组成了一个线性空间。
6 E: \" S. i2 z& ^7 ]+ m, H0 C4 l& s1 ?, n2 s
  t5 B* ^' }' @5 O' D, _6 h7 H/ a
   进一步，如果多维“属性”都可以依次偏微分，则全体的偏微分的形成了多重线性相关性。这样，我们不只可以研究两个空间之间的一阶线性映射，还可以研究任意多个空间属性分量之间的多重线性映射。
- h' K5 d! \+ o9 b' b: K6 m0 [7 o! r; H! @* q

3 i$ Q7 d: ]3 @0 ?% k- g9 V$ C5 S- O1 p0 {* a) b% P& a5 x! k
; o* f+ ?* V' \

+ ~8 a/ n) {' d: J& E
% j2 g. A4 X5 p* g* v& A5 d% a( a* t0 _
; P' G3 U8 k9 n% f

) f& o9 ]- N: f  w6 E; d7 [- q3 D/ }0 W
   比如，如果能够量化亚马逊河鲟鱼等动物和可可树等植物等不同生物种类的各种不同属性（比如氮、磷、钾养分含量）的分量关系，就可以量化研究亚马逊生态圈的养分如何流动：
" K/ J$ G$ p% Y  ?
  U: J5 P7 y$ I/ _
3 v$ n3 m1 X& K8 p1 Q6 b5 H) |
. m0 h  v! Z( \# p9 i) n5 o9 l6 f
* V' u, S" S5 S; S" Q# K6 m# [, ~; d9 R9 r
( X9 I" k" |5 m2 N4 B! a" q
" O* u7 x& H$ ~; c" r9 z# C
  {6 B( d" ]2 n/ Q

* D7 H* X4 c& A% r/ W1 Z6 F/ d$ f5 x8 J  O1 U) Z1 `+ U

3 m. E2 v. b# o* M
  t6 l; b5 d) S, C6 [  X9 T% h" z: y8 r: B

5 d+ b6 h  m, U# v% j
' Q8 p( c7 u: x! R5 ^3 s( k1 C: r) E
0 }  n5 ~$ }( a' V2 _# s% O/ `( E3 S
   又比如，通过偏微分分量（泊松括号）可以表示哥本哈根矩阵力学的运动轨迹：
$ R; C! I, c9 X- B5 z& y* p% Y: A2 f0 h2 n1 ]- U6 P& t

2 y* |& ?6 U6 v3 O' n8 o
# G2 V+ w$ J: x. s6 U% v5 S( h! |
9 o; f- F! x+ S# x% r* y6 i. t
% |5 w. V# v6 p5 \4 ^& D4 [$ Q
# S( g1 N+ s+ M$ B# C- v' ^& i8 d& j! D' G4 I. v& L

7 u7 t. d/ l1 f% g, t& y9 h3 [: d' u% `( t( x2 P+ T8 e

$ G! b$ |/ w; u, ]
0 j' m% @* s9 ?+ P7 }1 J  M
. d% a" T) \; [. F  B
) Q# Q; n* Q, I4 m( H, g" G/ k1 k6 k% @6 E! b- C; a6 H; s

& |' u) X( V, e6 |4 {& ]8 W# o* T8 ]8 R' J
0 c" x. m3 h6 R) h

# R  ^7 g6 C& ^* B4 P: \   动量×坐标矩阵（二阶张量）傅立叶变换的形式如下：. I5 z$ g: }% r3 x

5 f& d7 t. D5 m2 t, k; v+ Y
0 H; V, N/ S; N" U4 `6 |8 D* Z
2 w9 @3 J  M- F3 |$ |% f  O
' X: ^1 S8 K$ r" b( }# a5 c8 u

% u7 a0 R- s& N
% y3 s( N( x7 _8 W+ }5 [; Q" O+ F9 m4 B  x6 _% `

2 A- ^( a: H" y  K( O' P. `: x1 h! `. @' i
# M9 `/ S) x. }

0 B- l) i6 @9 F; m* s& _9 p! t( ^/ p" ]
, S- s! {  j/ W$ u0 Q. w
   高阶的量子态张量空间（高维度傅立叶变换）可以表示如下：
- F% M, ?3 W2 c9 B# G  j
% h: u* z' ?% Y' C6 K7 X2 i' C" j+ a/ [6 R  Z# t- S  ]

% [$ R/ A& l! p" `. B9 i7 y
% w# R% M4 W- g. `/ n
7 x) D8 w, P+ H& M( l0 c7 R+ n, `2 T
9 T; {, M/ A6 x: `
$ i$ V4 f2 q+ F4 D9 m  \7 b% ~, p  Z: }! \0 Y) T' a0 e

8 X4 C1 r. q& @6 a$ D7 v/ Z0 {0 k
9 a, D' J+ P1 n5 E) R    注意，上面这个式子就是未来量子计算机的基本演算模型，它的子式子可以是∞ ^∞ （无穷大的无穷大次方）。其异常复杂的程度，超过想象！
: j$ {) h. X6 |* w2 i
$ E* [1 c4 d9 b: C/ _
8 U2 m0 |3 D( _( c9 `& j$ W2 Z; {- b2 {4 d! y/ w+ R
' l' g9 x2 k: P7 n! m1 S% x6 W, ~
5 i: D3 H" b) t9 i. r$ o; ?! Q

2 h' O  c) T- e9 m
' Y5 [; I* e; P! `! K6 z: J$ G, \

) M, V3 ~% e& [8 o: O2 D: H" R5 _9 A& |* q3 f

: w, {1 N- }4 S9 T
$ |, q: [$ d. Y; O, ~% D5 E9 R. A) l9 ~; l. @# v
8 _6 B8 A3 a+ `7 R" r

/ N+ D' R7 S- S* w) c2 N
' ^+ s; e' c# F" e% f# X' N: F' J9 ^( W+ F0 k
% u% `, p, x2 q: u

+ O6 X( o  n2 T2 Z: o) a4 I6 h! }+ C- b2 D! [; ]7 [

: k; e' [& a: |! a* Q- N, p$ L! Y' u8 z' n5 j7 R" P" g4 d% F

1 w) W) X; [; q: J1 @" M( C* L, U  D! ]+ [( d

/ u, F* C/ O0 h7 I" b! m3 o5 T2 b$ j- t; L) c
# n+ R. W) A3 B8 R( l
  ^" B; Z7 H; `5 V! m- Y! R

# P, ?7 y5 q7 A8 m7 ^, i4 F! M
: I% P4 n- u8 ]$ v! G8 Y5 a     高阶张量的计算如何超乎想象的，我们简单来看看。下面是动量×坐标的傅立叶变换矩阵：$ t/ C. p! S7 A. Y0 O

, U' J( O$ U2 o2 d3 R" S9 {
; i4 |& i# U: J. ^% r+ h: S  s* g) R9 H+ w6 X, Q( R/ h

9 Q$ o& w; d$ ]" ^/ p8 r3 G$ M5 C# T3 C
8 b$ k. i+ `8 J6 ^0 g4 ^
    因为exp（ipr）可以作为所有线性时不变系统的基，所以也可以把exp（ipr）作为系统的基矢量。当我们把exp（ipr）看作基矢量，则是另一种矩阵形式  φ . exp =Ψ，如下图：  h2 R5 f; G% `) U( R% l

* C) i$ o/ {3 n; X: B1 p" S' h# G! u3 T( Z

5 k+ o* u) w7 M! y2 k* Q5 w5 Y1 w- O, ~4 X" h' i
2 {5 t) l$ B* Y  H% t0 m

1 v5 `) k6 o" f3 I) A$ n3 }. r     当前，我们使用的基于经典物理模式的电子计算机就是按照这种串联方式演算的。以线性字符串演算高阶张量，乍看起来似乎可以，其实不然。因为数据量异常庞大，比如上面的φ矩阵其实已经扩展到了  n平方*n平方维度. a/ }3 f7 s" A

) v4 L* K$ x" d  S8 Y! ?
" d8 }- v9 R2 L! m+ H# h% t      并且，由于高阶张量不仅仅限于平面矩阵，如下图，我们还可扩展到三阶张量：
# D/ g+ o, ]% n0 Z! n/ {
1 Q: l# J+ C" \, b0 ^0 W, x! }9 g# ~0 d
& h6 ]! }0 c) j- K

- j! z& m% X  F! \" I" h; z, t  H2 v: |) j. s# U8 C: C

$ y; |( f  O- y: _; B# j2 k        我们知道，高端服务器所依赖的unix操作系统具有多进程并行处理能力，但那其实只是分享时间片段的伪逻辑并行，有不可避免的局限性，因为电子计算机的物理模型仍然是经典物理的字符串。在三阶、四阶......n阶张量的情况下，数据量将突破连续实数所能表达的范围（阿列夫1），即使在理论上，字符串运算的电子计算机也根本无能为力。. T: y6 p9 C8 u) U) |1 D- h7 B9 G+ E
- N# N# V5 q! ?  x* u

) c, D7 k% x6 |7 Z5 V6 f8 G8 }) p) B  m- ~6 A. r

- N% o$ ]9 _! U; k( U
7 O; v& s% A( p; f+ b( k1 y0 M* [

+ ~9 ?/ l8 U5 M+ j) [2 N, a+ G& i! P( J  ?! l' _4 E7 ]: @
) |% r2 a+ |( ~0 D2 v
; ]' h8 `9 z0 w6 Y0 k1 d' }6 A
7 b. M$ X" h4 @) ^8 f/ R- Y
0 v5 w8 a# m3 N" n: L7 y( ]$ y2 A
9 D4 R' |" P% e, P
/ t+ j$ z) a/ a0 L# ], x
: L, M4 C) M3 x* M

" ]8 J1 W" {& b1 x2 |* \+ Z6 w: V, O  i
4 N1 R; o1 _) y' r/ t3 W. r
    但是，基于量子叠加原理的量子计算机，却可能拥有2^n （2的n次方）的并行计算能力。这是质的飞跃，因为当n等于250时，量子计算机可同时并行处理比全宇宙所有原子数目还多的数据。# E$ N5 U1 C4 d+ b5 x# Q( l

& E" `3 x/ Y' Z) t( t
) i' W  h9 \1 g4 t
* a* q5 q5 {1 S3 y/ v$ J
9 }) I$ z5 W) F7 K& B- q5 I3 J3 D! V
1 n# O( B* }4 n& T) e* p, i7 r, B$ a% T$ E( i% h4 `

! n- O' k$ _& U4 P3 c' a$ l# C. B9 i

% P; l* Q5 ~9 n" s1 r8 d5 @/ O% |2 w5 `# q* |* W$ X
   
, @# h1 o' [, t. I& q7 v/ t0 j( O. Y6 p% `2 y

( m* x3 W( i$ A+ l( |! M
% G- e, K9 I- K: G6 h' T% M* z4 r  E( ~9 n  H) Y& U9 ]

$ f% t. ]$ o4 z) }: O
0 ~) b8 [/ D( d$ D" j/ m% x   关于"大数"，最早表述在古希腊数学家阿基米德开始，他在理论上提出了一种表示大数的方法：有人认为，无论是在叙拉古城，还是在整个西西里岛或者在世界上有人烟和没有人迹的地方，沙粒的数目都是无穷的；也有人认为沙粒的数目不是无穷的‘但是想表示沙子的数目是办不到的……但是，我要告诉大家，用我找到的方法，不但能表示出占地球那么大地方的沙粒的数目，甚至还能表示把所有的海洋和洞穴都填满了沙粒，这些沙粒总数不会超过1后面有100个零。9 K+ q  @% N. a  E) f; j6 J/ J
) |! F/ |& @" ]$ [

, r9 |9 K0 p( e8 i6 |; D   在这段文字中，“1后面连续有100个零”即10^100（10的100次方),按数位念作“一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿”    . R; a6 V- q; w: e
+ s4 ]0 A8 x2 o+ n' e  D

2 b5 ^, W: V% ?9 R4 R
0 o1 ?5 M0 `3 Y) W. I' I
; s- N! L2 S6 g" K
# z2 }6 @0 M! w2 C% A% O$ Q5 N2 R7 L/ l! Q/ a6 D9 p/ J
   10的100次方已然如此恐怖，那么下面这个东东呢？
9 e1 q. [6 }# g8 Q  A1 P* E( g# @: g& m& m4 W
+ |$ A3 y2 h- U

. F) [% L* X4 A5 D' }$ }' w* C0 {

: V+ J- G# J# F5 n! Z( g9 ]! o; t% ^& L# x! b$ I

* l3 _% T7 I4 x( ~6 c; F) w
! g, k7 q: u7 G2 D8 c% m4 k1 I2 Q5 x# l9 e  p& [
: b) x0 E, L) ~7 g& \
2 s: o% c* [  O: L) c
1 e3 W8 C3 M* c
8 w  }; N* e8 Q

- c  {+ }% x2 H# h* Z3 A0 U
. I) w, P. H; Z: P( m- u$ }) {( U7 O4 |* `

( M  h+ i3 j6 e& a
& ~7 _4 p2 P8 k# P+ T+ X3 P
7 }) E& _! a  m$ T
7 C7 W! q1 Z* [( @) f" Y% {5 N+ E3 N4 o& Z9 P' _
! U% k# u& I& R0 c5 h

* ]& q  i. Z9 M' a( ^. ]' a; K% e& w3 S% J8 v5 ?: `

& Y6 O: [: d% y+ q: X: A1 K4 }! R5 k5 r; ?, W% E$ O

) c% ?- E' L- X2 a5 v& U! t1 K4 D5 B5 k7 p) O. z* y
, a4 y  ?( s0 }  j  m- N

" E9 R- J5 J: e" @' q
. f0 u) H, K* D% D
( u# E( U+ T, M: x# q3 X0 J' Z8 E" i: d3 c9 F; T" S' g& e3 E" B

, L4 v; G; g6 }  H% P% R3 h% E, I& k' C* c

, G' J- `* O4 q0 l: z. L( x, w" q9 ~, N7 `% e" ]3 K

0 E) N* m& t$ ?7 w% s) i8 T: t) k8 F) q
. R( g5 C) d- r8 Q, ^# k7 b2 e
1 f6 K! [7 ~' c" l' T7 D6 C: L, N) F
, j, A0 y6 W0 K6 ]

! q4 G/ M8 b  ~$ ~1 o: L) D, \6 u7 K  j. c

4 t4 y, c9 ~5 R4 z( w
3 v! c6 ]  }3 ~7 _8 P% Y
7 A0 o- T* ^2 g. l/ v9 P) W3 f4 @, P& r8 f

$ W6 B" |. P! R' G3 ^/ l% X* o2 M7 L+ K! S
: N, ~" F* g% ?

5 E3 L3 r% S" ?' O* |. U% V, [6 _
( o8 Q* w6 D! [5 Z/ Z- r7 p! T9 g0 Z
- G+ _: w4 E6 c9 T4 W% E1 A* Y   还有，更多的，更多更多更多的：7 ^1 u% V  _1 @5 P% o) ^, j

/ O) b# W! v% `' z* o/ P+ Q2 p' L. x' v( V0 g& b( u! n- f/ m

8 I5 U0 T7 }  t1 H5 b6 m
/ `; z1 a8 n7 ?3 c! @& W- K4 q
/ u; a3 m3 ~+ z5 D) r1 Q( s# Z) s, E7 M/ V- j' ~
   这是张量允许的。5 R  v$ u' [6 ^; q1 S# M" R+ O
! `$ E3 t2 j& I( t

sunsong7

4 u  f! u$ w  R' P4 s; y* W7.4 元素和集合的同体
' |2 T% Y+ z! e) H2 y) Q2 X/ g: g+ O/ {( q3 s0 }$ K/ ~5 m: M

' O, d5 L7 P- }; m* o张量空间的高阶逻辑，其异常复杂的程度超乎想象的。: a; a. V5 S8 E+ X, ~! r. {
首先，其中涉及空间元素间阿列夫2量级的多重线性关系；  O7 s+ l. t& ~* ]* i
其次，隐含不同维度不同性质的子集合和子集合之间的复杂逻辑；
! l- B  ^- J1 F# N更甚的是，还会遇到点元素和张量内集合关系的诡异悖论。
* g* b. k8 E  p& Q; N- ^
5 v, U- M8 {5 v8 s5 `) N, W# s% d* j# m' G# |2 i, i6 W% d
下面我们以一个有关量子衍射现象的形象例子来讨论从元素到张量内集合的神秘：* n  V' Y; ~' e6 `5 g3 V& Z
  H# L; _6 u& m2 x+ ^# {% ?

1 v  b9 j+ @; D8 w
7 o. `3 e' C6 H6 \8 Q! U' T0 W- c$ S  f  y! u* F+ f1 I6 s

6 E$ F. w# m. w! i" k上面两种著名衍射中比较吸引人的是夫琅禾费衍射。夫琅禾费衍射是一束平行光（或一束电子）通过一个方形小孔，形成这样的衍射图形：- @2 B( Z2 z  }7 {! R# f! ]

" d& ~# s# `( {1 v6 t- p- w+ l% t2 j9 |; e3 l
4 }3 r: z8 v* i$ p# v* M

2 s2 v2 ~" f' g! `. @) x' N衍射图形一眼可知，就是二维的sinc函数图像：  L- a, R0 D; ]/ s. g; K6 H9 j
) Y; J' v- @/ {5 T- Q, q
+ p: m- G% n8 V# i4 ]  w
8 Z2 M. e  S- H6 B. @  r

' |( `/ w! @9 y+ D3 c( v; W
' b: k7 c2 k/ P4 c- U
/ R0 Y1 [/ L! @9 k2 u) }2 A
  T# v/ R4 N' A* w, ~( v换个角度，再看看，更加一目了然：
$ M5 T. i* I7 s! D# B7 _
! B4 [9 b! R; B# t3 Q5 f1 H; y) E3 a7 p5 o: C" T$ X0 _
1 L$ q9 w- |3 m/ V+ Q, V
) S, P! q! {3 O$ X) S$ H

; @) e% f+ {' p稍微有一点傅立叶变换知识的人，相信都会惊奇得合不拢嘴。2 h5 u- W, J) e
因为这个实验形象定格了量子在频域和空域的波粒二象性，和理论一模一样。一边是‘矩形’小孔、一边是‘sinc’衍射，而‘矩形’的傅立叶变换正好是‘sinc’函数图形。
2 G0 K/ |/ ]0 h. ?: z2 c6 k& z% r/ A* Q. |
  I* Q- }8 A) _+ f( S( }
惊诧！) ~$ O' L! @3 ^; C) v
神奇！完美！
$ F% n/ J5 }% K% a
4 K% Z, \  n0 C7 ]. \
. }5 @: {1 o: D/ W( f9 z1 \4 d& [! d, O因为如此简洁明了的衍射图像对应，所以很多参考文章以夫琅禾费衍射来解释不确定原理：$ }, ]" g4 x9 C( V0 O4 ?7 M

$ q% I3 P# @  t/ [: C
, F. a" @& j  c8 E$ `! v& P
% Z( ?4 [% ~" B" Q6 N! M8 R
  p# c9 S$ y1 [% B& ]! O8 t但是，非常遗憾，上面关于夫琅禾费衍射和不确定性原理的粗浅解释是有问题的。
' [3 l/ D2 F# [- H6 m* p/ B请看下面分析：7 r# o3 V3 r6 r1 A3 Y" r1 t

2 l& ^2 Q1 e! O( {) Z( {  {- S/ ?$ O, A0 m

6 r9 C1 h4 @% G( d! w9 y4 x4 `- I& Q3 G( T) _

/ i! G9 q% \) D* c; j但是：1 z4 ~4 l5 f- b& J8 n
" s0 [1 T, l  P* N6 g4 \% z3 }
, ]- O/ V+ _: {
/ W* Z" \* S- R

' w# u) d3 @: E  C' D2 Q
+ ~8 \5 i: l9 b% V  c很明显，上面的（2）和（1）矛盾。6 a4 B: l" ]! T$ g1 e8 D

+ y3 O, d2 e- V: F" B/ E夫琅禾费衍射解释不确定原理居然会出现矛盾，为什么呢？
! ?2 n8 T/ C  z- ~' U& l
# \2 e' e( Q- y9 d- v# a0 r& f% i. e( A3 C7 e4 i1 x/ ]1 C4 `6 c

- Q; w; ?; q/ q' u& h1 g/ k' \. }9 ?$ j" A0 y, Y
正确解释这个现象，需要从‘单个量子的夫琅禾费衍射图’来分析。
7 K6 a3 `  r: X7 K. ]% L3 W0 m( y* v2 y1 w7 ^1 a# }5 `4 k$ B
) l9 k! j9 i9 B6 ]  }
; a2 w2 r* q  C6 n! s5 O. s
) t: [: g1 x. n
突然，很好奇一个问题“单个量子的夫琅禾费衍射图”会是个什么样子呢？如果缝孔径与量子波长大小合适匹配，单个量子的夫琅禾费衍射图将是一个典型的sinc衍射图样吗？
" K3 C9 T3 P* Y1 ?- b  ^  H: r

& f' T' ^! L0 Z; F遗憾没有机会做这个实验。不过可以大致推断一下：
4 ~' B3 O8 P+ B( C9 E网上搜搜，可以知道白光的夫琅禾费单孔衍射图样中各色光排列为“中间白色，然后依次向外为 紫 靛 蓝 绿 黄 橙 红 ”* ^0 i( y4 f/ H: a* ?. e; ]
解释：光的波长越短，缝相对而言就越宽，孔径越宽，衍射现象越窄缩，则光强变强、条纹变窄；% G) X. ^7 C7 F/ o
另一方面，波长越长，缝相对而言就越窄，孔径越窄，衍射现象越宽阔，则光强变弱、宽度变宽；% q+ k" L1 V; _7 d2 j+ c
另外，孔径减小到极限微分点，则观察屏是一个均匀分布的光板。7 P$ ]: q$ N2 q% r, \
因此推断：4 |& R: k7 Y5 k5 r1 x' e0 t
1、缝孔径过大，单量子的夫琅禾费衍射图将是一个点：
( D" W. G/ h3 l* _9 [
& C6 {& B7 `' ?$ z
" ^+ c0 b, s, C! j  W' Y8 p1 E) V" u2 O7 y7 `* k& b8 M
2、缝孔径过小，单量子的夫琅禾费衍射图将是一个均匀分布的光板：" j5 P' n# F8 N* V8 _5 g

9 P9 a3 x1 N4 D) S  M- L6 w
3 m" X1 d+ I) B& j; k( T5 X) r9 c& X. Z, c, {
  b5 i8 S" B7 i' m# S. j) l
这样分析，应该是有一定道理的。
& c6 L3 c" C# c. V' N3 u4 {因为我们知道单电子的夫琅禾费衍射图是一个点，电子波长非常短，即使有衍射现象条纹也会非常窄，以至聚集为一个点。无数次电子衍射实验也表明电子总是一个点一个点到达屏上、大量电子点共同汇集成了衍射图像。根据泡利不相容原理，费米子不能处于同一个状态，可知电子靶点各不相同。并且波恩的概率波理论就是基于此的，诺贝尔奖的理论毋容置疑。
: X' J, |2 K' A9 c; O1 g0 j  M还有，我们知道微型孔单光子的夫琅禾费衍射图是一个均匀分布的光板，光子波长非常长，即使有衍射现象条纹也会非常宽，以至扩散为整个屏。一束光衍射实验也显示了，孔径很小时，多个光子衍射图是一个均匀分布的光板，根据光子的波色凝聚效应可以推断一个光子的结果和一束光是一样的。并且冲击函数δ的傅里叶变换也清楚表明了这个现象，毫无疑义。  P% x* F' F) @$ a7 B$ A/ M

" x# f# s9 B" h, q! m! p3 b) j' t/ ~/ L2 L& O6 v6 ^! v
所以，结论是，单个量子的夫琅禾费实验，不会看到明暗相间的衍射图样。( \4 y4 |! G  D3 n$ y; i
3 R  z$ L- X% L8 {3 ^
( W! |; ?' ^2 S- I( V
7 S" a! N! @7 |: p( |6 U
大约6 亿年前类似于大脑的神经核团出现在蠕虫类动物中，它们是现在绝大多数动物，包括脊椎动物、软体动物和昆虫的祖先。神经核团是原始的中央神经系统能够处理各种信息而不仅仅是传递信息，这使得动物能够对更复杂的外界环境做出反应。最早的神经元可能在无脊椎动物体内形成一个弥散的神经网络，现在的水母和海葵依然如此。然后，一些细胞逐渐演变成具有特殊传递信息功能的神经细胞，而且进一步演化出轴突，用以远距离传递各种电信号。它们也通过在细胞突触的位置释放化学物质向其他细胞快速传递信号。最终神经系统诞生了，于是原始的大脑出现了。再后来，大脑分化出不同的脑区来表达不同类型的神经递质，使大脑产生各种不同的功能，于是演变成具备系综分析的智慧大脑。7 i' t1 T6 a, [
智慧的神经系统的形成过程，似乎和量子衍射现象非常类似。一个神经元没有智慧，无数个神经元组成的系统形成智慧；一个量子没有衍射，无数个量子汇集形成了衍射。
9 M% |: o# o. K" C
; }/ K8 l2 p, C8 ?0 i: `) P5 t; `

- }- G! ?6 B" G; x; n3 C- t: T
5 q" \/ K1 ?& X2 K" M9 s但事实远非如此简单！9 f4 \: ]6 x! r' B5 ~! l/ j" y
如果深入探讨，会发现“单个量子的夫琅禾费衍射图”很可能是一个不可判定命题。
' w4 x' F; B3 ~& q3 X8 Y1 k" {/ d/ d* f' B

* e/ K" j  U% w. s8 ]" h2 f' K
8 {; J- B2 P8 b/ q, z  V, R这和前面所说的关于‘理发师悖论’、‘说谎者诡论’等问题一样，涉及到关于“元素和集合的同体”的逻辑。# |. k9 r2 g) v  [- G4 v/ s
; d, c2 e- f5 P+ ]" u( r: k$ n) g

8 h+ C: M" H" G; }- e那么，“单个量子的夫琅禾费衍射图”又是如何和这种“不可判定命题”扯上边的呢？4 F; G( ^' e) K2 G3 a; Q
大致可以这样来看，夫琅禾费衍射实验的关键在于：‘光源和观察幕离障碍物狭缝孔均为无穷远的衍射现象’! x6 Z' o4 `$ S, {
这相当于把同一事物的两个角度的不同度量（频域的微分“点”和空域的积分“空间”）放在了同一个逻辑空间。& R% q( x3 X. \/ @' Q5 y

0 S4 M# G- i9 M3 z- r3 T. C
+ @  ]. `  a9 P, v) l0 e( q在张量逻辑中，当一个点张量积为一个系统时，它即可看着“元素”同时也可看作“集合”。比如，一个细胞作为生物体的一个零件，是整个生物体的一个元素点；同时一个细胞，也可以放大镜下看作有内部结构的系统，相当于集合概念。& o# H& o+ V" @9 j% T+ X
一般而言，这两个概念一个是外部属性、一个是内部属性，不会混淆。3 e3 W% r6 y- \' g9 }5 a) T
但是，张量空间是一个庞大的系综，其中的元素可以看作扩张的“子集合”，而收敛的子集合又可以视同“元素”。在张量空间中，“集合”和“元素”常常是同一物体，只是数据维度不同而已。, u& Q, f) @9 m" U* |! v6 u5 Q
“元素和集合的同体”的逻辑，是张量空间重要的基础性问题。3 t# k( F9 z. E5 W" r$ }- R
" \1 O& W1 T6 b1 p0 ~9 s! E7 C; z
% r4 H" X) |7 W) w% l
   正因为此，张量空间有时会出现“包含它们自身为元素的集合”的悖论，复习一下前面关于理法师悖论的内容：
4 @2 \2 f8 D$ f2 U' V: i' Y 罗素定义了一个所有不包含它们自身为元素的那些集合所组成的集合，称为集合R。理法师悖论就相当于是问，集合R是它自身的元素么？如果集合R是自身的元素，那么因为R的任一元素都不是它自身的元素，所以R不是自身的元素；而如果集合R不是自身的元素，因为R是所有包括它们自身为元素的那些集合所组成，那么R应该是自身的元素。数学描述为：设命题函数P(x)有性质“x∉x”，现假设由性质P确定一个集合R——也就是说“R={x|x ∉ x}”。那么现在的问题是：R∈R是否成立？首先，若R∈R，则R是R的元素，那么R不具有性质P，由命题函数P知R∉R；其次，若R∉R，也就是说R具有性质P，而R是由所有具有性质P的类组成的，所以R∈R 。; T- G) k9 z8 W" p, U/ E8 m

7 W& A. C/ p- U4 m- M! m再回头审视夫琅禾费衍射实验。在夫琅禾费衍射涉及中，“狭缝孔”是一个无结构的点，相当于元素概念；“衍射屏”是含有叠加原理结构的线性空间，相当于集合概念。这时，外部属性的频域点和内部属性的空域图形，凑到了一块。“元素”和“集合”混为一谈时，则可能逻辑谬误。这意味着，夫琅禾费衍射涉及到关于“元素和集合的同体”的概念，所蕴含的逻辑类似‘理发师悖论’、‘说谎者诡论’等问题一样。
( `& V2 b; m3 u" ~( _9 T4 _9 b5 t) V4 E) R" T

& u5 x8 T5 Y5 H! J0 C2 t' _' w; z: c4 u3 t9 T; q* C
举一个更容易理解的形象例子。
, d7 z/ p; G' d% O) d! f$ w我们在电脑上打字，插入字符、增加字符、删除字符等等编辑操作，这需要在打开某个文件时在文件内部操作。但是如果我们想节省时间，希望在文件打开的情况下，一边编辑文字，一边把这个文件本身移入另一个文件夹，可以么？
! {( p/ R, G/ T6 O9 i5 p- R( Z  m这当然是不可以的，所有的计算机系统都不支持。  ]8 p: D% R  F+ T  i+ i' U: H
为什么呢？
' A% j8 B. I5 F3 {$ k1 @因为编辑文字是文件的内部属性，移入文件夹是文件的外部属性。两种属性不可同而兼得！
# c; g! B6 y, o' g3 t9 ]0 F编辑文字的时候，文件本身看作是一个有结构的集合，这时文件必须处于“打开”状态，才能调整内部的内容；
1 V* m5 s( t; M& {* X/ ^/ N% j) z6 _; _移动文件的时候，文件被视为外层空间的一个元素，这时的文件本身必须处于“关闭”状态，以便以一个数据点的属性被移动。
7 n2 q& \! l- C0 `6 b4 ]5 \, l+ l5 U0 l8 T+ _
如果要同时编辑文字和移动文件，会出现文件同时“即打开、又关闭”的‘说谎者诡论’逻辑错误。+ |7 C2 i1 A8 T; L9 {8 b

" [8 D/ D- F; w; D* [1 \; `2 Q
0 ?3 {7 M2 p3 ?+ ~; [注意，这就是“不可判定命题”
3 @( T. D( K2 z  I! Q8 Z7 h5 Z其逻辑谬误为不完备性定理所证明。2 [1 x( e) t1 h$ y0 z9 e, I$ H5 C5 h/ ?
' z2 d* S1 o  F2 k8 h9 t

. a9 o0 v7 c6 ?$ k
0 O; R2 Y) h4 k$ l/ x5 i7 j+ i' G, @' P+ R以上的不可判定性，可以以某种思路来思考。比如，频域到空域有多远，是微分到积分的距离吗？是“无穷大”吗？  ~. `  y5 {  a2 k  D; S6 A* R
在正常情况下频域和空域，是同一事物的两个面，它们不可能出现在同一图像中，否则会满足不动点定理，那是违反不确定性原理的。所以，如果夫琅禾费衍射实验同时包含刻画频域的“狭缝孔”和刻画空域的“衍射屏”，则衍射屏与狭缝孔的距离必须为“无穷远”
% o/ E  W: k8 r2 H+ y4 G5 `& g* |6 I% d+ ]5 ^

, _) J' U8 u# u5 q微分到积分的距离是无穷大
& F0 x% n) k& e- L量子位置算符的本征值x到粒子实际坐标{x}的距离是无穷大
: F6 d9 m1 P- h9 b& t; o' g, t; B( p
& A# d, }9 l: L6 [. ]% k6 `
这些无穷大是阿列夫1或是阿列夫2呢？  R9 A/ E9 ]: R( Q6 M5 y
隐含什么样的区别呢？
$ N& Q& F, u) h+ @7 o9 a$ o# K2 [& A0 F- ]9 W% S. h2 w
2 h3 U, O7 x+ b6 K+ Q$ d$ x7 J9 }
假如张量空间的阶足够的大，所及的精度足够的细，获得的数据量足够的多，我们能在单个量子的夫琅禾费实验中看到衍射图象吗？
7 |- ]- w; G3 R) I; Z
9 I' x0 S0 z2 K4 O# X3 f& j) `- U: x  Y6 w- e2 l' {6 [